1、第三章 一阶微分方程的解的存在性定理,3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 3.2 解的延拓 3.3 解对初值的连续性和可微性定理 3.4 奇解, 3.1 解的存在唯一性定理和 逐步逼近法 /Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/,概念和定义,存在唯一性定理,内容提要/Constant Abstract/, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,本节要求/Requirements/, 掌握逐步逼近方法的本思想, 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论,
2、3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,一 、概念与定义/Concept and Definition/,1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,2. 利普希兹条件,函数,称为在矩形域 :,(3.1.5),关于 y 满足利普希兹 (Lipschitz)条件，如果存在常数 L0,使得不等式,对所有,都成立。,L 称为利普希兹常数。, 3.1 Existence & Uniqueness Th
3、eorem & Progressive Method,二 、存在唯一性定理,定理1,如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件,则方程(3.1.1)存在唯一的连续解,定义在区间, 且满足初始条件,这里, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,定理1的证明需要证明五个命题：, 命题 1 求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程 命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解 命题 5 证明唯一性, 3.1 Existenc
4、e & Uniqueness Theorem & Progressive Method,定理1的证明,命题1,设,是初值问题,的解的充要条件是,是积分方程,(3.1.6),的定义于,上的连续解。,证明:,微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。,积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,证 明,因为,是方程(3.1.1)的解，故有:,两边从,积分得到:,把(3.1.2)代入上式,即有:,因此,是积分方程在,上的连续解., 3.1 Existence & U
5、niqueness Theorem & Progressive Method,反之，如果,是 (3.1.6) 的连续解，则有：,(3.1.8),微分之，得到:,又把,代入(3.1.8)，得到:,因此，,是方程(3.1.1)定义于,上，且满足初始条件(3.1.2)的解。,命题1证毕.,同理，可证在,也成立。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,现在取,，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,x,y,o,x0,x0
6、+a,x0-a,y0,y0-b,y0+b,x0-h,x0+h, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数,在,上有定义、连续，即满足不等式:,证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）,当 n =1 时, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,即命题2 当 n=1 时成立。,现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立。,即 当 n=k 时，,在,也就是满足不等式,在,上有定义,连续,上有
7、定义，连续，,而当 n=k+1 时，,上有定义，连续。,在, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,即命题在 n=k时也成立。,由数学归纳法得知命题对于所有 n 均成立。,命题,在,上是一致收敛的。,命题证毕,函数序列,考虑级数:,它的部分和为：, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Meth
8、od,设对于正整数 n , 不等式,成立，,于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计:, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,由此可知，当,时,(3.1.14)的右端是正项收敛级数,的一般项，,由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11) 在,上一致收敛,因而序列,也在,上一致收敛。,命题3证毕, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,则,也在,又可知,现设,上连续，且由(3.1.10)
9、,命题4,是积分方程(3.1.6)的定义于,证 明:,由利普希兹条件,以及,在,上一致收敛于,上的连续解。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:,即,即知序列,在,一致收敛,这就是说,是积分方程(3.1.16)的定义于,上的连续解。,命题4 证毕, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,命题5,也是积分方程(3.1.6)的定义于,上的一个连续解, 则,证明,若,首先证明,也是序列,的一致收敛极限函数。,为
10、此，从,进行如下的估计, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,现设,则有, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,有,故由数学归纳法得知对于所有的正整数 n ，有下面的估计式, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,因此，在,上有:,是收敛级数的公项,故,时,因而,在,上一致收敛于,根据极限的唯一性，,即得:,命题5证毕,综合命题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。, 3.
11、1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,例,求初值问题 的第三次近似解。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,附 注/Remark/,1）如果在 R 上,存在且连续,则 f (x,y) 在R上关于 y,满足利普希兹条件，反之不成立。,证,在 R 上连续，则在 R 上有界，记为L,由中值定理,故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Me
12、thod,这条件是充分条件，而非必要条件。,例1,R 为中心在原点的矩形域,但,故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。,在 R 上存在且有界,f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。,在 R 上存在且无界,f(x,y) 在 R 上关于 y 不满足利普希兹条件。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,2),定理1 中的两个条件是保证 Cauchy P 存在 唯一的充分条件，而非必要条件。,例2 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。,f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一
13、, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,例3 当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一。,f(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足Lipscitz 条件，但解存在唯一,不可能有界, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,3）,若f (x,y)在带域 中连续， 且对 y 满足Lipschitz条件，则在整个区间 中存
14、在唯一满足条件 的方程 的解 。记, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,4) 一阶隐式方程的解的存在唯一性, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,事实上，由条件知 所确定的隐函数 在 邻域内存在且连续，且,在 邻域内连续，在以,为中心的某一闭矩形区域 D 中有界，所以 f(x,y),在D 中关于 y 满足Lipschitz条件。,由解的存在唯一性定理，,的解 y(x) 存在唯一，,存在区间中的 h 可足够小。同时，有, 3.1 Existen
15、ce & Uniqueness Theorem & Progressive Method,三 、 近似计算和误差估计,第 n 次近似解,第 n 次近似解的误差公式, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,例4,方程 定义在矩形域,试确定经过点,(0,0) 的解的存在区间，并求在此区间上与真 正解的误差不超过0.05 的近似解的表达式。,解,满足解的存在唯一性定理的条件,Lipschitz 常数取为 L=2 ，因为, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Meth
16、od, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,思考：,1、 求方程 ，满足条件,的解的最大存在区间，即 h 的最大值。,2、证明下列初值问题的解在指定的区间上存在且唯一：, 3.2 解的延拓定理,/ Theorem on extension of solution/, 解的延拓的引入, 解的延拓定理及其推论,内容提要/Constant Abstract/,本节要求/Requirements/ 理解解的延拓方法。 会应用解的延拓性定理估计解的存在区间。, 3.2 Extension Theorem,一 、 解的延拓的引入,
17、1 局部利普希兹条件,右端函数 f ( x, y ) 在某一有界区域G 中有意义。,如果称 f ( x, y )在G 内满足局部利普希兹条件，即对,区域G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的,矩形域R，在 R 上 f (x, y) 满足利普希兹条件。,（注意：点不同，域 R 大小和常数 L 可能不同）, 3.2 Extension Theorem,2 解的延拓,设,是,的解，若,也是初值问题的解，,，当 时，,则称解 是解,在区间,上的延拓。, 3.2 Extension Theorem,3 延拓方法,设方程,的解,已定义在区间,上，,现取,然后以,作一小矩形，使它连同其边界,使得在区
18、间,方程,有过,的解,且在,处有,中心，,都含在区域 G 的内部，再用解的存在唯一性定理，存在,由于唯一性，显然解,和解,都在定义的区间,上，, 3.2 Extension Theorem,区间,上，,有过,的解,且在,处有,由于唯一性，显然解,和解,都在定义的区间,上，,但是在区间,上，,解,向右方的 延拓，,即将延拓要较大的区间,。再令,如果，,我们又可以取,为中心，作一小矩形, 3.2 Extension Theorem,可以取,为中心，作一小矩形,使它连同其边界,都含在区域G 内。仿前,又可以将解延拓到更大的区间,上，其中,是某一个正常数。对于 x 值减小的一边可以进行同样讨论,使解向
19、左方延拓。就是在原来的积分曲线,左右端个接上一个积分的曲线段。上述解的延拓的方法还,可继续进行。,那么,向两边延拓的最终情况如何呢?, 3.2 Extension Theorem,3 延拓方法, 3.2 Extension Theorem,二、 解的延拓定理及其推论,1 解的延拓定理,如果方程(3.1)右端的函数,在有界区域 G,中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么,方程(3.1)通过G 内任何一点,的解,可以延拓。,直到点,任意接近区域G 的边界。,以向 x 增大的一方的延拓来说，如果,只能延拓的区间,上，则当,时，,趋近于区域 G 的边界。, 3.2 Extension Theo
20、rem,2 推论,如果 G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)的通过点,的解,以向 x 增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况:,可以延拓，,(1) 解,可以延拓到区间,(2) 解,只可以延拓到区间,其中m 为有限数，则当,时，或者,无界，或者,趋于区域 G 的边界。, 3.2 Extension Theorem,例1,讨论方程,以及通过点 (ln2,-3) 的解的存在区间。,解,的通过点(0,0)的解,方程右端函数在整个 x y 平面上满足解的存在唯一,性定理及解的延拓定理的条件。,方程的通解为,通过点(0,0)的解为,其存在区间为,通过点(ln2,-3)的解为,其存在区
21、间为, 3.2 Extension Theorem,但向左方只能延拓到 0,过点(ln2,-3)的解,向右可以延拓到,因为当,时,这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。,注意：,(无界), 3.2 Extension Theorem,例2,讨论方程,的解的存在区间。,满足条件,方程右端函数右半平面 x 0 上定义且满足解的,存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。,解,通过点(1,0)的解为,其存在区间为,，但向左方只能延拓到 0,向右可以延拓到,因为当,时,这相当于解的延拓定理推论中(2)的第二种情况。,(趋于G的边界 y=0 ), 3.2 Extension Theorem,练习,1
22、讨论方程,的解的存在区间。,上满足条件,在, 3.2 Extension Theorem,练习,1 讨论方程,的解的存在区间。,上满足条件,在, 3.2 Extension Theorem,3.3 解对初值的连续性和可微性,/Continuous and differentiable dependence of the solutions/, 解对初值的连续性, 解对初值的可微性,本节要求：1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；2 了解解对初值及参数的可微性定理。,内容提要,3.3 Continuity & differentiability,3.3.1 解对初值的对称性定理,设 f (x,
23、y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，,是初值问题,的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式,3.3 Continuity & differentiability,3.3.2解对初值的连续依赖性定理,假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，,是初值问题,的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数， 使得当,时，方程满足条件 的解,在区间,也有定义，并且,3.3 Continuity & differentiability,引理,如果 f(x,y) 在某域 D 内连续，且关于 y 满足,利普希
24、兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式,其中 为所考虑区间内的某一值。,3.3 Continuity & differentiability,（二）解对初值的连续依赖性,断言，必存在这样的正数,使得只要 满足不等式,则解 必然在区间,也有定义。,由于D是有界闭区域，且 f (x，y)在其内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为,这是必然有,3.3 Continuity & differentiability,因为否则设 则由引理,由 的连续性，对,必存在,使得当 时有,取,则当,3.3
25、Continuity & differentiability,于是,对一切 成立，特别地有,即点,均落在D的内部，而不可能,位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间a,b上有定义。,3.3 Continuity & differentiability,在不等式,中，,将区间c，d换为a，b ，可知 ，当,时，有,定理得证。,3.3 Continuity & differentiability,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值的连续性定理,假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，则方程,3.3 Continuity & different
26、iability,3.4 奇解,包络和奇解,克莱罗方程（Clairant Equation）,本节要求： 了解奇解的意义； 2 掌握求奇解的方法。,主要内容,一 包络和奇解的定义,曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。,奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。,例 单参数曲线族,R是常数，c是参数。,x,y,o,显然，,
27、是曲线族 的包络。,一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平 行线族等都是没有包络的。,二 求奇解（包络线）的方法,C-判别曲线法P-判别曲线法,设一阶方程,的通积分为,1 C-判别曲线法,结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组,消去 C 而得到的曲线中。,设由,能确定出曲线为,则,对参数 C 求导数,从而得到恒等式,当,至少有一个不为零时,有,或,这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C),y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切。,注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例1 求直线族,的包络，这里 是参数，p 是常数。,解：,对参数 求导数,联
28、立,相加，得,，经检验，其是所求包络线。,例2 求直线族,的包络，这里 c 是参数。,解：,对参数 c 求导数,联立,得,从 得到,从 得到,因此， C-判别曲线中包括了两条曲线，易 检验， 是所求包络线。,2 p-判别曲线,结论：方程 的奇解包含在下列方程组,消去 p 而得到的曲线中。,注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例3 求方程,的奇解。,解：,从,消去 p，得到 p-判别曲线,经检验，它们是方程的奇解。,因为易求得原方程的通解为,而 是方程的解，且正好是通解的包络。,例4 求方程,的奇解。,解：,从,消去 p，得到 p-判别曲线,经检验， 不是方程的解，故此方程没有奇解。,注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判 别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。,3 克莱罗方程,形式,其中,是 p 的连续函数。,解法,通解,奇解,例5 求解方程,解：,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去 c，得到奇解,从,例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。,解 设要求的曲线为,过曲线任上一点 的切线方程为,其与坐标轴的交点为,切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去 c，得到奇解,从,这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。,
