1、12min(),fx 考点 6 函数的值域和最值考纲解读 理解函数值域的概念,掌握求函数值域的基本方法. 会利用函数的性质和数形结合的方法求值域和最值.重点难点 掌握求函数值域的基本方法；正确选用不同的求解方法 求函数的最值；复合函数的值域；含参函数的值域命题探究 函数的值域和最值是每年高考的必考内容,若在小题中单独命题,一般难度不会大,利用基本方法可求解. 函数的值域和最值有时也会在某个综合题中出现,如讨论函数的性质,求解实际生活中的常用问题 本内容涉及的考点有：求函数的值域；求函数的最值高考赏析1.(2011重庆) 设 m，k 为整数，方程 20xk在区间（0,1）内有两个不同的根，则 m
2、+k的最小值为A. -8 B. 8 C. 12 D. 13【解析】 设 2fx，则方程 2mx在区间（0,1）内有两个不同的根等价于2018fkm，因为 0f，所以 10fk，故抛物线开口向上，于是 0m，0，令 1，则由 28k，得 3，则 32，所以 m 至少为 2，但 8k，故 k 至少为 5，又 ，所以 m 至少为 3，又由 5k，所以 m 至少为 4，依次类推，发现当 6,7时， ,首次满足所有条件，故 的最小值为 13.故选 D.2.(2009宁夏) 用 表示 三个数中的最小值,设 ,则inabcin2,10xfx的最大值为fxA. B. C. D.4567【解析】画出 的图象，如
3、右图，观察图象可知，当 时，2,10xyyxx当 3时， ()2,f当 4时， ()10,()fxf的最大值在 4时取得为(),xf6，故选 C。.3.(2002全国) 据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告：“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上年增长 .”如果“十五”期间(2001 年2005 年)每年的国内生产总值都7.%按 此年增长率增长,那么到“十五”末我国国内年生产总值约为A.115000 亿元 B.120000 亿元 C.127000 亿元 D.135000 亿元【解析】首先要明白到“十五”末为 4 年,其次要理解每年比上年增长 的含义,从而
4、得出解析式.故“十五”73%末我国国内年生产总值为 亿元.故选 C.012244953(17.)953(.()170C4.(2010江苏) 将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 ,则 S 的最小值是_。2(S梯 形 的 周 长 ）梯 形 的 面 积【解析】 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为 ，则：x22(3)4(3)01)1xx方法一:利用导数求函数最小值。 ，24()()Sx2(6)(xS， ，当 时，2224(6)1(33(1)3x 10,3x(0,递减；当 时， 递增；故当 时，S 的最小值是 。()0,
5、S,)0,Sx132方法二:利用函数的方法求最小值。令 ，则：3,(2),)tt224418663tt故当 时， S的最小值是 .13,8xt5.(2008江苏) 设函数 ，若对于任意的 都有 成立，3()1()fxaxR1,x0)(xf则实数 的值为 a【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若 x0，则不论 取何值， 0 显然成立；当 x0 即af时， 3fx0 可化为， ，设 ，则 ， (0,1x2323gx 42g所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此 ，从而 4；当g,21,max1ax0 即 时， 3fxa0 可化为 ， ， 在区间, a231x 4g0gx上单调递增，因
6、此 ，从而 4，综上 .1,m14g基础巩固6.函数 的最小值为 54)(22xxfA. B. C. D. 33523【解析】利用构造法解题. 222222()4(0)()()(01)f xx原命题等价于求两点 的距离.故选 A.0,17.函数 的值域是 )(2xxfA. B. C. D.1,2(,),(),(【解析】特值法.取 排除 A,D;取 ,排除 C.故选 B10.f12y8.(2006 全国)函数 的最小值为91()|nfxA.190 B.171 C.90 D.45【解析】 ,由(|2|10|f x |18|9|x|ab(当且仅当 时取等号),得0|9|;2|218|6;x,上面各式
7、当且仅当 时同时取等号, 的最小值 |9|1|91|2;xx0|x10x()fx为 8620.9. 对于函数 Mff )(,)(在 使 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最大值叫2)(,)( babaxf 不 全 为且则 对 于的 下 确 界 R的下确界为A 21B2 C 41D4【解析】A10.设函数 定义域为 D,如果对于任意 存在唯一的 使 为常数)成)(xf ,1x,2xcxf()21立,则称函数 在 D 上的均值为 .给出下列四个函数: ; ; ;yc3ysinxylg 则满足在其定义域上均值为 2 的所有函数是 .2xA. B. C. D.【解析】 满足题意, 不一定存在且不唯
8、一,故不满足题意,3141sinix21l4lx满足题意, 不一定存在,故不满足题意.故选 D.2xx11.若函数 的值域为 R,则实数 的范围为 .)(log)(2afa【解析】由题意,知 ,解得 ,故实数 的范围为 .040orx),0,(12. 已知函数3|31定义域是 b)(z，值域是 1，则满足条件的整数对 ),(ba有 对。【解析】513.关于函数 ,有下列结论: 2)(sin(|2xxf 是奇函数 ; 最大值为 ; 时, 恒成立; 的最小值为)f320x1)(xf)(xf.21其中正确命题的序号为 . 【解析】 是偶函数, 命题错误; , 命题错误;取 ,易知(xf2| 3sin
9、1,()2xf0命题错误; 当 时, 的最小值为 故命题正确.2|sin0()1,3x0f1能力提高14.已知 若 的最大值是 M,求证,)(2baxf |)(|xf .2M【解析】解法一:设抛物线 的顶点坐标是baxf2)( 4(,).2ab(1) 若 则 M 应是 与 中最大的一个.|1,2|1|)(f即说明 中必有大于等于 者.,4)(|)(| fff |)1(|ff、 12(2) 若 则 M 应是 中最大的一个.|,a2|()|baf、 、若 则 即说明12b ,|)1|)1(| fff在 中必有一个不小于 .)(|f、 2若 则 必有 .21,b22410,| .2baab12M综上
10、可知 成立. M解法二: 的最大值是 M, |)(|xf|(1)|,|()|,|(0)|fMff1,|1,2abab以上三式相加,得 4|2|b1)(2|ab.215.已知函数 的最大值不大于 又当 时,3)(xaf,6124x.8)(xf(1)求 的值;(2)设 证明,),(,210Nnfn .na【解析】(1) 函数 的最大值不大于 . 即 23()fxax1621(),36af2又当 时, 4.8即 解得 , 由得1()248f3128aa1.a故所求的 的值为 1.(2)方法一:当 时, 不等式 成立.1n10.01n又 故当 时,结论成立.21(),()()363fxaf2假设当 时
11、,结论成立 ,即不等式 成立.kka的对称轴为 .2()fxx知 在 为增函数, 得10310,3ka10()kf于是 12()2ka24()1k这就是说,当 时 ,结论也成立.n综合得,对于任意的正整数 , 恒成立.n1a方法二: 当 时, 不等式 成立.110.20n假设当 时,结论成立,即 .()nkk若 则 (1)0ka131()2kkaa若 则 (2)1,21ka131310()()222kk ka k 这就是说,当 时,结论也成立.n综合(1)(2)得,对于任意的正整数 , 恒成立.n应用创新16.（1）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切
12、去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 四个点重合于图中的点 P，正好形成ABCD一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm ）最大，试问 x 应取何值？2（2）若广告商要求包装盒容积 V（cm ）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边3长的比值.【解析】 （1）根据题意有222604()408Sxx（00)xy右支上的任意一点,则 的取值范围为PA B C D3-2,)32,)7-,)47,)4【解析】因为 是已知双曲线的左焦点，所以 ，即 ，所以双曲线方程为 ，(0F21a23a213xy设点 P ，则有 ，解得 ，因为 ，0,)xy201()3xy0()xy0(,)FP，所以 = ，此二次函数对应(O 20OPx )2012041x的抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 取得最小值04033xO3，故 的取值范围是 ，故选 B.32F,)【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
