1、对接高考 总结规律 高效学习 抢占先机 1专题：解三角形高频考点、重难点及易错点讲义【概述】三角形共有 3 条边、3 个角，共计 6 个元素。解三角形就是已知三角形的几个元素，求其它元素的过程。利用正、余弦定理、三角形面积公式、勾股定理等知识，可以解任意三角形。【已学与解三角形密切相关的知识】一、三角形的“五心”及有关重要结论重心：三角形三条中线交点；外心：三角形三边垂直平分线的交点，又名外接圆的圆心；内心：三角形三内角的平分线的交点，又名三角形内切圆的圆心；垂心：三角形三边上的高相交于一点；旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点，又名三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边
2、的延长线相切的圆）的圆心。重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 21。2、重心和三角形任意两个顶点组成的 3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心对接高考 总结规律 高效学习 抢占先机 2坐标为（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。5、 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。外心的性质：1、外心到三顶点的距离相等2、若 O 是ABC 的外心，则BOC=2A（A 为锐角或直角）或BOC=360-2A（A
3、 为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。2、三角形外心 O、重心 G 和垂心 H 三点共线，且 OGGH=12。3、垂心到三角形一顶点距离为此
4、三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。内心的性质：1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。对接高考 总结规律 高效学习 抢占先机 32、P 为 ABC 所在空间中任意一点，点 0 是 ABC 内心的充要条件是：向量 P0=(a向量 PA+b向量 PB+c向量 PC)/(a+b+c).3、O 为三角形的内心，A、B、C 分别为三角形的三个顶点，延长 AO 交 BC边于 N，则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC4、(欧拉定理)ABC 中，R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径，O 和 I分别为其外心和内心，
5、则 OI2=R2-2Rr5、（内角平分线分三边长度关系）ABC 中，0 为内心，A 、B、 C 的内角平分线分别交 BC、AC、AB于 Q、P、R， 则 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.7、内心到三角形三边距离相等。旁心的性质：2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。注意：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。二、角的变换 在ABC 中，A+B+C=，sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。 sin（A+B）/2=cosC/2，cos（A+B
6、）/2=sin C/2对接高考 总结规律 高效学习 抢占先机 4三、边角关系三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；三角形中大边对大角，小边对小角。三、三角形面积S= 1/2ah, 11sinsisin22CSbcabCcAS=rp=p（p-a）（p-b）（p-c），其中 r 为三角形内切圆半径，p 为三角形半周长，此为海伦公式。四、射影定理在 RtABC 中，ABC=90，BD 是斜边 AC 上的高，则：BD=ADCDAB=ACADBC=CDACa=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=acosB+bcosA。五、其它知识点在ABC 中，熟记并会证明：A，B
7、，C 成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC 是正三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且a，b，c 成等比数列【高频考点及重难点】一、正弦定理对接高考 总结规律 高效学习 抢占先机 51、定义。在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边， 为 的外CAabcACRCA接圆的半径，则有 。2sinisinRC2、正弦定理的变形公式 ， ， ；sinaRA2sib2sic ， ， ； ；iRn:sin:siabcCA 。sinsinisiicabCC3、正弦定理适用范围及求解方法（1）已知两角及一边，求其余的量。如已知两角 A、 B 与一边 a，由 A B C180及 ，可求出asin
8、A bsinB csinC角 C，再求出 b，c（2）已知两边和其中一边的对角，求其余的量。若已知两边 a、 b 及其中一边的对角 A，由正弦定理 求出另一边 basinA bsinB的对角 B，由 C ( A B)，求出 C，再由 ，求出 c，通过 asinA csinC asinA求 B 时，可能出现一解，两解或无解的情况，尤其要注意解的情况。bsinB如：在三角形 ABC 中，已知 a、b、A（A 为锐角）求 B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把 a 扰着 C 点旋转，看所得轨迹以 AD 有无交点：当无交点则 B 无解、当有一个交点则 B 有一解、DbsinAAb aC对接高考
9、 总结规律 高效学习 抢占先机 6当有两个交点则 B 有两个解。法二：是算出 CD=bsinA,看 a 的情况：当 ab 时，B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。二、正弦定理1、定义。在 中，有 ， ，C22cosabA22cosba22coscab2、余弦定理的推论。 ， ， 22cbA22osca22osabcC3、余弦定理适用范围及求解方法（1）已知三边，求三角。 如已知三边 a、 b、 c，由余弦定理可求出角 A、 B、C.（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。 如已知两边 b， c 与其夹角 A，由 a2 b2 c22 bccosA, 求出 a，再由正弦定
10、理，求出角 B，C.三、三角形形状的判定判断三角形的形状，应利用正、余弦定理，围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别。设 、 、 是 的角 、 、 的对边，abcCAC（1）若 ，则 ；2290（2）若 ，则 ；（3）若 ，则 。22abcC对接高考 总结规律 高效学习 抢占先机 7常用方法是：化边为角；化角为边。四、正余弦定理的综合应用1、基本概念（1）坡角和坡度： 坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度，用 i 表示，根据定
11、义可知：坡度是坡角的正切，即 tani（2）俯角和仰角： 如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角. （3） 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为. 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。 （4） 方向角： 相对于某一正方向的水平角. （5）视角： 由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角2、方法技巧解三角形的命题类型：(1)测量距离；(2)测量高度；(3)测量角度。解三角形的一般步骤：(
12、1)分析、理解题意分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，对接高考 总结规律 高效学习 抢占先机 8如坡角、仰角、俯角、方位角等。(2)根据题意画出示意图。(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要求算法简练，计算正确，并作答。(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍。例 1，隔河看两目标 A、B,但不能到达，在岸边选取相距 千米的 C、D 两点，3并测得ACB=75 O, BCD=45 O, ADC=30 O, ADB=45 O(A、B、C、D 在同一平面内)，求两目标 A、B 之间的距离。例 2，如图， A
13、、 B、 C、 D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B、 D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75、30，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60， AC0.1 km.试探究图中B、 D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B、 D 的距离(计算结果精确到0.01 km， 1.414， 2.449)2 6【思路分析】 计 算 ADC AC DC AB BD 在 ABC中 计 算 AB求 得 BD【解】 在 ACD 中， DAC30， ADC60 DAC30，所以 CD AC0.1.又 BCD180606060，故 CB 是 CAD
14、 底边 AD 的中垂线，对接高考 总结规律 高效学习 抢占先机 9所以 BD BA.在 ABC 中， ，ABsin BCA ACsin ABC所以 AB .ACsin60sin15 3 2 620BD 0.33(km)故 B、 D 的距离约为 0.33 km.3 2 620【规律小结】 求距离问题一般要注意：(1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例题中的 CD)(2)选定或创建的三角形要确定(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定例 3，测量河对岸的塔高 AB 时，可选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点C 与 D，现测得 BCD75， BDC60， C
15、D s，并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30，求塔高 AB.【思路分析】 在 BCD 中，求得 CB，在 ACB 中，求出 AB.【解】 在 BCD 中， CBD180756045由正弦定理得 BCsin BDC CDsin CBD所以 BC sCDsin BDCsin CBD ssin60sin45 62在 Rt ABC 中， AB BCtan ACB stan30 s62 22【失误点评】两处易错点：(1)图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，对接高考 总结规律 高效学习 抢占先机 10从而致错；(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错。例 4，某校运动会开
16、幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和 30，第一排和最后一排的距离为 10 米(如图所示)，旗杆底部与6第一排在一个水平面上若国歌长度约为 50 秒，升旗手应以怎样的速度匀速升旗？解析：在 BCD 中， BDC45， CBD30， CD10 (米 )，6由正弦定理，得 BC 20 (米)；CDsin45sin30 3在 Rt ABC 中，AB BCsin6020 30(米)332所以升旗速度 v 0.6(米/秒)ABt 3050前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟
17、有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背对接高考 总结规律 高效学习 抢占先机 11景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题
18、A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定 C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC和 BC，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。 现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。 前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今对接高考 总结规律 高效学习 抢占先机 12天我们接着探讨这方面的测量问题。 解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
