1、精 华 名 师 辅 导教学内容：等腰三角形判定【基础知识精讲】本节包括等腰三角形判定，特殊等腰三角形(等边三角形)的判定及特殊直角三角形(一个锐角为 30的直角三角形) 的短直角边与斜边的关系 .后几个定理都是判定定理的推论 .等腰三角形判定定理：若一个三角形有两个角相等，那么两角所对边也相等.它与性质定理互为逆定理，判定也简写成“等角对等边”.推论 1 三个角相等的三角形是等边三角形.推论 2 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形.推论 3 直角三角形中，若有一个锐角为 30，则该角所对的直角边为斜边的一半.关于推论 1，也有说成“有两个角为 60的三角形是等边三角形”理由是显然的.对于
2、判定定理的证明，可用作第三个角的角平分线或等角夹边上的高相等.作辅助线方法，通过全等来进行证明.但不能作夹边中线来解决，因为此时两个三角形不能满足全等判定.在掌握了“大边对大角”后，亦可利用反证法来进行证明.设两角对边不相等，则长边所对的角必大，与两角相等矛盾.判定定理及几个推论在今后有着广泛的应用.【重点难点解析】本节重点均在判定定理及几个推论的掌握及灵活运用上.判定定理为我们证明线段相等提供了作全等以外的又一重要手段，而推论又为已知线段之间的关系(相等或成 12 的比例)求角的度数，提供了有力的工具 .例 1 ABC 中，AB=AC ，BAC=120,D 为 BC 上一点，DA AB，AD
3、=24,求BC.（图 3.13-1）图 3.13-1分析 由已知等腰三角形顶角 120,可求出底角 30(B=30)，可计算出C =CAD=30 .再利用等腰 ADC 及有一个锐角为 30的 RtADB 三边的关系求出结论.解 AB=AC BAC=120 B=C=30.又 ADAB CAD=30=C. AD= DB=CD21BC=BD+DC=2AD+AD=3AD AD=24 BC=72.例 2 ABC 中，B C ，求证 ACAB.图 3.13-2分析 本题可通过在大角内构造一个角等于C，再通过等腰三角形判定及三角形三边关系得出结论.本题亦可利用“等边对等角” “大边对大角”定理，通过反证法说
4、明ACAB 不成立，进而得结论.证一 BC 在B 内作CBD=DCB，BD 交 AC 于 D.BD=DC 在ABD 中 AD+BDABAD+DCAB ACAB.证二 设 ACAB. 若 AC=AB 则B=C ，若 ACAB,则B C，均与B C 矛盾 AC AB 不成立 AC AB注：本例结论为一个定理：一个三角形中两内角不相等，则较大内角的对边也较大.(简称为“大角对大边”)与上节例 3(图 3.11-2)互为逆定理，都是我们判断边角不等关系的重要依据.例 3 D 为ABC 内一点，AB=AC，ADBADC.(图 3.13-3).求证 DCDB.图 3.13-3分析 利用旋转，构造全等三角形
5、再利用等腰三角形性质及三角形边角不等关系证出结论.是解决本题的基本思路.证 AB=AC.将ABD 绕 A 点逆时针旋转，使 AB 与 AC 重合得ADCADB.连 DD、DC.AD=AD ADC=ADB. ADD=ADD. ADBADCADCADC. ADC-ADD ADC-ADDDDCDDC.DCDC 又 DC=DB DCDB.例 4 如图 3.13-4 B= D=134,AB=AD,求DCA+CAB 的度数.图 3.13-4分析 利用 AB=AD，连 BD 构造等腰ABD，进一步由ADC=ABC 及ADB=ABD 得等腰DCB. 可证得 AC 为DAB 和 DCB 的平分线.解 连 BD，
6、AB=AD ADB=ABD 又ADC=ABCCDB=CBD DC=BC，在ABC 和ADC 中 AB=AD，BC=DC，AC=ACABCADC DCA=BCADCA+CAB=BCA+CAB=180 -ABC=180 -134=46【难题巧解点拨】六边形 ABCDEF 的每个内角都为 120,且 AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形ABCDEF 的周长 .图 3.13-5分析 考虑到每个内角为 120,则每个外角均为 60,可通过构造等边三角形来求边长及面积解 延长 BC、ED 交于 M，DE 、AF 交于 N，FA 、CB 交于 P.EDC=DCB=120 DCM=CDM=60 M
7、DC 为等边三角形M=60同理BAP ， EFN 均为等边三角形. M= N=60 MNP 为等边三角形，MD=MC=6，PB=PA=1，NE=NF=EF.MP=6+9+1=16=MN=NP，EF=NF=NE=MN-ME=16-（16+8）=2.FA=NP-NF-PA=16-1-2=13.周长为 1+9+6+8+2+13=39.例 2 如图 3.13-6，ABC 为等边三角形，D 在 BA 延长线上， E 在 BC 延长线上，且DA=BE.求证 DC=DE.图 3.13-6分析 DA=BE 这一条件给我们造成了一定困难，而B=60 ;故可考虑制造以 DB 为边的新的等边三角形，进而利用全等来完
8、成证明.证 延长 BE 至 F，使 EF=BA，DA=BE,DB=FB.ABC 为等边三角形B=60 DBF 为等边三角形.DB=DF B=F=60 又证 EF=AB=BCDBCDEF DC=DE.【课本难题解答】P114 复习题三 A 组 19如图 3.13-7，AD 为ABC 的角平分线， DE、DF 分别为ABD 和ACD 的高，求证AD 垂直平分 EF.图 3.13-7分析 本题着手点在 DE，DF 为ABD 和ACD 的高，也就是 D 到 AB、AC 的距离，考虑到 AD 为角平分线，由角平分线性质 DE=DF，进而得出 RtAED Rt AFD（HL ）,从而 AE=AF，再利用等
9、腰三角形三线合一的性质，即可得 AD 为 EF 的中垂线.【典型热点考题】例 1 等腰直角三角形斜边长为 a，则面积为( )A. a2 B. a2 C.a2 D.2a241图 3.13-8分析 要求面积，需知斜边上的高，作 AD斜边 BC 于 D，RtABC 中，AB=AC，B=45,又 AD 为高也为 BC 边的中线BD=DC= a,在 RtABD 中，B=45 21BAD=B=45AD=BD= a SABC= a a= a2.故选 A.214例 2 ABC 中，AB=AC ， D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且 BD=CE，DE 交 BC于 P，求证：DP=EP.图 3.13-9
10、分析 构造等腰三角形及全等三角形，利用它们的性质及判定来证明线段相等.是本题的基本思路，设法制造一个与PCE 全等的三角形(或与BDP 全等的三角形)，并使 DP与 PE 成为对应边，是着手证本题的基本考虑.证 过 D 作 DFAC 交 BC 于 F,FDP=E DFB=ACBAB=AC，B= ACB=DFB.BD=DF 又 BD=CE，DF=CEDFPECP（AAS ）DP=PE另：本题亦可过 E 作 EGAB 交 BC 延长线于 G 来证.例 3 如图 3.13-10，ABC 中，AB=AC，BAC=90 , ABD=ACE,CE=BD. 求证(1)ADE 也为等腰直角三角形，(2)BDC
11、E.图 3.13-10分析 要证ADE 为等腰直角三角形，需要解决二个问题(1)AD=AE (2)ADDE(DAE=90 )考虑BAD 和CAE 是否全等，如果全等，则 AD=AE，BAD-CAE，可得DAE=BAC=90 .所以证明BADCAE 是解决本题的关键.证明 (1)AB=AC ，ABD=ACE CE=BDBADCAE. AE=AD ，BAD= CAEBAE=DAE 又BAC=90 DAE=90ADE 为等腰直角三角形.分析 要证 BDCE.可考查 RtBAG 与CFG 的各个内角. ABG=FCG, BGA=CGF 可得CFG= BAG=90 BDCE.证 在BAG 与CFG 中，
12、BGA=CGF. ABG=FCG.CFG=BAG=90 BDCE.【同步达纲练习】一、判断(3 分8=24 分)( )1.一个三角形若有两个内角不相等，则不是等腰三角形.( )2.三角形一边中线是它对角的平分线，则夹这条边的两内角相等.( )3.有一个角是 60的三角形是等边三角形.( )4.直角三角形一直角边为斜边的一半，则该边的对角为 30.( )5.ABC 中，ABAC, B, C 平分线交于 O，则 OBOC.( )6.AD 为ABC 的角平分线，则 AB，AD，AC 中 AD 最长.( )7.等腰三角形底角 15,腰长 2a，则腰上的高为 a.( )8.AD，BE 为锐角ABC 的两
13、条高，若 ADBE.则AB.二、选择(4 分8=32 分)1.D 为等边三角形 ABC 边 AC 上一点，ACE=ABD，CE=BD.(图 3.13-11)则ADE是( )A.钝角三角形 B.直角三角形C.任意等腰三角形 D.等边三角形图 3.13-112.AD 为ABC 的角平分线，AB+BD=AC，则B C 值为( )A.21 B.31 C.41 D.513.ABC 中，A= C=55,形内一点 P 使PAC=PCA，则ABP 为( )A.30 B.35 C.40 D.454.ABC 中，AB=AC ，BAC=120,D 为 BC 上一点，DAAB，AD=24 则 BC=( )A.24 B
14、.36 C.72 D.965.等腰直角三角形斜边长为 a，则面积为( )A. a2 B. a2 C.a2 D.2a24116.如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是( )A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.斜三角形7.ABC 中C=2B，则( )A.AB2AC B.AB=2ACC.AB2AC D.AB 与 2AC 关系不确定.8.如图 3.13-12,ABC 中 AB=AC，A=36,BD、CE 为角平分线，交于 O，则图中等腰三角形共有( )图 3.13-12A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.10 个三、填空(8 分4=32 分)1.等腰三角
15、形判定定理是证明 相等的重要定理之一.2.三角形一个外角平分线平行三角形一边，则这个三角形是 .3.等腰三角形一个外角为 130，则顶角为 .4.三内角都相等的三角形是 三角形，每个内角都等于 .5.ABC 中，AB=5，AC=7，B ，C 的平分线交于 O，直线 MN 过 O 点交 AB 于M，AC 于 N，若 MNBC ，则AMN 周长为 .7.ABC 中，高 AD、BE 交于 H,且 BH=AC，则ABC= .8.ABC 中，C=2B，AC=4，则 AB 的取值范围 AB .四、解答题(6 分2=12 分)1.ABC 中，AB=AC ，A=20,D 为 AB 上一点，且 AD=BC，求B
16、DC.2.ABC 中，AB=AC ，BD、 CE 为角平分线，AHCE 于 F 交 BC 于 H，AG BD 于G.求证(1)AC=CH (2)AF=AG.【素质优化训练】1.AD 为ABC 的角平分线，M 为 BC 中点，MEAD 交 BA 延长线于 E，交 AC 于 F.求证 BE=CF= (AB+AC)212.RtABC 中，AC=BC，D 为形内一点，满足DCB=DBC=15 .求证 AC=AD.【生活实际运用】如图(3.13-13)村庄 A、B 位于一条小河的两侧；若河岸 l1，l 2 彼此平行，现在要架设一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近
17、.图 3.13-13 【知识探究学习】当要证相等的二线段是同个三角形的两边，或二线段有公共点，连结另两个端点，使其成为三角形的两边，若能证得两边对的角相等；则可证得二线段相等，基本图形有：图 3.13-14参考答案：【同步达纲练习】一、 二、D A B C A B A C三、1.线段 2.等腰三角形 3.50或 80 4.等边，60 5.12 6.38 7.45 8.4AB 8四、1.作正ACE A=20 连 DE DAE= B=80 AD=BC AE=ABABCEAD DE=AC=CE，AED=A=20 DEC=40 DCE=70DCA=10 BDC=302.AHCF CF 平分ACH AC
18、H 为等腰三角形 AC=CH.AB=AC ABC=ACB BD,CE 为角平分线 ABD=ACE= 21ABC= ACB Rt AGB RtAFC AG=AF21【素质优化训练】1.延长 EM 到 G，使 MG=MF，连 BG，则BMGCMF BG=FC ，G=CFM又 AD 平分BAC ADME, E=BAD=DAC=MFC=G. BE=BG=FC2BG=AB+AE+CF=AB+AF+CF=AB+AC BE=CF= (AB+AC)212.在ACD 内作正CDP.连 AP，DCB=15 PCD=60 ACP=DCB=15PC=CD BC=AC ACP BCD CAP=DBC=15 APC=150 CPD=60 APD=150 APC=APD PA=PA PC=PDPAC PAD AC=AD【生活实际运用】由 A 作 AAl 1,并使 AA=河宽，连 AB 交 l2 于 D，作 CDl 1 交 l1 于 C，连AC，则 CD 就是架桥位置，AC+CD+DB 就是最近路程.
