1、二轮复习专题转化与化归思想刘际成一、有关概念及考纲要求1、转化与化归思想 通过观察、分析、类比、联系 ,将待求问题转化为一个新问题的策略。2、转化化归解题的原则 化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3、常见的转化有 头htp:/w.xjkygcom126.xckt126.hp:/w.jygo 正与反的转化、常量与变量的转化、整体与局部的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、空间与平面相互转化、数学语言的转化等等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4另外还有三个思想方法分别是：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。5考
2、纲要求 理解转化与化归思想是高中数学的重要思想方法，会运用转化与化归思想解决问题6考情分析数学问题的解答离不开转化与化归它既是一种数学思想又是一种数学能力高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点诸如常量与变量的转化、数与形的转化、实际问题向数学模型的转化、以及数学各分支之间的转化都是高考的热点问题特别是实施新课标之后，高考考题不再向数学知识的纵深发展，而是以基础知识为出发点，转化与化归思想在解决问题中起到了更大的作用二、转化与化归思想在高中数学知识体系中的具体体现1、函数复合函数的最值、单调区间求法转化为初等函数来处理；作比较复杂的函数图形是比较简单的图形通过对称、平移等转化
3、而来；两角和可推导出二倍角、半角等公式等如 求对称中心、求单调区间等；又如函数 f(x) sin(x )xy(xR， 0,0 2)的部分图象如图所示，则( )A ， B ， C ， D ， 2 4 3 6 4 4 4 54教材高一下 P64 例 4、高二下 P17 线面平行定理及证明。 （用投影仪打出）2、立体几何三个语言的转化、空间问题平面化、几何问题代数化（建系） 、三视图与直观图等3、解析几何方程与图形转化、不等式与图形转化、求曲线交点与方程组间转化、与平面向量间转化等4、算法文字转化为程序、程序转化为程序框图5、数列不少数列问题最后转化到等差、等比数列问题上来6、概率对立事件7、不等式
4、反证法三、考向解析1、正与反的转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面得以解决。例 1：已知函数 12)(4)(2pxpxf ,在区间 ,上至少存在一个实数使 ,求实数 的取值范围.x0)(f分析:运用补集概念求解。解：设所求 p的范围为 A,则 ACI22)(4)(1, pxxf上 函 数在 01注意到函数的图象开口向上 ； 302)(93ppfI 或3PA点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。 （若是正面考虑六类情况）变式 1：若命题 P: ,命题
5、 q: ，则命题 P 是 q 的什么条件23yx或 5yxA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充要条件 D.既不充分也不必要条件非 P 非 q q p2、常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数） ，将其看做是“主元” ，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。例 2 对于 的一切实数，不等式 恒成立，求 x 的取值范04pxp243围。分析：习惯上把 x 当作自变量，记函数 y ，于是问题转化为xp2()当 时， 恒成立，求 x 的范围。解决这个问题需要应用二次函数以及二次p04， y0方程实根分布原理，这是比较复杂的.(y= = ,
6、,xxp23()1 240pP, ,14024左xp 3024右xp1x或若把 x 与 p 两个量互换一下角色，即将 p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为关于 p 的一次函数在0，4内大于 0 恒成立的问题。解：设 。fx()32显然 时不满足题意，x1由题设知当 时， 恒成立，04pf()0所以只要 ，且f()即 且x23x21解得 或 问题：本题如果习惯性用 x 当作自变量，记函数 y ，于是问题xpxp243()转化为当 时， 恒成立，求 x 的范围，好作么？如何下手？p04， y0点评：本题巧妙地将二次函数问题转化为关于 p 的一次函数在0，4内大于 0 恒成立的问题降低了难度
7、。 3、 特殊与一般的转化一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的规律。这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现。例 3、已知向量 ， )sin,co2(),sin2,(co21OBOA若 ，满足 ，则 的),si,(c1)si,( 0OBAA面积 等于 。OABS分析：可取 的某些特殊值代人求解。21,解：由条件 可得 。利用特殊值，如设 代 0 0)cos(210,21入，则 ，故面积为 2。),2(,BA点评：一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果。变式 2：ABC 的
8、外接圆的圆心为 ，两条边上的高的交点为OH， m（ ） ，则实数 mOC分析：如果用一般的三角形解决本题较难，不妨设ABC 是以A 为直角的直角三角形，则 为斜边 BC 上的中点，H 与 A 重合， ，于是得出 m1。BCOAH点评：这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。4、数与形的转化许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法。这就是数形结合的相互转化。例 4、设定义域为 R 的函数 ，则关于1,0|lg)
9、(xxf的方程 有 7 个不同实数解的充要条件是（ x0)(2cxbff）(A) 且 ( B) 且 0bc(C) 且 (D) 且0【分析及解】画出函数 的图象（图 3-1）,该图像关于 对xf 1x称,且 ,xf令 ,t若 有 7 个不同实数解,0)(2cbf则方程 有 2 个不同实数解,且为一正根,一零根.t因此, 且 ,故选(C). 问题：这 7 个根之和是多少？7 1lgllgxx点评：方程的根和图形相交有结合起来，在 时有三个不同根，另外四个根是0)(xf时， 相交情况，产生的四上根。0)(txf )(:,:21fyCt四课堂练习1. 在球面上有个点、，如果、两两互相垂直，且=a，那么
10、这个球面的面积是（C ）.提示： 利用构造法，由、四点构造一边长为 a 的正方体，该正方体为一球内接正方体，球的直径即为正方体对角线，即R a， a，故 S=4R2（a） 2a 2.2若 m、n、p、qR 且 m n 4，p q 1，则 mpnq 的最大值是（ B ）22A. 1 B. 2 C. 4 D. 53. 若 ，则（ A ）0， ，sicosincoabA B C Dabba2解析：若直接比较 a 与 b 的大小比较困难，若将 a 与 b 大小比较转化为 的大ab2与小比较就容易多了。因为 2211sinsin，图3-1又因为 ， 所以 ，所以02sini2ab2又因为 ，所以 ，故选
11、（A） 。ab， ab4. 已知 ()yfx是定义在 R上的增函数，函数 (1)yfx的图像关于点 (1,0)对称，若,x满足2261(8)3时，2y的取值范围是（ C ）A (3,7) B (9,5) C (1,49) D (9,4)解：f(x) 关于原点对称， 222 81686 yxyfxf ，224)3(yx 2535.已知定义在 R 上的可导函数 的导函数 ，满足 ，且()fx()fx()fxf，则不等式 的解集为 （ ）()(2),1,fxfxeA 0,().(,)BCD6. 如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封） ，其轴截面是边长为 2 的正方形， P 是 BC中点，现有一只蚂
12、蚁位于外壁 A 处，内壁 P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为_ _ 分析：研究最短距离，需要把立体 图展为平面图，由两点 间 的线段最短，求线段的长。解：把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段 AP，则 2,3,9BPA答案： 29五小结1转化与化归思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。2在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的。3在应用转化与化归思想方法还应注意它的三个基本要素
13、：把什么东西转化，即转化的对象；转化到何处，即转化的目标；如何进行转化，即转化的方法。4重难点归纳重点为掌握转化化归解题的原则难点为转化的方式选择及过程掌控（课内作业 3） 。PCDBAADA BBAPD C六.（选学）已知 A、B、C 是直线 上的三点,向量 满足：l OC,BA（1）求函数 y=f(x)的表达式. 0Oxln1f2yO(2) 若不等式 时， 及 都恒成立，求实数32bm2,x1,bm 的取值范围。解（1）由题意知 1ln1,AyfBOCAB三 点 共 线 ，2ln1yfx 21fxfx 2flx（2）不等式等价于 当 及 时恒成立23xmb,b令 令22211ln1hxfx
14、2 1xh0hx得 ， 在（-1，0）上是增函数0或 当 ,0x时当 在（0，0）上是减函数 ,1xh时 max0h当 时恒成立 令23mb1,b23Hb则 203310Hm 或所以实数 的取值范围是 ,m=1解：作直径 BD，连接 DA、DC，于是有向量 OB=-向量 OD易知，H 为ABC 的垂心CHAB,AHBCBD 为直径DAAB ，DCBCCH/AD，AH/CD故四边形 AHCD 是平行四边形向量 AH=向量 DC又 向量 DC=向量 OC-向量 OD=向量 OC+向量 OB于是，得向量 OH=向量 OA+向量 AH=向量 OA+向量 DC=向量 OA+向量 OB+向量 OC，对比系数，得到 m=1.解：延长 CO 交圆 O 于 D,连接 DA，DB因为 CO 为直径，所以 CAAD，BCBD因为 CABH，AHBC，所以 AD/BH,AH/BD四边形 ADBH 为平行四边形所以向量 OH=向量 OA+向量 AH=向量 OA+向量 DB=向量 OA+向量 DO+向量 OB=向量OA+向量 OC+向量 OB所以 M=1
