1、1第 17 讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角终边与角 相同的角可写成 k 360(kZ)(3)弧度制1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，| ， l 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径lr用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值 与所取的 r 的大小无关，lr仅与角的大小有关弧度与角度的换算：3602 弧度；180 弧度弧长公式：l| r，扇形面积公式：S 扇形 lr |r2
2、.12 122任意角的三角函数定义设 是一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x，y)，它与原点的距离为 r(r0)，那么角 的正弦、余弦、正切分别是：sin ，cos ，tan ，它们都是yr xr yx以角为自变量，以比值为函数值的函数3三角函数线设角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M，则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影由三角函数的定义知，点 P 的坐标为(cos_，sin_)，即 P(cos_，sin _)，其中 cos OM，sin MP，单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A，单位圆在 A 点的切线与 的终
3、边或其反向延长线相交于点 T，则 tan AT.我们把有向线段OM、MP、AT 叫做 的余弦线、正弦线、正切线2三角函数线有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM为余弦线有向线段 AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(2)终边落在 x 轴上的角的集合 |k，kZ；终边落在 y 轴上的角的集合Error!；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为Error!.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r 一定是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧三个注意(1)
4、注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于 90的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角(2)角度制与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(3)注意熟记 0360间特殊角的弧度表示，以方便解题一例题1下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是94( )A2k 45(kZ ) Bk360 (kZ )943Ck360315(kZ) Dk (kZ )542若 k18045(kZ)，则 在( )A第一或第三象限 B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限3若 sin 0 且 tan 0，则 是( ) A第一象限角 B第二象
5、限角C第三象限角 D第四象限角4已知角 的终边过点(1,2)，则 cos 的值为( )A B. C D55 255 255 125(2011江西 )已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴非负半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin ，则 y_.255角的集合表示及象限角的判定6(1)写出终边在直线 y x 上的角的集合；3(2)若角 的终边与 角的终边相同，求在0,2)内终边与 角的终边相同的角；67 3(3)已知角 是第二象限角，试确定 2、 所在的象限27 角 与角 的终边互为反向延长线，则( )A B180 Ck360(k Z) Dk360180(k Z)三角函数的定义8 已
6、知角 的终边经过点 P( ，m)( m0)且 sin m，试判断角 所在的324象限，并求 cos 和 tan 的值9(2011课标全国 )已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则 cos 2( )A B C. D.45 35 35 454弧度制的应用10 已知半径为 10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10.(1)求弦 AB 所对的圆心角 的大小；(2)求 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.11 已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？三角函数线及其应用12 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围并
7、由此写出角 的集合：(1)sin ； (2)cos .32 12利用单位圆解三角不等式( 组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置；(2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公共的部分；(4)写出角的表达式13 求下列函数的定义域：(1)y ； (2) ylg(3 4sin 2x)2cos x 114(本题满分 12 分)(2011 龙岩月考)已知角 终边经过点 P(x， )(x0)，且2cos x，求 sin 、tan 的值3615 已知角 的终边在直线 3x4y0 上，求 sin cos tan .451C2A3C4A5 8 7D9B6 解 (1)在(0，)内终边
8、在直线 y x 上的角是 ，33终边在直线 y x 上的角的集合为Error!.3(2) 2k(kZ)， (kZ)67 3 27 2k35依题意 0 2 k ，kZ.27 2k3 37 187k0,1,2，即在 0,2)内终边与 相同的角为 ， ， .3 27 2021 3421(3) 是第二象限角，k360 90 k360180 ，k Z.2k360 1802 2k360360 ，k Z.2 是第三、第四象限角或角的终边在 y 轴非正半轴上k180 45 k18090 ，k Z，2当 k2m(mZ)时，m36045 m36090；当 k2m 1(mZ)时，2m360225 m360270；
9、为第一或第三象限角2 28 由题意得，r ， m，m 0，m ，3 m2m3 m2 24 5故角 是第二或第三象限角当 m 时，r2 ，点 P 的坐标为( ， )，角 是第二象限角，5 2 3 5cos ，tan .xr 322 64 yx 5 3 153当 m 时，r2 ，点 P 的坐标为( ， )，角 是第三象限角5 2 3 5cos ，tan .xr 322 64 yx 5 3 15310(1)由O 的半径 r10AB，知AOB 是等边三角形，AOB60 .3(2)由(1)可知 ，r10，弧长 l r 10 ，3 3 103S 扇形 lr 10 ，而 SAOB AB 10 ，12 12
10、103 503 12 1032 12 1032 50326SS 扇形 S AOB 50 .(3 32)11 解 设圆心角是 ，半径是 r，则 2rr40，S lr r(402r)r(20r) 2100.12 12 (202)当且仅当 r20r，即 r10 时，S max100.当 r10， 2 时，扇形面积最大，即半径为 10，圆心角为 2 弧度时，扇形面积最大12 解 (1)作直线 y 交单位圆于 A、B 两点，连接 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区32域(图中阴影部分) 即为角 的终边的范围，故满足条件的角 的集合为Error!.(2)作直线 x 交单位圆于 C、D 两点，连接 O
11、C、OD，则 OC 与 OD 围成的12区域(图中阴影部分) 即为角 终边的范围，故满足条件的角 的集合为Error!.13 解 (1) 2cos x10，cos x .12由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 (如图阴影部分所示 )7定义域为 (kZ)(2)34sin 2x0，2k 3，2k 3sin 2x ， sin x .34 32 32利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 (如图阴影部分所示 )，定义域为 (kZ)(k 3，k 3)14P(x， )(x0)，2P 到原点的距离 r ，(2 分)又 cos x，cos x，x2 236 xx2 2 36x0，x ，r2 .(6
12、分)10 3当 x 时，P 点坐标为( ， )，10 10 2由三角函数定义，有 sin ，tan ；(9 分)66 55当 x 时，P 点坐标为( ， )，sin ，tan .(12 分)10 10 266 5515 取直线 3x4y 0 上的点 P1(4，3)，则| OP1|5，则 sin ，cos 35 ，tan ，故 sin cos tan ；45 34 45 35 45 45 ( 34) 25取直线 3x4 y0 上的点 P2(4,3)，则 sin ，cos ， tan .35 45 348故 sin cos tan .45 35 45 45 ( 34) 45综上，sin cos tan 的值为 或 . 45 25 45
