1、1二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法拉普拉斯变换法。最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。1.引言1.1 常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究
2、非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。他把两个物体都理想化为质点，得到 3 个未知函数的 3 个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17 世纪就提出了弹
3、性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。20 世纪 30 年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。19271945 年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。40 年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。在动力系统理论方面, 我国著名数学家廖山
4、涛教授, 用从典范方程组到阻碍集一整套理论和方法, 解决了一系列主要问题, 特别是 C封闭引理的证明, 对结构稳定性的充要条件等方面都作出了主要贡献。1.2 问题的研究现状在当代由电力网、城市交通网、自动运输网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述的。对这些系统的稳定性研究, 引起了越来越多学者的兴趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的。常微分方程的概念、解法和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。2求通解在历史上曾作为微分方程的主要
5、目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。 一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。由于大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这
6、个近似解的精确程度是比较高的。微分方程的近似解法（包括数值解法）具有十分重要的实际意义，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。因为如果解根本不存在，却要去近似地求它，问题本身是没有意义的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要确定是哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是不明确的。解的存在唯一性定理保证了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解的前提和理论基础。此外，我们将看到在定理的证明中还具体地提出了求近似解的途径，这就更增添了存在唯一性定理的实用意义。由于种种条件的限制，实际测出的初始数据往往是不精确的，它只能近似地反映初始状态。因此我们以它作为初值条件所得到的解是否能用做真正的解呢？这就
7、产生了解对初值的连续依赖性问题，即当初值微小变动时，方程的解的变化是否也是很小呢？如果不然的话，这样所求得的解就失去了实用的意义，因为它可能与实际情况产生很大的误差。在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题，因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题，是十分重要的。1.3 问题研究存在的不足与前景现今对于二阶线性微分方程的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题和解的存在唯一性定理等方面卓有成效。二阶微分方程的解的存在唯一性定理不仅可判断解的存在唯一性，而且还有着广泛的应用。而幂级数解法作为求解二阶变系数齐次线性微
8、分方程的一种方法，其过程还是比较繁琐的，计算量偏大，且需要考虑函数是否解析，幂级数在某个区间是否收敛等。另外，对于二阶变系数非齐次微分方程，目前还尚有通用的求解方法，只有一些特殊类型是可以求解的。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。2.常系数线性微分方程的解法2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法特征方程法若 是二阶常系数齐次线性微分方程21,y，其中 均为常数0qypqp,（2.13）的两个线性无关的解，那么（2.1）的通解就可表示成（ 为任意常数）21yCy21,由此可知，只要找到方程（2
9、.1）的两个线性无关的解，就能求出（2.1）的通解。我们知道，当 为常数时，函数 和它的各阶导数只相差一个常数。rrxey因此，可以设想（2.1）有形如 的解，将 代入方程（2.1）得：rrxey0)(2qperx又 ，则必有0rxe（2.2）2r即如果 是（2.1）的解，则 必满足方程（2.2 ）.rxey反之，若 满足方程（ 2.2），则 就是（2.1 ）的一个特解。rxey我们称方程（2.2）是方程（2.1）的特征方程，它的根就称为特征根，且特征根.242,1qpr下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。1）有两个不相等的实根 :)0(，241qpr242qpr易知 和 是方程（ 2.1）
10、的两个线性无关的特解，则方程xrey1xr2（2.1）的通解为：；xrxreCy212）有两个相等的实根 :)0(21pr4易知 是方程（2.1 ）的一个特解，设另一特解为 ，将xrey1 xreCy1)(2代入到（2.1 ）得：2（2.3)0)()2( 121qprCr又 ， ，则可得 ，不妨取 ，代入（2.3）得：21prq40x(，则方程（ 2.1）的通解为：xey2；xreCy1)(213）有一对共轭复根 ：)0(，ir1ir2易知 与 是方程（2.1）的两个线性无关的复值解。xiey)(1xiey)(2而，)sin(co)( xxi )sin(co)( xexi 若取，eyyxs)(
11、212yyxsi)(212由解的叠加性知， 也是方程（2.1）的两个特解，又1,，常 数xeyxcotsin2于是， 就是方程（2.1）的两个线性无关的实值解。从而方程（ 2.1）的通21,y解为：。)sinco(21xCeyx下面举个例子进行简单说明。例 1： 02y解：特征方程为 012-特征根为 （二重），故所求同解为12，5.)(21xCeyx例 2： 034 y特征方程为 12特征根为 ,故所求同解为i3-2， )snco(12xCeyx2.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程（2.4）)( xfqyp的求解问题。这里 是常数， 是连续函数。qp
12、,)(xf我们可以由其对应的齐次线性微分方程(2.1)的通解出发，使用常数变易法求出（2.4）的特解。因而，只要能求出（2.1）的特征根， （2.4）的求解问题就已经解决。但是，这样的方法往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算。事实上，只要求得方程（2.1）的通解，再求出该方程的一个特解，就可得出它的通解表达式。下面，我们讨论当 是某些特殊形式的连续函数时，所适用的求解其特)(xf解的简便方法待定系数法。2.2.1 类型:xnePf)(设 是 次多项式，即)(xn（ ）nnn pxxp110)( 1（1）当 不是特征根时， （2.4）有形如 的特解，其中 xeQy)(是关于 的 次待定的多项式
13、，即)(xQn nnn qxxqxQ110)(（2）当 是 重特征根时， （2.4）有形如 的特解，1k xkeQy)()(6其中 也是形如上述的 次多项式。其中 中 的系数可以由待定系)(xQnn)(xy)(Qn数法求得。例 3： xey42解：对应齐次方程的特征方程为 012特征根为 ，齐次方程的通解为21-， xxeCy211由于 0，1 都不是特征根，故已知方程有形如 xBA的特解。将上式代入已知方程，得 61,4即 xey1因而，所求通解为.xxxeCey614212）2.2.2 类型： xnmePxf )si(cos)()(其中， 分别为两个已知的关于 的 次和 次多项式， 为常数
14、。）（、 xPnm)( ,由欧拉公式，得.iexexxiixii 2sn,2cos 故 可以改写成)(xf iexPexPf xiinixim2)(2)( 7（2.5）xinximePe)()(其中， 分别是 次和 次多项式。)(,xPnm可以看出， （2.5）式就相当于两个类型形状的函数相加。由非齐次方程的叠加原理，就可求出类型的特解了。设有二阶非齐次方程（2.6）)( 21xfqyp且 分别是方程)(,21xy),(1xfy)(2xfqyp的解，则函数 是方程（2.6）的解。)(21xy根据叠加原理及类型讨论的结果，我们有1）当 不是特征根时， （2.4）有如下形式的特解i xilxil
15、epepxy )()2*()()1*( 即（2.7）sin)(cos)()( 21 xxllx2）当 是 重特征根时， （2.4）有如下形式的特解ik（2.8）)()()( )2*)1* xilxilk epepxy 即（2.9）sin)(cos)()( 21 xxllxk其中 为两个待定多项式， .,),()2()1()2*(1*PxPllll ),ma(l注意：当 中有一个恒为零时，方程（2.4）仍具有形如（2.8） 、）（、 nm（2.9）的特解。即不能当 时，就令 ，而 时，就令0)(xm0)(1xPl 0)(xn.0)(2xPl例 4： xy2cos4解：特征方程为8，0242）（
16、它有二重特征根 。另一方面，方程的非齐次项为 .由- )(21cos2xiiex此可见，相应的 与特征根 是不相等的。因此，我们可设方程有特i-2解 xbay2snco1其中常数 a 和 b 待定。把它代入原方程，得出,xbcossi82由此推知.1,0a所以，原方程的通解为.xexCy2sin8)(213 二阶微分方程的降阶和幂级数解法3.1 可将阶的一些方程类型1.方程不显含未知函数 和未知函数的一阶导数 ，即yy)(xf（3.1）若令 ,那么 ，则方程（3.1）即降为关于 的一阶微分方py pdxp程，)(xf两边积分得： ，两边再次积分，就能得到方程（3.1）的通解.1)(Cdxfp2
17、. 方程不显含未知函数 ,即y（3.2）),(yxf若令 ，则方程（3.2）就变为py，),(pxf这是一个关于 的一阶微分方程.x,例 5： 0)1(2 yy9解：将方程化为 012 xy令 ,则上式化为z x1)-ln(2两边积分得 Cxz2ln)1l(因此 121xey再积分一次的通解 221Cx3. 方程不显含自变量 ，即x（3.3）),(yf若令 ，那么py dypxdpy则方程（3.3）就变为 ),(pyfd这是一个关于 的一阶微分方程.py,例 6：求解 0)(2y解：这是不显含 的二阶方程。易见 为一解。若 ,方程两边同除以xy0y得2y0)(2 y10令 ,则方程可化为dyp
18、xdpy,dp即有 1)(y所以上式通解为 Cp2从而得到 )(ydx将变量分离，两边积分得 1lnCy化简得原方程通解为 1Cxey为任意常数，这是特解 包含于上述通解中。, 0y4.恰当导数方程型二阶微分方程也可以表示成 的形式。0),(yxF若方程（3.4）),(的左端恰为某一函数 对 的全导数，即0),(yxGx),(,yFd则称方程（3.4）为恰当导数方程。于是，方程（3.4）可写成 0),(yxGd则有11， （ 为任意常数）CyxG),(这样就把原方程降为了一阶微分方程。例 7： 02)(y解：这是一个不显含 二阶方程。将原方程写为xCxy2)(积分一次得 1即 12Cxy）（两
19、边积分得 21326xy因而，原方程的通解为 2132Cxy5.关于未知函数及其各阶导数都是齐次的方程方程 关于未知函数及其各阶导数都是齐次的是指0),(yxF满足),(y.),(),( yxFtytxk作变换 （ 是新未知函数） ，则有zdxey,zdxeyzdxezy)(2代入到（3.4）中，有 0)(,)(,( 22 zdxkzdxzdx ezFeeF因为方程 关于未知函数及其各阶导数都是齐次的，约去非零公0),y12因子 ，得到zdxe 0)(,2dxzF上式经整理后可化为 的形式，这就是关于新未知函数 的一阶微分0),(zxf z方程。注意:若 ，则可作变换 。实际问题中，我们作变换
20、0yzdxey后，还要考虑 是不是方程的解。zdxey例 8：求解方程 02)3()( 32234 yxxyx解：这是左端关于 的三次齐次方程。令,ueyx,则 )(22duedxy代入原方程，消去公因子 ,得到3e(*)0)(32du令(*)p则(*)du2将（*） ， （*）代入（*） ，得到0)1(2p因此13或0p21pdu由 2得 )tan(1Cup即 )t(1d再积分可得 eCu21)sin(即原方程的通解为 xxary12)si(由 得 ,即 也是解，但此解包含在上述通解中。0pCuy3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法二阶线性微分方程(3.5)0)()()(210 yxpyxp
21、在近代物理学以及工程技术中有着广泛的应用，但是，当它的系数不为常数时，它的解往往不能用“有限形式”表示出来。而)(,)(210xpx幂级数解法就解决了这个问题，它不但对于求解方程有意义，而且由此引出了很多新的超越函数，在理论上具有很重要的地位。定理 1 如果 在某点 的邻域内解析，即它们可以展成)(,)(210xpx0的幂级数，且 ，则（3.5）的解在 的邻域内也能展成)(0xx的幂级数（3.6）.)(00nnxay定理 2 如果 在某点 的邻域内解析，而 是 的),()210px00x)(p14重零点，是 的不低于 重的零点（若 ） ，是 的不低于s)(1xp1s1s)(2xp重的零点（若
22、） ，则方程（3.7）至少有一个形如22（3.7）nnrxaxy)()(00的广义幂级数解，其中 是某一常数。r3.3 二阶变系数线性微分方程的常系数化对二阶变系数齐次线性微分方程（3.8）0)( yxqpy（其中 均为连续函数）)(,xqp作变换 ，则有zfy，)(zxff)(2)( zxffzxfy代入到（3.8）中，得（3.9）0)()()2( zfqfpfzpfz不妨令 的系数等于零，即z 0)(fxf从而 dxpef)(21则 fxpf 4,)(21代入到方程中，整理得（ ）0)(zQ).(21)()(xpxq当 取某些特殊的函数时。我们有：)(x1） （ 为常数） ，方程（3.9）
23、可化为欧拉方程。2C2） （ 为常数） ，方程（3.9）可化为常系数线性方程。xQ)(4.拉普拉斯变换我们已经知道二阶常系数线性方程15（4.1）)( xfqyp的通解结构和求解方法，但是，在实际问题中往往还要求（4.1）的满足初始条件 的解。我们当然可以先求出（4.1）的通解，然后由初00)(,)(yxyx始条件确定其中的任意常数。此外，还有另外一种方法可以求解初值问题，即拉普拉斯（Laplace）变换法.因为它无需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，从而在运算上得到很大简化。拉普拉斯变换的定义1设函数 在区间 上有定义，如果含参量 的无穷积分)(tf),0sTtst dfedfe0
24、)(lim)(对 的某一取值范围是收敛的，则称s（4.2）0)()(tfsFst为函数 的拉普拉斯变换， 称为原函数， 称为象函数，并且记为)(tf tf)(s一些特殊函数的拉普拉斯变换21） )0(Res2） 2t3） )0e,(!1snsn是 正 整 数4） Raeat5） )Re,()(!1 asnstan是 正 整 数6） )0ei2st7） (Rcos拉普拉斯变换的基本性质31）线性性质：设函数 ， 满足定理 3 的条件，则在它们的象函数)(1tf2tf16共同的定义域上，有 )()()()( 2121 tfCtftfCtf 其中 为任意常数。21,C2）原函数的微分性质：如果 均满
25、足定理 3 的条件，则)(),( tftfn ,0stf).()()()()( 121 nnnnn ffstf 3）象函数的微分性质：如果 ，则sFtf),()(tfsFd).()1(tfdnn4）如果 ，则tf .astfea5 二阶微分方程的存在唯一性5.1 存在唯一性定理如果在二阶微分方程 （5.1）),(yxfy中，令 ，则 ，它就可化为方程组1y1（5.2）),(11yxfdy我们称（5.2）为一阶微分方程组。从而，要讨论二阶微分方程的初值问题的存在唯一性，就只需讨论一阶微分方程组的初值问题的存在唯一性。令 ， ，)(1xyY),(),(1yxfYF并定义：， ，dxyY1)(xxd
26、xyfdYF000),(),(117则（5.2）可记成向量形式（5.3）),(YxFd初始条件 可记为1010)(,)(yxyx，其中0Y10y则二阶微分方程（5.4） 00)(,)( yxyxf的初值问题就可记为（5.5）0)(,YxFd此外，我们把二维向量 的范数 定义为)(1yY|. |1y下面，我们给出初值问题（5.5）的解的存在与唯一性定理。定理 3 如果函数 在三维空间的区域),(YxFbYaxR|,:| 00上满足：1）连续；2）关于 满足李普希兹 条件，即存在 ，使对于 上任意两YLipschtz0LR点 ，有),(21x，|),(),(| 2121YxFY则初值问题（5.5）
27、的解在区间 上存在唯一，其中hI0.|),(|ma),in(),(xMbahRYx类似于一阶微分方程的初值问题的存在唯一性定理的证明，下面来简单证18明一下定理 3.引理：如果函数 在三维空间的区域),(YxFbYaR|,:| 00上连续，则初值问题（5.5）的解 , ,与积分方程)(xhxI0,（5.6）xdFY0)(在区间 上的连续解等价，其中 ，hxI0, ),min(Mbah.|)(|ma),(YFMRYx由引理我们知道，要证明定理 3，只要证明积分方程（5.6）的连续解在区间 上存在唯一就行了。hI0,存在性的证明1下面用皮卡 逐次逼近法来证明积分方程(6)的连续解的存在性，可Pic
28、ard分三个步骤进行。（1）构造区间 上的逐次近似的连续向量函数列 .I )(xYn令 ，构造毕卡逐次逼近向量函数序列如下：0)(Yx),21(),()(10 ndYFxnxn 向量函数 称为 （ 5.5）的第 次近似解。 Yn用数学归纳法可以证明： bMhxdYFxxnxn |)(,|)(| 010 00 即曲线 未越出区域 ，保证了逐次逼近可以一直进行下去。YR（2）证明函数序列 在区间 上一致收敛。)(xnI考虑向量函数项级数 )()()()( 112010 xYxYYxY n（5.7）19它的部分和是 )()()()()( 1120101 xYxYxYxYxS nnn 所以，要说明函数
29、序列 在区间 上一致收敛，只需证明级数（ 5.7）nI在区间 上一致收敛。IdYFxYx)(,)(001| 00 xMx 由数学归纳法，我们可以得到： )!1(|)(| 01 nLxYnn而 ,易于看出级数（5.7）每一项的绝对值都不会超过正项级数hx|0的对应项。上面的级数显然是收敛的。从而，级数（5.7）在区间 上一致收敛。I设其和函数为 ，从而函数序列 在区间 上一致收敛于 。由于)(x)(xYnI)(x在区间 上是连续的，因而 也是连续的。)(xYnI（3）证明 是积分方程（5.6）的解。)(lim)(xn对 两边取极限，得dYFxxn,)(10xnndYF0)(,li)(10要证 是
30、积分方程（5.6）的解，只需证)(li)(xnxxnndY00 )(,)(,lim1在区间 上一致收敛，)(xYnI使 时，有 .,0N Lhxn|)(| |)(,|)(,)(| 000 11 dFYdFdFxnxxn | 0100 xdYLxxn !2| 10 nhMLhM20xxnn dFdYF00 )(,)(,lim1 则 是积分方程（5.6）的解。)(li)(xYn唯一性的证明2设 也是积分方程（6 ）的解，且满足 则有)(x .0)(Yx,)(0dFYxx于是 dLFx xx |)(|)(,)(,|)(| 00 .|,|0 hdLOx由 Bellman 不等式得： .|,0)(|x得
31、出矛盾。因此，(5.6)在 的解唯一。hx|0综上， （5.5）的存在唯一性定理得证。结论关于二阶线性微分方程的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题和解的存在唯一性定理等方面卓有成效。二阶微分方程的解的存在唯一性定理不仅可判断解的存在唯一性，而且还有着广泛的应用。而幂级数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的一种方法，其过程还是比较繁琐的，计算量偏大，且需要考虑函数是否解析，幂级数在某个区间是否收敛等。另外，对于二阶变系数非齐次微分方程，目前还尚有通用的求解方法，只有一些特殊类型是可以求解的，还有待于进一步的发展和研究。参考文献1 吴美捷，浅谈待定系数法A. 当代经
32、理人，2006,(03).2朱思铭，王寿松，王高雄等. 常微分方程M.北京：高等教育出版社, 2006 .3 吴志坚,吴筱坚, 傅里叶变换与拉普拉斯变换J, 石油大学学报(自然科学版),1996,(10)4丁同仁,李承治,常微分方程教程M北京：高等教育出版社，2004.5朱乃明，李虹莉.常微分方程M重庆:西南师范大学出版社,2005.216 陈兆华,费仁允, 欧拉公式的证明与应用J.数学通报,2005.7都长清，焦宝聪，焦炳照.常微分方程M北京：首都师范大学出版社，2001.8黄启昌.常微分方程M北京：高等教育出版社，1982.9王克，潘家齐.常微分方程学习指导书M北京：高等教育出版社，200
33、7.10田巍 ，李奇.二阶常系数非齐次线性微分方程特解的特征根公式法J.高师理科学刊,2007,(06).11刘培进.二阶常系数线性非齐次微分方程的公式解法J.山东师范大学学报(自然科学版)2002,(03).12孙梅娟, 倪致祥.可线性常系数化的二阶常微分方程J.阜阳师范学院学报(自然科学版),2010,(02).13石正华.浅谈二阶变系数齐次微分方程的求解问题J.南昌教育学院学报,2012,(01).14李录苹,王通.关于几类二阶微分方程的解法J.雁北师范学报,2006,(02).15李永利, 桑改莲. 一类二阶变系数齐次微分方程通解的求法J.高等数学研究, 2006,(03).16胡劲松
34、等.一种二阶变系数线性微分方程的求解方法J.重庆工商大学学报(自然科学版),2005,(03).17陈湘.对常系数非齐次线性微分方程的一种讲授法J.高等数学研究，2010,(03)18李中平.用观察法求二阶变系数齐线性方程的非零特解J.高等数学研究,2010,(03).19 Slimane Benaicha. Periodic Boundary Value Problem for Second Order Ordinary Differential Equations. Applied Mathematical Sciences, Vol. 3, 2009, no. 6, 267 276.20 L. F. Shampine. Numerical Solution of Ordinary Equations. Chapman and Hall, 1994.21R.P. Agarwal. Boundary value problems for high order differential equations, World Scientic, Singapore, 1986.
