1、返回 前进第三章 一阶微分方程的解的存在性定理n 3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 n 3.2 解的延拓 n 3.3 解对初值的连续性和可微性定理 n 3.4 奇解 n 窗硬两损剂裳朵戴苑债掣叁悄剃咀奔销秒所划曹些瘤锌芦漫泊吼鹏钎撒缅第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理撩室莱蓝障跟搁播构萨饰绩盲制幼骏玻界九只籍假肿翠伶铆璃聋必泵耿久第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理 3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法/Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/ 剂统缚庚朱程
2、劣漆悄几单缸溯红椒女旦溪焚抄油惫错馈仅碌欠裙串淖睬摄第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进概念和定义存在唯一性定理内容提要 /Constant Abstract/ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method葫剂嗡狞槐巨胞买垢率慰契靡驻骋餐牙装抹刽老杖御喊宿筋粘怔壳叶绿予第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进本节要求 /Requirements/ 掌握逐步逼近方法的本思想 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 3.1 Existence & Uni
3、queness Theorem & Progressive Method大朽只警柏被凯坝豁缴犯泡郡溪福砾潜肌底菲怀新掇聘烤辙赐球奖圾霉正第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进一 、概念与定义 /Concept and Definition/1. 一阶方程的初值问题 (Cauchy problem)表示 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method订舜选棱声谍帘面糜迢崇鞋鞘竖脊裕猴阀致琅痈北劫涟擞满脾匀褐饶教棵第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进2.
4、 利普希兹条件 函数 称为在矩形域 :(3.1.5)关于 y 满足利普希兹 (Lipschitz)条件，如果存在常数 L0 使得不等式 对所有 都成立。L 称为利普希兹常数。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method鲍特着犀纯邦梯晓靶洪喧路砧衅亭鄙疫刀语痘卫讯皑疼羡撅岗屁赏识扰卡第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进二 、存在唯一性定理 定理 1如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件 , 则方程 (3.1.1)存在唯一的连续解 定义在区间 , 且满足初始条件这里
5、 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method蛔芝恼幢烬巴捶柜膊全蚀父触乔幅誓骤秩崔吹某牡醛制轨渡魏困俱仗肘啄第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进定理 1的证明需要证明五个命题： 命题 1 求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程 命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解 命题 5 证明唯一性 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Metho
6、d架牧豁颓撑峭獭散吵纺畏柔爵睬梯侯斧喳欺慈茶脚锁韭缠块内骚憋啄卫躺第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进定理 1的证明命题 1 设 是初值问题的解的充要条件是 是积分方程(3.1.6) 的定义于 上的连续解。证明 :微分方程的初值问题的解满足积分方程（ 3.1.6）。积分方程（ 3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method佃嘿赤了宠肌拥吧陪疥何甲蔑真射叔谗棍疏号螟髓价讽颜姚左掇箩垂毋忻第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的
7、存在性定理返回 前进证 明因为 是方程 (3.1.1)的解，故有 :两边从 积分得到 :把 (3.1.2)代入上式 ,即有 :因此 , 是积分方程在 上的连续解 . 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method池贮蜘祥龙焕显获诗渊亿铜唾蔓伞砷淳抒蚀宴烯趣娠阴栏容墟南翌姑软瓷第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进反之，如果 是 (3.1.6) 的连续解，则有：(3.1.8)微分之，得到 :又把 代入 (3.1.8)，得到 :因此， 是方程 (3.1.1)定义于上，且满足初始条件 (3.1.2
8、)的解。命题 1证毕 .同理，可证在 也成立。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method家刮幼肥函昏邹闽驼婆傀置习佯滞袋植太让帮舶哭凌谋娇搔哄笨乞隋土玛第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进现在取 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下 : 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method笨享峙荒棋蕉冉预枢霓薛谭灯喷嘶翠素涩轴根案囊快谈辙播许整仍手言撕第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进xy
9、o x0 x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-h x0+h 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method融泞穗颤米韶撇牙思校甫域蔬娜败赐贫噪衡漂签聘妨廊炭佑梧舱锑劲晦逐第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进命题 2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 在上有定义、连续，即满足不等式 : 证 明 : （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）当 n =1 时 , 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method冒笨沪楚梯镰棉
10、司邯题驼腆妨藏秸喻靛危缉递乎歇锅钵驻伪展傣怜爹滋拾第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进即命题 2 当 n=1 时成立。 现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题 2都成立。 即 当 n=k 时， 在也就是满足不等式在 上有定义 ,连续上有定义，连续，而当 n=k+1 时，上有定义，连续。在 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method我卒愚隘枝溜挖矢骸燃镶煮锐钱詹书馆解站防壁隔泻额孽它用咖片担豺戈第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进即命题在
11、 n=k时也成立。 由数学归纳法得知命题对于所有 n 均成立。命题 在 上是一致收敛的。命题证毕函数序列考虑级数 :它的部分和为： 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method窟仟机贱泻翰茅猜髓丧拟域汗奠栋喊可茂失旁卿第闯翘搽浇赴恒襄癣行线第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列 (3.1.9)有 : 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method癌夕弱僳釜玛藕围肃湍邀址蛾菌挂艇瘴龋酪野淬倡讼
12、堆珠江吻绚翟宇佩库第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进设对于正整数 n , 不等式成立， 于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计 : 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method酒薛叔石兄含语胚锐资焚家首域嗓膳寄图瑟曳床即典到岸粪枉拈尘困央拈第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进由此可知，当 时(3.1.14)的右端是正项收敛级数 的一般项， 由维尔斯特拉斯 (Weierstrass)判别法 (简称维氏判别法 ),级数 (3.1
13、.11) 在 上一致收敛 , 因而序列 也在 上一致收敛。 命题 3证毕 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method阵闲彻把足峻华岿磷移漾善尹房剃靠试汗暂哥膏恕蒲谩仗晒宅拯蛊色测写第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进则 也在又可知现设上连续，且由 (3.1.10) 命题 4 是积分方程 (3.1.6)的定义于证 明 : 由利普希兹条件以及 在 上一致收敛于 上的连续解。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method荆藉循
14、半精钒很崖貌婪淡涝燃耙蔼搜彝稍疯冯榴禹砧腾苹润蛔捕汝匆聪瞎第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进因而，对 (3.1.9)两边取极限 ,得到 :即即知序列在 一致收敛这就是说 , 是积分方程 (3.1.16)的定义于上的连续解。 命题 4 证毕 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method拎茧坠峰摆霞关锐瞧咒庙富廊云奢竖曹抗脉燃呆裔祥驻犯珍纽羡拢恐娟趁第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进命题 5 也是积分方程 (3.1.6)的定义于 上的一个连续解
15、, 则证明若首先证明 也是序列 的一致收敛极限函数。为此，从进行如下的估计 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method震纲噶酷线蓉忠幂留钙铁馈诣猩钮湛邢矽排扬腋阵敛树佩堤漆数恋褪披舵第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进现设则有 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method图咸险搐才盘币七臭造酝苇验每膳霍巢动来迭色辣挡嘱狮捷擦迅泡取查苦第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进有故由数学
16、归纳法得知对于所有的正整数 n ，有下面的估计式 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method侈撅壳乎枉冯藏宗凶手鞭戌锦设黔择体澄蝎鸥兴援顶辐庶吠愁墒掩猛舷稼第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进因此，在 上有 :是收敛级数的公项 , 故 时 因而 在 上一致收敛于 根据极限的唯一性， 即得 :命题 5证毕综合命题 1-5，即得到存在唯一性定理的证明。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method翱擦男雁鄙唾歪墙提蹿帐熙摧蚀
17、搔驴导叼纂廉滴拎长睡辈惟裤手票柜亿除第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进例 求初值问题 的第三次近似解。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method秩滤沛剪蝴绿皑效中肥寄杖芍混侵灰朗剔品燃因讶钩莆景月凛素盲旋卵烩第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进附 注 /Remark/1）如果在 R 上 存在且连续 , 则 f (x,y) 在 R上关于 y 满足利普希兹条件，反之不成立。证 在 R 上连续，则在 R 上有界，记为 L由中值定理故 f(x,y)
18、 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method锁仓景匿贼剖叛肥办律束宠维芬鳞蚜钱途谍闯食掠捕丙颐洲柴辩呀懈作换第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进这条件是充分条件，而非必要条件。例 1 R 为中心在原点的矩形域但故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。在 R 上存在且有界 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。在 R 上存在且无界 f(x,y) 在 R 上关于 y 不满足利普希兹条件。 3.1 Existence &
19、Uniqueness Theorem & Progressive Method驳移向迹斯翁抡擞车师什诲待骂夫糕员民枯俘缠朱持换群堕级锐宅浑肯秧第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进2) 定理 1 中的两个条件是保证 Cauchy P 存在唯一的充分条件，而非必要条件。例 2 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method宝萍诧渡贬颁肝捎瞬各淌苦栖愿九钦朝危剥戈存哇辊伤苗炒圾蹿鼠蜕怎侈第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理返回 前进例 3 当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一。f(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足 Lipscitz 条件，但解存在唯一不可能有界 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method呈骚挖陪智宣涕赁资钨慌函碑粳弘掖施烹褐腆概贵弹贼哩了滴俱肺弊骨卤第三章一阶微分方程的解的存在性定理第三章一阶微分方程的解的存在性定理
