1、第一章 随机事件及概率1、这6个数字选出5个来排列的方法有 种，首位为0的有 种，而首位56P45P不能为0的为: .456P02、任取5件，其中有4件正品与一件次品的取法为： .1347C03、证明： ()PABC()AB()() ()PACB()()PABPACB()()()PABCC4、A表示任取3件中有一件为次品事件，50件中任取3件的取法为 ，而350有一件为次品的取法为 ， .21452145309()PA5、(1)任取四球都是白球的取法有 ，而任取四球的取法有 ，因此任46C412C取四球都是白球的概率为：46123(2)任取6球恰好3白2红1黑的概率为： .421607C6、(
2、1)每个盒子都放有的方法有 ，而总共的放法有 ，因此没有一10!10个空盒子的概率为 ;10!(2)至少有一个空盒子的概率为 .10!7、由题知： 且 ，如下图所示：),(,yx56yxx561156SoABy阴影部分为符合条件的点，其面积 ，2517)56(21AOBS此事件的概率为： 2517SP8、如下图所示：x11 SoAB 3y由题意可知所求的概率为： 95123AOBAOBSP9、(1)取得2个红球的可能有 ，而总共的取法为 ，所以两次取得都是8C210C红球的概率为 ；452810C(2)两次中一次取得红球，另一次取得白球的方法有 ，而总共的取法128C为 ，因此此事件的概率为
3、；210 2108C456(3)因为两次取得红球的概率由(1)知为 ，因此其对立事件即至少一次取8得白球的概率为 ；457281(4)设 表示第一次取得白球事件， 表示第二次取得白球事件；显然这A2A两事件是对立的，即 ，至少一次取得白球事件为 ，根据概)(21P21A率性质有： )()( 2121P)(21PA而由题知 ，两次取得白球的概率为 ，代入上457)(21A 452101C等式有 .92P10、设 表示此密码被译出的事件， 表示甲译出事件， 表示乙译出1A2A事件， 表示丙译出事件， 表示一个人译出事件， 表示只有两人译出事3A1B2B件， 表示3个人译出事件，显然 ， ， 相互独
4、立。由题知：B23)()()()()( 32113211 APAPAPP 454545 103同理 )()()()()( 3213213212 APAPAPBP060)()(3213根据全概率公式有： 6.0)()(321BPBPA11、(1)设顾客买下该箱事件为 ， 表示取得一箱中没有次品事件，0A1A表示取一箱有一件次品事件， 表示取一箱中有两件次品事件；显然 、2 0、 为相互独立事件， ，2A8.)(0AP， 1.0)(P1.)(2而 ， ，54176890 19275861920)(AP，根据全概率事件：；)(AP)(0AP)1( )(245(2)在顾客买下该箱中，确实没有残次品的概
5、率为-1295)()(0012、设 为中靶事件， 为选中未校正过事件， 为选中校正过枪支事A0A1A件，则 , , , ,)(0P83)(15)(P3.)(P8.0,00490149)()(11AP13、设 为飞机坠落事件， 为击中一次事件， 为击中两次事件，12A3A为击中3此事件； 表示被第 此击中事件 ，显然 为相互独立iBi )3,(i 21,事件。 ,7.0)(,5.)(,4.0)( 321BPP ,36.0)()(213213 BPA 41)()()(212B,4.033PP而 ，因此根据全概率公式有1)(,6.)(,.0)( 321 AA )(APA2 )(3P45.014、(1
6、)击中3次的概率为 ,3456.0).1()6.0235CP(2)因为每次击中的概率为 ，而至少有一次未击中是其对立事件，因此35).(至少有一次击中的概率为 1560C924.15、考虑其对立事件：即少于3台车床发生故障的概率，没有一台发生故障的概率为 ，一台发生故障的概率为 ，两台发生故障的120)7.(C112)7.0(3C概率为 ，因此在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率为02102).( 102112 )7.(3).(16、第一问：考虑其对立事件：0台、1台发生故障的概率分别为：；因此设备发生故障而得不到及时处理的概率为0.)9.(,).(122C 1；00同理第二问中所求概率
7、为：101.)9.()9.(718008 C 3738027828 )1.()9.()1.(9. CC第二章 随机变量及其分布1，设Z表示取出次品的个数，“ ”表示取出0个次品事件；因为15只Z零件中有2只次品，取3次且每次都不放回取到0件次品的概率为： ，即3521C；52)(ZP同理有： ， ；3512)1(2C351)(21CZP因此Z的分布律为：（如下图所示）1 20X 35235P2,设Z表示3个零件中合格品的个数，“ ”表示取出0个合格品事件，Z表示第i个零件为不合格品事件（i=1，2，3），显然 ， ， 为相互独A 1A23立事件。由题意知： ， ， ，因此21)(AP31)(2
8、4)(3P，)(321 ZP同理：241)()()()()( 321321321 APAPAP 6)ZP，24)()(0(321所以Z的分布列为：1 2 30X 2441P3，设Z表示该汽车首次遇红灯前已经通过的路口的个数，过第一个路口就遇到红灯的概率为： ，21)0(ZP同理有： ， ，4)1(812)( 812)3(ZP所以Z概率分布列为：1 2 30X 2481P4，X的分布列为：5，由题意知Z的分布函数为：XP0n211 2 n-1 nnCn nC21n3125.0)(xxxF6，(1)， ，)(df10cos0222 dxxAx从而得到 ，12sinA(2)，当 时， ；x 0)()
9、(xxdttfF当 时，2；21sinco210)()(2 xtddttfxFx当 时，2；10cos210)()( 22 xx dttdttf 因此Z的分布函数 21sin2)( xxF7，当 时有：ox；xxtx edtfF)()( 当 时有：xxxx edtettftfdtf 2121)()()()( 0000 因此X的分布函数为:021)(xexF8，(1) 是处处右连续的，)(xF， ； ；1)(lim1x 1lim2Ax(2) ；其 它02)( xf(3) 91.)3().130FP9，(1)最初150小时电子管烧坏的概率为：；)(510dxfX因此至少有两电子管被烧坏的概率为：
10、27)31()312CP(2)Y表示在使用最初150小时内烧坏的个数，则: ,278)31()0(CYP ,)()(213Y62 73CP因此电子管数Y的分布列为：1 2 30Y 278761P(3)，Y的分布函数为：32100768)(yyyF10，设 =k表示观测值不大于0.1的次数为k，而nV，01.2)()1.0( 1.00. xddtxfXP因此随机变量 的概率分布为：n3,21,)9.0(1.)( kCkVPnknn11，因为要使方程 有实根，则其判别式2Xy，得 ；0142X或又因为X服从 分布，所以6, 54162)2(P12，设A表示观测值大于3的事件，B表示A发生的次数，依
11、题意得： ,25)(P270)3(1)2()(3C13，(1)因为 ，所以 ，5xeF 2510)(1eFXP；5,4,0)1()(225kCkYPk(2)Y是表示10分钟内等不到的次数，则167.)()(52e14，(1) 查表知 ，所以,90.)38(aFaXP 28.130a；84.1a(2)， )6.17.0( )6.17().(F，308308因为 ，所以)()(x9.).(XP15，因为 ，即80210XP)1602()16()()2( F4)0(1)(8.42，90)(查表知： ， 8.1402.3116，误差的绝对值不超过30米的概率为：，4961.0)23()4023()()
12、3030( FXP所以误差超过30米的概率为： ，569.1.所以三次误差绝对值都超过30米的概率为 ，33)(C因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30米的概率为：869.0)5.(133C17，(1)根据题知：；)1,(,165)(48()( xxxxXP其 中当 时， ，1x0)F当 时，1675810)1()()() xxXPXxP当 时， ；1x1F(2)X取负值的概率为： 1675)(0(F18，由题知， ，2.4.1)0(33CXP， ，2.4.1).)(23CXP 28.0)4().)(23CXP，6(X1Y230 1 2 30 1 4 90 0 10 1 1 0(1)故
13、的分布列为：21XYP 0.216 0.432 0.288 0.0641 4 901YP 0.216 0.432 0.288 0.064(2) 的分布列为：)2(2XY0 112YP 0.432 0.504 0.064(3) 的分布列为：3)(3XY103YP 0.28 0.7219，由 得 ，显然有 且 ，根据定理有：XeYxy0yyxln，ffyf X1)(ln)(ln)(1)当 时，即 时有 ,0lxy 2ln1)(lyeyfX(2)当 时，即 时有 ,lny10)(lfX由(1),(2)得： 10)(2yyfY20，(1)因为 )(tan)ta()(arctn)() yFyXPyPF
14、XY 等式两边对 求导得： ，y eyfyf yX 2tan2sc1set 2由 得 ， ，XYarctnxyarctn2y22sec0)(2tanyyfyY(2) (显然 才有可能)1()()2XPyFY 1yy)21()21(FYY)(yY两边对 进行求导得：y，41)(2)1(2)( yXY eyfyf 因此 的概率密度为：12X；10)1(2)(4yeyyf yY(3) )()()XPFYy)()FX，12y两边对 求导得： ，y 22)()( yyXY eff 因此 的概率密度为：XY0)(2yeyfyY习题三1. 箱子里装有12只开关，其中只有2 只次品，从箱中随机地取两次，每次取
15、一只，且设随机变量X，Y为.,10;,若 第 二 次 取 得 次 品若 第 二 次 取 得 正 品若 第 一 次 取 得 次 品若 第 一 次 取 得 正 品 ，试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布律.解：先考虑放回抽样的情况： .36121,50, ,3621,0,50,YXPP则此种情况下，X与Y的联合分布律为再考虑不放回抽样的情况 .6121,35102,1 ,350,9,0 YXPYXPXY 0 10136253651XY 0 12. 将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的联合分布律
16、及边缘分布律.解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为1，3；则由硬币出现正面和反面的概率各为 ，可知2183211,2,03, ,8,(021CYXPYXP此 种 情 况 不 可 能 发 生 ）.8123,0,Y012535361XY 0 1 2 3 jp03ip0 838860 0 1143. 把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布.解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为0，1，2，3；则， 2713,P 9131,
17、03CYXP，92C27，0,113YX,1232P，, 9310,223CYXP931123CYX,P270303,1, YXPYXPYX则二维随机变量（X,Y）的概率分布及边缘分布为XY 0 1 2 3 ip181380123 jp271912780 940 0 9120 0 0 27271189424. 设(X,Y)的概率密度为.,0,42,0),6(81),(其 它 yxyxyxf求：（1） P(x,y)D, 其中D=(x,y)|xb 2时显然有 .)(1ZZ 1的概率密度函数为 .0,2)(21其 他 bxbxFZ而当 时 ，bx4 1)4(0144)(2 bxYPPZ 当-4b0,
18、而当z-4b， 时， 此时4,bxz0)(zfZbdxzfbzZ 82)(402 时 ，当即 .4,81,4,0)( 22bzbzzfZ ） ，时 ， （ 即当 04402b 241812881P 0442222 bbdzzYXbb ） ，时 ， （ 即当 042b dzYXb34P02综上可得：方程 有实根的概率为2t.4,321,0,04P2 bYX10. 设（X,Y）的概率密度为 .,0,),(其 他 yxeyxfy求边缘概率密度和 1YXP解：X的边缘概率密度为，当x0时，dyxff),()( 0)(xfX当x0时， xxXeY的边缘概率密度为 dyfyfY),()(当x0时， ，当y
19、0时，0)(yfY yyYedxf0)( 0.) fxexf yxX而 210 211210 )( |),(,YP edxedyex xDyfxD其 中11. 设X,Y相互独立，其概率密度为 .0,0,)(.,)( yyfxf yYX其 他求Z=X+Y的概率密度.解：由已知得 dxzfxzfYXZ)()(当z1时， zzd)(10Z=X+Y的概率密度为 1)1(0)zezfzZ12. 设随机变量（X,Y）的概率密度为 .,0,10,3),(其 他 xyxyf求Z=XY的概率密度.解：Z=XY的分布函数为zYXzxZ dyfdxyfPzzF ),(),()(Z=XY的概率密度为 fFzfZ,)(
20、.,010,3),(其 他 xyxyf，0)(,x1zfzzZ时 ，当 ,0时 ，当 ),1(23xd)(1zzfzZ时 ，当Z=XY的概率密度为 .,0 ,10),()(2其 他 zzzfZ13. 设随机变量（X,Y）的概率密度为 ,21),( 2 yxeyxf yx求 的概率密度.2YXZ解：设 的分布函数为 )(zFZ当 时，0 0)( 2zYXPzFZ当 时，Z22 22201 11)( zzYX yxyxe rdedeP 的概率密度2YZ.0,21,)(2zezFzZ14. 设二维随机变量（X,Y）在矩形 上服从均匀分布，10,2|,yxyG试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(
21、s).解：由已知可得随机变量（X,Y）的概率密度为.,010,221),(其 他 ，yxyxf设边长为X和Y的矩形面积S的分布函数为F(s)，则sxy)f(,) dxyXYPssF（ .0)0S（时 ，当 2)ln(2 22121y,(0020ss sdxydxydxxfdFs sss （时 ，当 )1(1)20xdyxsFSs（时 ，当矩形面积S的概率密度 2,0,0),ln2(1) sssf 或15设X和Y为两个随机变量，且,74,73, YPXP求 .0),max(解： 0, 1734, YXPYXP同理可求 710, 10,0, YXP又 231,0YXP.75, ),max()max
22、(YXP16. 设（X,Y）的联合概率密度为,102),(1022yxeyxf yx求：（1） ;YXP（2）边缘概率密度；(3) ).|(|xyfXY解：（1）由已知，得 y xyxyx dedePx 102102 22 同理可知 yyedYX1022而PYX又 12YX（2）X的边缘概率密度为 )(210102),()( 0102 22 xedyedyxff xx由于f(x,y)关于x,y地位的对称性，得 )()(yfyY17. 设X,Y是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知X的分布律为又设 试写出变量 的分),321(iP ,min,axYXY ),(布律及边缘分布律并求 .P解：
23、由已知得： ,9131,1, PX0312,1P ,92312, YPXYX ,2,2 P,03,2P ,923131,1 YPXYX ,23,2,P 913,3, YX则变量 的分布律及边缘分布律为：),(而 .319P18. 设X关于Y的条件概率密度为其 他 ，,0,3)|(2| yxyxfYX而Y的概率密度为其 他 ，,0,15)(4yyf1 2 3 ip123 jp0 0 9910 2139951531求 .21XP解：由已知得： 其 他,010,15)(|(),( 2| yxyxfyxfyxf YYX 126475),2D(),(21P YD ddfX其 中19. 设（X,Y）的概率
24、密度为其 他,0,10,),( yxyxf求：（1） 的概率密度；,maxYXZ（2） 的概率密度.in解：(1) 设 的分布函数为 ,概率密度为 ，则当 时，,axYXZ)(zFZ)(zfZ0,max)( ,maxzYXdxyYPzzF当 时，103302 0,max2)( )()(zdz ydyfZz zYXZ 当z1时, 101)()(yxZ dyzPzF的概率密度为,maxYX.,0,13)(2其 他 zzfZ(2) 设 的分布函数为的分布函数为 ,概率密度为 ，,minYXZ )(zFZ)(zfZ则当 时，1 10,1min1)( YXPYXPzZzPzFZ则当 时，0 ,i1)(
25、ZZzzzZ则当 时，1 32)(,)( zZ zdyxZYXPzzF的概率密度为,minY.,0,10,32)(f其 他 zzZ20. 假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则0整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间T的概率分布.解：用 表示第i个电气元件无故障工作的时间，则 相互独)3,21(iX 321,X立且同分布，其分布函数为 0,01)(xexF设G(t)是T的分布函数.当t 0时，G(t)=0;当t0时，有 tetFtXPttXPXTG 33321 211)( ,)( .0,0,)(3tett电器正常工作的时间T的概率分布服从参数为 的指数分布.3习题四1. 设排球队A队与B队进行比赛（无平局），若有一队胜4场，则比赛结束，假定A队与B队在每场比赛中获胜的概率都是 试求比赛结束时所需比赛场数,21的数学期望.
