1、安徽理工大学一阶微分方程的解的存在定理数学文化徐正20113051082013/4/9采用皮卡（Picard）的逐步逼近法证明一阶微分方程在满足一定的初值条件时的解的存在唯一性定理。一阶微分方程的解的存在定理数学文化的读书报告徐正数学 11-2,2011305108摘要 采用皮卡（Picard ）的逐步逼近法证明一阶微分方程在满足一定的初值条件时的解的存在唯一性定理。关键词 利普希茨条件 唯一 连续 初值条件引言存在唯一性定理可以明确地肯定微分方程的解在满足一定条件下的存在性和唯一性，它将是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。另一方面，由于能够求得精确解的微分方程不多，所以微分方
2、程的近似解法（包括数值解法）就具有十分重要的实际意义，而解的存在和唯一性又是进行近似计算的前提。因此，对初值问题的解的研究就被提高到了重要的地位。那自然要问：初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一呢？定义 1 设一阶微分方程=(,) （1）这里 是在矩形域 上的连续函数。(,) ： |-|， |-|定义 2 函数 称在 R上关于 y满足利普希茨（Lipschitz）条件，如果存在常数 L(,)0，使得不等式 |(,1)(,2)|12|对于所有 ， 都成立，L 称为利普希茨常数。(,1) (,2)定理 如果 在矩形域 R上连续且关于 y满足利普希茨条件，则方程（1）存在唯(,)一的解 y= ，定
3、义于区间 ，连续且满足初值条件 = ，这里 h= () |-| (0)0，M= 。(,) max(,)|(,)|证明 为了简单起见，现只就区间 进行讨论，对于 的讨论00+ 00同理。有关逐步逼近法证明解的存在唯一性定理的主要思想可以参考文献【1】下面分五个命题来证明定理命题 1 设 = 是方程（1）定义于区间 +h 上，且满足初值条件() 00(0)=0（2 ） 的解，则 是积分方程=()y= + ， 0(,)00+（3）上的连续解。反之亦然。证明 因为 = 是方程（1）的解，故有 ，两边从 到 x 取定积分()()=(,() 0得 - ， ， ()(0)=0(,()00+把（2）代入上式，
4、即有， +h，()=0+0(,()00因此，y= 是（3）的定义于 +h 上的连续解。反之，如果 y= 是（3）的 () 00 ()连续解，则有 = ， ()0+0(,()00，（4 ）微分得，()=(,()又把 x= 代入（4） ，得到 ，因此，y= 是方程 （1）的定义于 +h 上，0 (0)=0 () 00且满足初值条件（2）的解。命题 1 证毕 。现在取 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下：(0)=0 (0)=0（5 ） ，()=0+0(,1()0+ （ =1,2）命题 2 对于所有的 n， （5）中函数 在 上有定义连续且满足不等() 0+式 |()0|（6 ）证明 当 n=1 时， =
5、 。显然 上有定义连1()0+0(,0) 1()在 00+续且有 |()0|= |0(,0)|0|(,0)|M（x- ） Mh b， 即命题 2 当 n=1 时成立。设命题 2 当 n=k 时成立，也即 在 上有定义连续且满足不等式() 00+，这时|()0|= 。 +1()0+0(,()由假设，命题 2 当 n=k 时成立，知道 在 上有定义连续且有+1() 00+|+1()0|0|(,()|M（x- ） Mh b， 即命题 2 当 n=k+1 时也成立。由数学归纳法得知命题 2 对于所有 n 均成立。 命题 2 证毕。命题 3 函数序列 在 上一致收敛。() 00+证明 考虑级数+ ， ，
6、 ()=1()1() 00+（7 ） 它的部分和为+ = ， 0()=1()1()()因此，要证明函数序列 在 上一致收敛，只须证明（7）在() 00+上一致收敛。为此，由（5）有00+(8)|1()0()|0|(,0()|M（ x-）及 . |2()2()|0|(,1()|利用利普希茨条件及（8） ，得到|2()2()|0|1()0()|L =0（ -） 2! (0)2。设对于正整数 n，不等式|()1()| 1! (0)成立，则由利普希茨条件，当 时，有00+|+1()()|0|(,()(,1()|0|()1()|=!0 (0) （ +1） !(0)+1于是，对于所有的正整数 k，有：，
7、（9 ）|()1()|1!(0) 00+从而可知，当 时00+（10 ）|()1()|1!(10)的右端是正项收敛级数 的一般项。由 Weierstrass 判别法，级数（7）在=11!上一致收敛，因而函数序列 在 上一致收敛。00+ () 00+命题 3 证毕。设 = ，则 也在 上连续，且由（6）可知lim()() () 00+ |()0|。命题 4 是积分方程（3）定义于 上的连续解。() 00+证明 由利普希茨条件 |(,()(,()|()()|以及 在 上一致收敛于 ，即知序列 在() 00+ () (,()上一致收敛于 。因而，对（5 ）两边取极限，得到00+ (,()= +lim
8、 ()0lim0(,1()= ，0+0lim(,1()()即，()=0+0(,()这就是说， 是积分方程（3）定义于 上的连续解。() 00+命题 4 证毕。命题 5 设 是积分方程（3）定义于 上的另一个连续解，则 =() 00+ ()（ () 00+）。证明 证 也是序列 的一致收敛极限函数。为此，从() ()= ， = （n 0()0 ()0+0(,1() 1），= ，()0+0(,()有：M ,|0()()|0|(,()| （ x-）|1()()|0|(, 0()(,()|L 0|0()()|ML = .0（ -） 2!(0)2现设，| 1()()|1! (0)则|()()|0|(,
9、1()(,()|L0|1()()|!0 (0)= ，（ +1） !(0)+1故对于所有的正整数 n，有：， | ()()|（ +1） !(0)+1（11 ）因此，在 上有00+。 | ()()|（ +1） !+1（12 ）是收敛级数的公项，故 时，（ +1） !+1 （ +1） !+10. 在 上一致收敛于 。因而 () 00+ ()根据极限的唯一性，得= （ () () 00+）。命题 5证毕。综合命题 15，得存在唯一性定理的证明。定理证毕。定理证明详情参考文献【2】参考文献【1 】 王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松，常微分方程M，高等教育出版社，第三版，P77P78【2 】 王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松，常微分方程M，高等教育出版社，第三版，3.1
