1、第三章 一阶微分方程的解的存在定理研究对象初值问题(Cauchy Problem) (3.2) 10)(,yxfd1 基本概念 1）利普希兹(Lipschitz)条件 函数 称为在闭矩形区域 上关于 满足利普希兹条),(yxf byaxD00,: y件，如果存在常数 使得不等式0L2121),(),(yLxff对所有 都成立。其中 称为利普希兹常数。yx),(212 ）局部利普希兹条件称函数 在区域 内关于 满足局部利普希兹条件，如果对区域 内的),(f2RGy G每一点，存在以其为中心的完全含于 内的矩形域 ，在 上 关于 满足利普希D),(yxf兹条件。注意：对 内不同的点，矩形域 大小和
2、常数 可能不同。L3）一致利普希兹条件 称函数 在区域 内一致地关),(yxfGyxG ,),(, R2于 满足局部利普希兹条件，如果对 内的每一点 都存在以 为中心的球y),(yx，使得对任何 ， 成立不等式GS),(1yxS),(221yLff 其中 是与 无关的正数。L4）解的延拓设方程(3.1)右端函数 在某一有界区域 中有意义， 是初),(yxfG,),(baxy值问题(3.1)、(3.2)的解，若 也是初值问题的解，且,1ba，当 时， ，则称解 是解 在区间 上,1ba,bax)(x)(x)(,ba的一个延拓。5）包络和奇解曲线族的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但
3、过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解 在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注意：1）奇解上每一点都有方程的另一解存在。2）通解中不一定包含方程的所有解，例如奇解。3）一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。2 基本定理 1）存在性与延拓性定理定理3.1 （皮卡(Picard）解的存在唯一性定理）如果函数 在闭矩形域 ),(yxfbyaxD00,:上连续且关于 满足利普希兹条件，则方程(
4、3.1)存在唯一的连续解 ，定义在区y )(xy间 上, 且满足初始条件 ，这里 。hx0 0)(yx ),(ma,in(),(yfMbahDyx证明分五个步骤完成。步骤 1 求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程；步骤 2 构造一个连续的逐步逼近序列；步骤 3 证明此逐步逼近序列一致收敛；步骤 4 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解；步骤 5 证明唯一性。注意：定理3.1中的条件是解存在唯一的充分条件而非必要条件。定理3.2（皮亚诺(Peano）解的存在性定理）如果微分方程(3.1)的右端函数 在某区域 内连续，任给点 ，则),(yxfGGyx),(0满足初始条件 的解在含 的某区
5、间上存在。0)(yx0x定理 3.3 对于隐式方程 ，如果在点 的某一邻域中，),(yF),(0yx对所有的变元 连续，且存在连续的偏导数；),()yxFax；00b。),()yxc则方程 存在唯一的解 ， （ 为足够小的正数）且满足0),(F)(xyh0条件 。0(yxy定理3.4 如果方程(3.1)右端的函数 在有界区域 中连续，且在 内满足),(yxfG局部利普希兹条件，那么方程(3.1)通过 内任何一点 的解 可以延拓。G),(0)(xy直到点 任意接近区域 的边界。以向 增大一方的延拓来说，如果 只)(,xx能延拓到区间 上，则当 时， 趋近于区域 的边界。m0)(,G推论 如果 是
6、无界区域，在解的延拓定理的条件下, 则方程(3.1)的通过点G的解 可以延拓，以向 增大一方的延拓来说，有下面的两种情况:),(0yx)(xx) 解 可以延拓到区间 ，a),0) 解 可以延拓到区间 ，b)(xymx其中 为有限数，当 时， 或者无界，或者 趋于区域 的边界。m)(y)(,xG定理3.5 第一比较定理若函数 都在平面区域 上连续，且有不等式),(,xFyf Gyx),(成立，则方程 满足初始条件 的解 和方程 满),(yxfd0)(x),(yxFd足初始条件 的解 在它们共同存在的区间上，满足不等式：0)y当 时，),(x0当 时。),(x02）解对初值的连续性与可微性定理定理
7、3.6 假设函数 于区域 内连续且关于 满足局部利普希兹条件，),(yfGy， ),(0xy是初值问题 的解，它于区间 有Gx),(0 0)(,yxfdbxa定义，其中 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数 ， 使得ba0 ),(当 时，初值问题 的解 在区间2020)()(yx 0)(,yxfd),(0yx也有定义，并且ba， 。yxyx),(),(00 ba定理3.7 假设函数 于区域 内连续且关于 满足局部利普希兹条件，则初值fGy问题 的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续0)(,yxfd),(0yxy0,x的。定理3.8 对于方程（ ）),(yxfdE用 表示区域 。GG ,假设函数
8、 于区域 内连续，且在 内关于 一致地满足局部利普希兹条),(yxfy件， 是方程 通过点 的解，在区间),(,( 00yx0E),(0x有定义，其中 ， 那么，对任意给定的 ，必存在正数bxaba0 ，使得当),( 202020 )()()( yx时，方程 满足条件 的解 在区间 也有定义，并Ey,yxbxa且 ， 。),(),( 00yxyx bxa定理3.9 假设函数 于区域 内连续，且在 内关于 一致地满足局部利fGy普希兹条件，则方程 的解 作为 的函数在它的存在范围内E),(0yxy,0x是连续的。定理3.10 若函数 以及 都在区域 内连续，则初值问题 的),(yxffG0)(,
9、yxfd解 作为 的函数在它的存在范围内是连续可微的。),(0yxy0,3 基本计算 1) 近似计算和误差估计 第 次近似解的计算公式n。 xnn hxdfyx0 0010 ,)(,)( 第 次近似解的误差公式。1)!()(nnhMLx2）求奇解（包络线）的方法a） 自然法找出方程不满足唯一性条件的点集合 ，例如 ，再验证它是否是L),(yfx奇解或是否包含有奇解。b） -判别曲线法C结论1 通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组 0),(Cyx消去 而得到的曲线 中，有的因式可能是奇解。C),c） -判别曲线法P结论2 方程 的奇解包含在下列方程组0),(yxF),(p消去 而得到的曲线 中。p0yx注意：以上方法都需要验证所得曲线是否真是奇解。
