1、专题五 转化与化归的思想方法,第一部分 数学思想方法,知识概要,解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.,专题五 转化与归纳的思想方法,2. 化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化. 除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知 的问题实现的. 从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 化归与转化的思想是解决数学问题 的根本思想，解题的过程实
2、际上就是一步步转化的过程. 数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.,知识概要,专题五 转化与归纳的思想方法,3. 转化有等价转化和非等价转化. 等价转化前后是充要条件， 所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行 不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得 结论进行必要的验证.,知识概要,专题五 转化与归纳的思想方法,4. 化归与转化应遵循的基本原则：,（1）熟悉化原则：将陌
3、生的问题转化为熟悉的问题， 以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.,（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目 的，或获得某种解题的启示和依据.,（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.,（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.,（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可 考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.,专题五 转化与归纳的思想方法,5. 利用转化与化归的思想解决问题的模式可
4、图示如下：,知识概要,专题五 转化与归纳的思想方法,考题剖析,（2007烟台模拟题）若(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2(a1+a3)2的值为 （ ）A. 0 B. 1 C. 1 D. 2,1. C解析令f(x)=(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，(a0+a2+a4)2(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0a1+a2 a3+a4)=f (1)f(1)=(2+ )4(2+ )4=1, 所以选C.,专题五 转化与归纳的思想方法,点评本题巧妙地将二项式项的系数问题转化为函数问题， 关键是要看清(a0+a2+
5、a4)2(a1+a3)2的结构特点，可 以分解因式，而分解因式后与前面式子联系起来看， 就不难转化为一个函数问题了.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,2. C解析由原式可以变形为 ，即可以看作是动点（x, y)到点（3,1）的距离与到定直 线xy+3=0的距离之比为 ,故点M(x, y)的轨迹是双曲线.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,2. （2007云南昆明市质检题）若 则点M(x,y)的轨迹是 （ ）A. 圆 B. 椭圆C. 双曲线 D. 抛物线,点评本题如果直接对原式进行变形，是有一定的运算量， 效率也不高，但将式子转化为这种公式 之后，它的 几何意义就凸现出来了，解题时
6、要有一定的转化能力 与数形结合的能力.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,3. 在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为（ ）A. 160 B. 240 C. 360 D. 800,3. B分析本题要求(x2+3x+2)5展开式中x的系数，而我们只 学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的计算用下面两种思路进行转化：,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则 (x2+3x+2)5展开式是一个关于x的10次多项式，,(x2+3x+2)5=(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+
7、3x+2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为 (3x) 24=5316x=240x，所以应选B.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,思路2：利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算.,x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，,这条思路下又有四种不同的化归与转化方法.,如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)转化，可以发现只有 (3x+2)5中 会有x项，即 (3x)24=240x，故选B；,如利用x2+3x+2= (x2+2
8、)+3x进行转化，则只有 (x2+2)43x中含有x一次项，即 3x 24=240x；,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化 ,就只有 (x2+3x)24中会有x项，即240x；如选择x2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化， (x2+3x+2)5=(1+x)5(2+x)5展开式中的一次项x只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到，即为x 25+ 24x 15=160x+80x=240x，故选B. 点评化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知.,考题剖
9、析,专题五 转化与归纳的思想方法,4. （2007北京宣武区模拟题）某厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（ ）A. mN B. mN C. m=N D. 无法确定,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,4. A解析每月的利润组成一个等 差数列an，且公差d0， 每月的投资额组成一个等比数列bn，且公比q1.a1=b1，且a12=b12，比较S12与T12的大小.若直接求和
10、，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an=a1+（n1）d是关于n的一次 函数，其图象是一条直线上的一些点列.等比数列的通项公式bn=a1qn1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些 点列. 在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出aibi则S12T12，即mN.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,点评把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的.在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,5. 若关于x的方程cos2x+
11、4asinx+a2=0在区间0,上有 两个不同的解，则实数a的取值范围是_.,解析cos2x+4asinx+a212sin2x+4asinx+a2=2sin2x+4asinx+a1 令t=sinx，t 0,1，则原题转化为方程 2t2+4at+a10在0,1上有两个根.令f(x)=2t2+4at+a1，由二次函数图象可知：,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,a,解得：,点评本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,a,解析x2+px4x+p3(x1)p+x24x+30令g(p)=(x1)
12、p+x24x+3，则要使它对0p4均有 g(p)0，只要有x3或x1.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,6. 若不等式x2+px4x+p3对一切0p4均成立，试求实数x的取值范围.,点评在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要 地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.,考题剖析,专题五 转
13、化与归纳的思想方法,7. （2007湘潭市调研题）已知二次函数f（x）=ax2+2x2a1，其中x=2sin（0 ）. 若二次方程f(x) = 0 恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,分析注意0 ，则12sin2，即1x2 ,问题转化为二次方程根的分布问题，根据 图象得出等价的不等式组.,解析由以上分析，问题转化为二次方程ax2+2x2a1=0. 在区间1,2上恰有两个不相等的实根，由y=f（x）的图象（如图所示），得等价不等式组：,解得实数a的取值范围为3， .,点评本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了.,考题剖析,专题
14、五 转化与归纳的思想方法,8. 如下图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥PABC. （1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形P1P2P3A，如图（b）所示. 求证：侧棱PBAC； （2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求侧面PAC与底面ABC所成角；,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,（3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个三角形P1P2P3，如图（c）所示. 已知P1P3=P2P3，P1P2=2a，若三棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此三棱锥的体积.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,解析 （1）在平面图中P1BP1A，
15、P2BP2C. 故三棱锥中，PBPA，PBPC，PB平面PAC，PBAC.（2）由（1）在三棱锥中作PDAC于D，连结BD. 由三垂线定理得BDAC，PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连结 BP3得BP3AC，作AECP3于E, 得AE=P1P2=4.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3= = ，EP3= . 故CP3=2 ，P2P3=4 ，由ACDP3= CP3AE DP3= ，又BP3= BD= .在PDB中，cosPDB= ，侧面PAC与底面ABC所成的角的大小为arccos .,考题剖析,专题五 转
16、化与归纳的思想方法,（3）在平面图中，由剪法知，A、B、C分别是三角形三边 的中点. 由此得：AB=BC，AC=a. 在三棱锥中，取AC中点D. 连结PD、BD ACPD，ACBD，故AC平面PDB，且D到PB的距离为异面直线PB与AC之间的距离 d，SPDB= ad，V= a2d.,点评立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转化，有关空间角的计算总是转化为平面内的角来求解.,考题剖析,专题五 转化与归纳的思想方法,规律总结,1. 逐步树立转化与化归意识，遇到难题试着转换. 2. 转化与化归应遵循五条原则：3. 化归的基本方法与途径：,专题五 转化与归纳的思想方法,转化与化归应遵循
17、五条原则： (1)熟悉化原则：将陌生的问题化为熟悉的问题来解决； (2)简单化原则：将复杂问题化为简单问题，通过对简单 问题的解决，达到解决复杂问题的目的； (3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形的内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推理有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律； (4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决； (5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.,规律总结,专题五 转化与归纳的思想方法,化归的基本方法与途径： (1)等价转化将原题转化为与之等价的命题； (2)数形结合将问题中的数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系互相转化，获得化归途径； (3)降维(幂)与升维转化； (4)构造法“构造”一个合适的数学模型，使问题易于解决.,(另外)还有特殊化方法、一般化方法、换元法、补集法等.,规律总结,专题五 转化与归纳的思想方法,
