1、学越辅导五年级数学思维训练1容斥问题知识导航在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。关于这类的问题就称为容斥问题。由于容斥原理用公式解答容斥问题涉及到集合，学生较难理解，故本节主要教学生画文氏图来解答相关问题，生动形象，容易理解又富趣味性。精典例题例 1：五年甲班参加无线电小组和航模小组的共 26 人，其中参加无线电小组的有 17 人，参加航模小组的有 14
2、人，两组都参加的有多少人？。思路点拨根据题目，画个圆圈写上无，整圈代表了甲班参加无线电小组的人数。同样的，画个圆圈写上航，代表了甲班参加航模小组的人数。两个圆圈重叠部分代表了两组都参加的人数。把17 人和 14 人相加得 31 人，怎么人数比原来参加的总数 26 人还多出了 5 个人？原来那 5 个人就是重叠部分被重复计算了的人数，也就是两组都参加的有 5 人。模仿练习50 名同学参加兴趣小组，参加科技组的有 40 人，参加数奥数组的有 28 人，两个兴趣小组都参加的有几人？学越辅导五年级数学思维训练2例 2：五年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有 20 人，参加音乐小组
3、有 24 人，参加手工小组有 31 人，同时参加美术和音乐两个小组有 5 人，同时参加音乐和手工两个小组有 6 人，同时参加美术和手工两个小组的有 7 人，三个小组都参加的有 3 人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？思路点拨同样把已知条件画图来表示，图中的 5、6、7 人都是两两重叠的部分，图中的 3 人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。 （人）模仿练习五年乙班有学生 46 人，其中会骑自行车的有 19 人，会游泳的有 25 人，既会骑车又会游泳的有 7 人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？例 3：1 到 200 中，能同时被 3 跟 5 整除的数共有多少个？
4、 思路点拨此题要先求出 1 到 200 中被 3 整除的有几个，被 5 整除的有几个，再画文氏图求解。模仿练习在 1 至 200 的自然数中，不能被 2 整除的数或不能被 3 整除或不能被 5 整除的数共有多少个？学越辅导五年级数学思维训练3例 4：有 25 人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有 10 人，第二次达到优秀的有 13 人，第三次达到优秀的有 15 人，三次都达到优秀的只有 1 人。只有两次达到优秀的有多少人？思路点拨“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分） 。 （人）
5、模仿练习在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有 6 人要了冰棍，6 人要了汽水，4 人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有 3 人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有 1 人；三样都要的有 1 人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？例 5：某校五年级甲班有 49 人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有 30 人参加，英语有 20 人参加，语文小组有 10 人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有 3 人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有 1 人，求既参加英语又参加数学小组的人数。 学越辅导五年级数学思维训练4思路点
6、拨根据已知条件画出图：三圆盖住的总体为 49 人，假设既参加数学又参加英语的有 x 人，既参加语文又参加英语的有y 人，可以列出这样的方程： 整理后得： 由于 x、y 均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数 2，另一个质数为 7。模仿练习某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学 20 人，语文 20 人，英语 20 人，数学、英语两科满分者 8 人，数学、语文两科满分者 7 人，语文、英语两科满分者 9 人，三科都没得满分者 3 人。问这个班最多多少人？最少多少人？ 巩固练习1. 五年乙班每人都订阅了课外书，订阅小学生数学报的有 30 人，订阅时代学习报的有 26 人，两种都订阅的有 1
7、4 人，这个班共有多少人？ 2. 在 1 到 1000 这 1000 个自然数中，能被 5 或 11 整除的数有多少个？：3.某市有 100 个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的 75 人,既懂英语又懂俄语的 20 人,学越辅导五年级数学思维训练5那么懂俄语的教师为多少人？4. 某班共有 30 名男生,其中 20 人参加足球队,12 人参加蓝球队,10 人参加排球队.已知没一个人同时参加 3 个队,且每人至少参加一个队,有 6 人既参加足球队又参加蓝球队,有 2 人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？5. 某班 45 名同学参加体育测试，其中百米得优者 20 人，跳远得优者 18 人，又知百米、跳远都得优者 7 人，跳高、百米得优者 6 人，跳高、跳远均得优者 8 人，跳高得优者 22 人，全班只有 1 名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。6.在某个风和日丽的日子，10 个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中 6 个人带了汉堡，6 个人带了鸡腿，4 个人带了芝士蛋糕，2 个人既带了汉堡又带了芝士蛋糕。问：（1）三种吃的都带了的人有几个？（2）只带了一种吃的的人有几个？
