1、1课题： 直线与圆锥曲线的位置关系授课者：滦县第十中学 陈智勇高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j会利用圆锥曲线的焦半径
2、公式解决焦点弦的问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j会用弦长公式| AB|= |x2 x1|求弦的长；k5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等） 、弦的中点的轨迹等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j一、 复习目标（一） 知识目标1、 掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系；2、 领会中点
3、坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用；3、 理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧；（二） 能力目标 1、 通过多媒体课件的演示，培养学生发现运动规律、认识规律的能力.2、 培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力（三） 情感目标1、通过课件的演示获得培养学生探索数学的兴趣.2、通过师生、生生的合作学习，树立竞争意识与合作精神，感受学习交流带来的成功感，激发提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。二、 教学重点与难点重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用；难点：等价转换、 “点差法”设而不求在解题中的灵活应用。三
4、、 方法指导：1、 在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时，不要仅由判别式进行判断，一定要注意二次项的系数对交点个数的影响。2、 涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用点差法较为简便。3、 要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。应用判别式，可以确定2直线和圆锥曲线的位置关系，确定曲线中的参数取值范围，求几何极值等。应用韦达定理，可以解先相交时的弦长问题，弦的中点问题或最值问题。4、 要重视方程思想、等价转换思想、分类讨论、数形结合等数学思想的运用。四、 教具准备：多面体课件。五、 教学过程（一）基础整合1、直线与圆的位置关系的判断：由圆心到直线的距离 d 与圆
5、半径 r 比较 大小判断位置关系： （1）当 时，直线与圆相交；（2）当 时，直线与圆相切；（3）当 时，直线与圆相离。2、 直线与圆锥曲线的位置关系的判断：【注意】：当 a=0 时，即得到一个一次方程，则直线与 C 相交，且只有一个交点，此时，若曲线 C 为双曲线，则直线平行与渐近线；若曲线 C为抛物线，则直线平行与抛物线的对称轴。直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件3直线与圆锥曲线相交的弦长公式：设直线 l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为 A (x1,y1)，B(x2,y2)，且由 ，消去 yax 2+bx+c=0（a
6、0） ，=b 2 nkxyF0),(4ac 。则弦长公式为：= = = AB2121)()(yx2k21x212yk焦点弦长： （点 是圆锥曲线上的任意一点， 是焦点， 是|PFed Fd到相应于焦点 的准线的距离， 是离心率） 。e（二）例题讲解【例 1 】 曲线 x2-y2=1 的左焦点为 F， P 为双曲线在第三象限内的任一点，则 kPF 的取值范围是( ) 【演示】(A)k0 或 k1 (B) k0 或 k1(C)k -1 或 k1 (D) k-1 或 k13【例 2】中心在原点，一个焦点为 F1（0， ）的椭圆截直线 所得523xy弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方程21解析：设椭圆的标
7、准方程为 ，由 F1（0， ）得)(2bayx 5502ba把直线方程 代入椭圆方程整理得： 。23xy 0)4(2)9( 22 abx设弦的两个端点为 ，则由根与系数的关系得：),(),(21yxBA，又 AB 的中点横坐标为 ，2219bax116221ax，与方程 联立可解出35025,72ba故所求椭圆的方程为： 。7yx【点评】：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由 F1（0， ）知，5c= ， ，最后解关于 a、b 的方程组即可50502ba【例 3】已知抛物线 与直线12yxa2yx求证：抛物线与直线相交；求当抛
8、物线的顶点在直线的下方时， 的取值范围；a当 在 的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja(2)【分析】：熟练掌握综合运用判别式、不等式讨论直线与圆锥曲线的位置关系、直线与曲线相交弦长等问题解：（1）由 21yxa2(4)10,xax 2(4)80,a直线与抛物线总相交 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2）22(),4ay其顶点为 ，且顶点在直线 的下方，(,)4ayx，24即 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j02aa设直线与抛物线的交点为 ，2(,)(,)AB12x42221()5.ABaa, 当 头
9、htp:/w.xjkygcom126t:/.jin0时 ，【点评】：直线与圆锥曲线相交的问题经常转化为它们所对应的方程构成的 方程组是否有解的问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 运用“设而不求”求弦长 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j【例 4】已知双曲线 和定点24xy(,)P（I）过 点可以做几条直线与双曲线 只有一个公共点；PC（II）双曲线 的弦中，以 点为中点的弦 是否存在？并说明理由 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jC12分析：能够综合运用直线方程、双曲线方程及对称性等几何性质来研究直线与双曲线的位置关系 头htp:/w.xjkyg
10、com126t:/.j解：（I）设过定点 的直线 的方程为：(,)Pl (2),ykx则 ，21()4ykx2 2(14)(16)(85)0kxkx当 时，即 ，210k解得 或 与双曲线 分别交于 和5x3,6lC53(,)2415(,)6当 时，由 得 ，24k08k即 得切线 切点为 ，815(2),yx10(,)3另一切线为 ，切点为x过点 有 4 条直线与双曲线只有一个公共点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jP（II）设 点为中点，12(,)(,)yxP则 12因为 满足双曲线方程，,x所以 ，14y214y相减得 12221()Pxk若弦 存在，则必为 ，y代入双曲
11、线方程得 ，230x方程的判别式 ，说明中点弦 不存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j112P【点评】：要明确判断直线与双曲线仅有一个公共点的方法步骤；用“点差法”和“设而不求”的方法处理中点弦 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j【例 5】 在抛物线 y2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称，求 k 的取值范5围【分析】：设 B、 C 两点关于直线 y=kx+3 对称，易得直线BC： x= ky+m，由 B、 C 两点关于直线 y=kx+3 对称可得 m 与 k 的关系式，而直线 BC 与抛物线有两交点， 0，即可求得 k 的范围 头htp:/w.xj
12、kygcom126t:/.j解法一：设 B、 C 关于直线 y=kx+3 对称，直线 BC 方程为 x= ky+m，代入 y24 x，得 y24 ky4 m=0，设 B（ x1， y1） 、 C（ x2， y2） ， BC 中点 M（ x0， y0） ，则 y0 2 k， x02 k2+m 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点 M（ x0， y0）在直线 l 上，2 k=k（2 k2 m）+3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j m= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j33又 BC 与抛物线交于不同两点， 16 k216 m0 头htp:/w.xjky
13、gcom126t:/.j把 m 代入化简得 0，33即 0，解得1 k0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jk)(12解法二：（点差法）设 B（ x1， y1） 、 C（ x2， y2） ， BC 中点M（ x0， y0）必在曲线内部且 x1+x22 x0， y1+y22 y0由 22121 12044,y 000 3,kyxk即 BC 中点 M 的坐标为 必在曲线 y2=4x 内部 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(,) 23()4()k 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 2(13)000kk【评述】：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关
14、系式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j本题运用了“设而不求” ，解决本题的关键是由 B、 C 两点在抛物线上得“ 0” 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（三） 课堂小结：1、由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时常利用数形结合思想，设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决。这样就加强了对数学各种能力的考查；2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，对消元后的一元二次方程，此时要注意必须讨论二
15、次项的系数和判别式，有时借助6图形的几何性质更方便。用好分类讨论和数形结合的思想方法；3、当直线与圆锥曲线相交时 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 涉及弦长问题，常用 “韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用 “点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍；（四）随堂练习1、过点（2，4）作直线与抛物线 y28 x 只有一个公共点，这样的直线有A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 条 B 头htp:/w.
16、xjkygcom126t:/.j 条 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 条 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 条答案：B 解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2、已知双曲线 C： x2 =1，过点 P（1，1）作直线 l，使 l 与 C 有且4只有一个公共点，则满足上述条件的直线 l 共有A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 条 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 条 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 条 D 头htp:/w.xjkygco
17、m126t:/.j4 条答案：D 解析：数形结合法，与渐近线平行、相切 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3、已知对 ，直线 与椭圆 恒有公共点，则实数R05的取值范围是 （ ）A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(0,)(,5),),)答案:C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析:直线 恒过点 ，当点 在椭圆上或椭圆0(0,1)内时此直线恒与椭圆有公共点， 1 且 m0，得 m1 头
18、htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4、已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ ，0）直线 y=x1 与其相7交于 M、N 两点，MN 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是 （ 32）A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j43355答案:D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析设双曲线方程为 分别2,7ab12(,)(,)MxyN代入双曲线方程并相减即可求解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5、设抛物线 与直线 有两个交点，其横坐标分别2(0)a(0)是 ，而直线 与 轴交点的横坐标是 ，那么 的12.x()ykxb3x123,x关系是A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3333答案:B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析:由题意得： 故选（B）1212,bba
