1、铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构18、统计184 线性回归方程及应用【知识网络】1 能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。2 了解线性回归的方法；了解用最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法；会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（不要求记忆系数公式）。【典型例题】例 1（ 1）为了考查两个变量 x 和 y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了 10 次和 15 次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为 l1、 l2，已知两人得的试验数据中，变量 x 和 y的数据的平均值都分别相等，且值为 s 与 t
2、，那么下列说法正确的是（ ）A直线 l1和 l2一定有公共点 (s，t) B直线 l1和 l2相交，但交点不一定是( s， t)C必有直线 l1l2 D直线 l1和 l2必定重合（2 ）工人工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为 =50+80x，下列判断正确的是 y（ ）A劳动生产率为 1000 元时，工资为 130 元B劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 80 元C劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 130 元D当月工资 250 元时，劳动生产率为 2000 元（3 ）下列命题：任何两个变量都具有相关关系；圆的周长与该圆的半径具有相关关系；某商品的需求与该商品的价格是一种
3、非确定性关系；根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究。铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构其中正确的命题为 （ ）A B。 C。 D。（4 ）一家保险公司调查其总公司营业部的加班程度，收集了 10 周中每周加班工作时间 y（小时）与签发新保单数目 x 的数据如下表，则用最小二乘法估计求出的线性回归方程是 _。（5 ）上题中，若该公司预计下周签发新保单 1000 张，则需要加班的时间是 。例 2 已知 10 只狗的血球体积及红血球的测量值如下： 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50y
4、6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72其中 x（血球体积，），y（血红球数，百万）.画出上表的散点图；求出回归直线并且画出图形。例 3要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10 名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩（如下表）：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10入学成绩x 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76高一期末成绩 y 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75（1）计算入学成绩（x）与高一期末考试成绩（y）的相关
5、关系；825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215y3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构（2 ）若某学生入学数学成绩 80 分，试估计他高一期末数学考试成绩例 4下表是采集的商品零售额（万元）与商品流通费率的一组数据：商品零售额 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5商品流通费率 6.0 4.6 4.0 3.2 2.8 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1（1 ）将商品零售额作为横坐标，商品流通费率作为纵坐标，在
6、平面直角坐标系内作出散点图；（2 ）商品零售额与商品流通费率具有线性相关关系吗？如果商品零售额是 20 万元，那么能否预测此时流通费率是多少呢？【课内练习】1 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系 （ ）A角度和它的余弦值 B。正方形边长和面积C正边形的边数和它的内角和 D。人的年龄和身高2 下列变量之间的关系是函数关系的是 （ ）A已知二次函数 ，其中 a，c 是已知常数，取 b 为自变量，因变量是这个函数bxay2的判别式 c4B光照时间和果树的亩产量铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构C降雪量和交通事故发生率D每亩用肥料量和粮食亩产量3 下列命题叙述正确的是 （ ）A任何两个变量
7、都可以用一元线性回归关系进行合理的描述 B只能采用最小二乘法对一元线性回归模型进行参数估计 C对于一个样本，用最小二乘法估计得到的一元线性回归方程参数估计值是唯一的 D任何两个相关关系的变量经过变换后都可以化为一元线性回归关系4 设线性回归直线方程 ，现将 y 的单位由 cm 变为 m，x 的单位由 ms 变为 s，则在新的yabx线性回归直线方程 中， （ ）A B C D0.1b10b10b5 若施肥量 x 与水稻产量 y 的线性回归直线方程 ，当施肥量为 80Kg 时，预计水稻产25yx量为_6 某保险公司收集了 10 周中工作的加班时间 y 与签订新保单数目 x，用最小二乘法求出线性回
8、归方程为 若公司预签订新保单 1000 张，估计需加班 _小时0.1236yx7 如果你想作一个反对抽烟的电视公益广告的播放次数与看电视的中学生戒烟率的数据散点图，作为 x 轴的变量应为 。8 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455试求出回归直线方程 奎 屯王 新 敞新 疆9在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 x 之间相应的一组观察值如下表：x5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120y6 10 10 13 16 17 19 23
9、 25 29 467求腐蚀深度 y 对腐蚀时间 x 的回归直线方程，并解释回归系数的意义铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构10某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所示：年份 该年新发病的人数1996 年 24001997 年 24911998 年 25861999 年 2684如果不加控制，仍按这个趋势发展下去，请预测从 2000 年初到 2003 年底的四年里，该地区这种病的新发病人数总共多少？铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构18、统计184 线性回归方程及应用A 组1 设有一个直线回归方程为 ，则变量 x 增加一个单位时 （ ）32yxA
10、y 平均增加 2 个单位 B。y 平均增加 3 个单位C y 平均减少 2 个单位 D。y 平均减少 3 个单位2 回归直线方程的系数 a，b 的最小二乘法估计使函数 Q（a ，b）最小，Q 函数指（ ）A B。21()niiiyx1niiiyxC D。iiab 2()iiab3 对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是 （ ）A都可以分析出两个变量的关系B都可以用一条直线近似表示两者关系来估计总体的均值C都可以作出散点图D都可以用确定的表达式表示两者的关系4 某种机器购置后运营年限 x 与当年增加利润 y 的统计分析知具备线性相关关系，回归方种为，估计这种机器使用 年最合算。10.73
11、yx5 给出下列关系：正方体的体积与棱长角的度数和它的正弦值单产为常数时，土地面积和总产量日照时间与棉花亩产量体重与身高其中属于函数关系的有 。铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构6 一台机器可以按各种不同的速度运转，其生产的物件有一些会有问题，每小时生产有问题物件的多寡，随机器运转的速度而变化，左面表格中的数据是几次试验的结果.那么当速度为 10（转 /秒）时，是否可以预知每小时生产有问题物件数呢？若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为 10，那么机器的速度不得超过多少转/秒？7 假设儿子身长与父亲身长适合一元线性回归模型，观察了 10对英国父子身长（英寸）如下：父亲身长（ ）x6
12、0 62 64 65 66 67 68 70 72 74儿子身长（ ）y63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70试建立 关于 的回归方程.x8 我们知道营业税税收总额 y 与社会消费品零售总额 x 有关为能从社会消费品零售总额去预测营业税税收总额，需要了解两者的关系现收集如下 11 组全国相关数据（单位：亿元）年份 社会消费品零售总额 x 社会消费品零售总额 x1994 16264.7 680.21995 20620.0 869.41996 24774.1 1065.41997 27298.9 1353.41998 29152.5 1608.0
13、1999 31134.7 1696.52000 34152.6 1885.7速度（转/秒） 每小时生产有问题物件数8 512 814 916 11铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构2001 37595.2 2084.72002 42027.1 2467.62003 47602.1 2868.92004 53950.1 3583.5(1)画出营业税税收总额 y 与社会消费品零售总额 x 间散点图；（2 用最小二乘法求营业税税收总额 y 与社会消费品零售总额 x 之间线性回归直线方程(3)试估计 2005 年社会消费品零售总额增长在 12%14%，营业税税收总额 y 大致会增长多少？18、
14、统计184 线性回归方程及应用B 组1 回归直线方程的系数 a，b 的最小二乘法估计使函数 Q（a ，b）最小，则下列正确答案是（ ）A B。12niixybA1niiiyabxC D。aybx12niixybA2 两个变量成负相关关系时，散点图的特征是 （ ）A点散布特征为从左下角到右上角区域B点散布在某带形区域内C点散布在某圆形区域内D点散布特征为从左上角到右下角区域内铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构3 某考察团对全国 10 大声调进行职工人均平均工资 x 与居民人均消费 y 进行统计调查，y 与 x 具有相关关系，回归方程为 （单位：千元）。若某城市居民消费水平为 7.675，
15、0.61.52yx估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为 （ ）A66% B。72.3% C。67.3% D。83%4 下列关系中：吸烟有害健康粮食产量与施肥量乌鸦叫，没好兆名师出高徒不具有相关关系的是 。5 现有一个身高预测体重的回归方程；体重预测值4（磅/英寸） 身高-130 磅.期中体重和身高分别以磅和英寸为单位。如果将它们分别以 kg、cm 的单位（1 英寸25cm，1 磅045kg） 回归方程应该是_6 一个工厂在某年某月产品的总成本 y（万元）与该月产量（万件）之间有如下数据：X 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87
16、1.98 2.07Y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50(1)画出散点图；（2 ）最小二乘法求月产品的总成本 y（万元）与该月产量 x（万件）之间线性回归直线方程7 试证明： ；2211()nniiixx 。11()nniiiiyy铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构8 下栏的表格是某省 20 个县城 2007 年的一份统计资料，其中 表示第 个县城在 2007 年建成的ixi新住宅面积(单位：10 3m2)， 表示第 个县城在 2007 年的家具销售量(万元) 。iyi县城编号 ixiy县城编号 iiy
17、123456789101211182711907526333436830521036026044040036050058056050548011121314151617181920387270218342173370170205339283602540414590492660360410680594若此县城在 2008 年预计新建成的住宅面积为 350103m2，则可以大体估计出此县城当年可销售家具多少万元？铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构参考答案184 线性回归方程及应用【典型例题】例 1（ 1）A提示：线性回归直线方程为 =a+bx，而 a= ，即 a=t-bs， t=a+bs(
18、 s， t)在yybx回归直线上，即直线 l1和 l2必有公共点( s， t)。（2 ）B提示：回归直线斜率为 80，所以 x 每增加 1， 增加 80，即劳动生产率提高 1 千元时，工资提高 80 元。（3 ）C（4 ） 。提示： ，xy0358.1.1010276,()97860iiixx。46)(,85.201iiiyx（5 ）3.7 小时。提示：将 x=1000 代入上面公式即可。例 2 ，50.4)39405834286425(10 x 37.)2.86290.793.6y， ，所以所求回归直线的方程为 .图12.1niixyb1.aybx0.129yx形如下:x30y51035 4
19、0 45 50 55x30y51035 40 45 50 55铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构例 3（1）从入学成绩（x）与高一期末考试成绩（y）两组变量的散点图看，这两组变量尚具有线性关系.通过计算知 ， 76,0y 10210 ,47)(,894)(iiii xyx，所以 ，因此所求的线性回归方程是 =22.410 1025)(iy bab,5. 67.2y670.765 56x；（2）若某学生入学数学成绩为 分，代入上式可求得， 分，即这个学生高一期末数学8084y成绩预测值为 分84例 4 （1）散点图如图所示（2 ） 散点图显示出商品流通费率和 商品零售额的变化关系并不是直
20、线型，而是一条递 减的双曲线型两者之间不具有线性相关关系但经济理论和实际经验都可说明， 流通费率决定于商品零售额，体现着经营的规模效 益，因此可以拟合一个以商品销售额为自变量( X)， 流通费率为因变量( Y)的双曲线回归模型： XbaY1，为了求模型中的 a 和 b 两个参数，令 ，是上述模型转换为线性模型： ，这样我1 们就可以运用线性回归的知识加以解决了将转化后的有关数据列表如下：商品零售额 X（万元） 商品流通费率 Y 1X9.5 6.0 0.10511.5 4.6 0.08713.5 4.0 0.07415.5 3.2 0.06517.5 2.8 0.05719.5 2.5 0.05
21、12345679 15 21 27零售额流通费率铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构21.5 2.4 0.04723.5 2.3 0.04325.5 2.2 0.03927.5 2.1 0.036合计 32.1 0.604代入公式得： ，从而线性回归方程为 将 回4.60,37.ba 0.4376.YX1代得 604.37YX于是当 X=20（万元）时， （）5823.Y【课内练习】1 D。2 A。提示：依据函数的定义即可。3 C。提示：只要样本数据确定，那么所求的参数就是唯一的。4 D。5 5. 650Kg6 3.737 播放次数。8 表中的数据进行具体计算，列成以下表格i 1 2 3
22、 4 5 6 7xi 15 20 25 30 35 40 45yi 330 345 365 405 445 450 455xiyi 4950 6900 9125 12150 15575 18000 20475,3.9,0777221110,35,85ii ixyxy故可得到 25730.439,.4985ab从而得回归直线方程是 7xy铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构9由表中数据经计算可得 ，由线性回归公式得： ，故 y 对 x 的回51024,xy 0.34,5.6ba归直线方程为 。0.34.6y回归系数 b=0.304 的意义是：腐蚀时间 x 每增加一个单位，深度 y 平均增加
23、 0.304 个单位10思路一 、从新发病的增长率入手1996 年到 1997 年新发病的增长率为 (2491-2400)/24003.792；1997 年到 1998 年新发病的增长率为 (2586-2491)/24913.814；1998 年到 1999 年新发病的增长率为 (2684-2586)/25863.790由此可见，新发病的增长率基本一致，取其平均数为 3.799，以此作为以后新发病增长率的预测，即 2684(1+3.799)+2684(1+3.799) 2+2684(1+3.799) 3+2684(1+3.799) 4，不难算得约等于 11795（人）思路二、从数据处理来考察因
24、为 2491/24001.038、2586/24911.038、2684/25861.038 ，可见连续两年新发病人数的比值近似于一个常数 1.038，以此作为以后的预测，即2684(1+3.799)+2684(1+3.799) 2+2684(1+3.799) 3+2684(1+3.799) 411795（人）思路三、利用回归分析x 轴上表示年份， y 轴上表示新发病的人数，将表格中的四组数据描点（图略）观察这些点的位置，它们的分布大致在一条直线附近，所以尝试用直线进行拟合设回归直线方程为 ，则由相关数据计算得： ，bxay 5.197nix， ， ，25.401niy 7.94)(122ni
25、iixy8623bya所以回归直线方程为 ，从而y.863（人），即为所求7.9418623总y 167)20320( 18、统计铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构184 线性回归方程及应用A 组1 C。2 A。3 C。4 8。5 。6 用 x 表示机器速度，y 表示每小时生产有问题物件数，那么 4 个样本数据为：（8，5）、（12， 8）、（14，9）、（16，11 ），则 .于是回归直线的斜率为2,5.1yx， ，所以所求的回归直线方程为7286.03512niiixa 71.0ab。根据公式 ，要使 ，则就需要8.076.y 85xyy， ，即机器的旋转速度不能超过 转/秒.20
26、91.4903.47 。.354.x8 营业税税收总额 y 与社会消费品零售总额 x 间散点图(2) 利用计算器可以计算算出：050010001500200025003000350040000 20000 40000 60000系 列 1铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构12101342.9,83.0,.396,76iixyx 于是 1210.7658,705.1iixybaybxAA所以所求的线性回归直线方程是 。.68yx（3 ）社会消费品零售总额增长在 12%14%，即社会消费品零售总额在 6042461503，估计2005 年营业税税收总额大致在 39924005 亿元，增长
27、9.5%11.8%。B 组1 A。2 D。3 D。4 5 体重预测值0 72 （ kg/cm） 身高58.5kg。6 画出散点图：00.511.522.533.540 1 2 3系 列 1铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构利用计算器，可以计算得： 12121.547,.85,9.80,54.3i ixyxxy于是 。12211.5,0.974iixbaybxAA所以所求的线性回归直线方程是 。.1.25yx7 。2222211111() ()nnnnniiii iixxxx 1111()nnnniiiiiiyyyx。1 1()n ni ixxx 8 首先以横坐标表示新建成的住宅面积，纵坐标表示对应县城的家具销售量，作散点图。散点图如下：100 200 300 400300400500600 xy铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构由于家具销售量与新住宅落成的面积间呈现出明显的线性趋势，所以我们可以用回归直线去描述它 .由已知数据可以算出：， ，8.1609)(2112nini x 8.17396)(11 niiini yxyx所以 ， ，因此 即为所求回归直线。8.b47.2bya 4.208.故当此县城在 2008 年预计新建成的住宅面积为 350103m2，则可以大体估计出此县城当年可销售家具 万元。.5961.83501. y
