1、函数定义域、值域的逆向问题探究（江西省金溪县第一中学 李伟 344800）在函数定义域、值域给出或变化范围给出的情况下，求解与之相关的某些参数的取值范围的一类函数问题，被称之为函数的定义域、值域的逆向问题。众所周知，函数的定义域、值域的求解没有通性解法，只能依据函数的解析式结构特征来灵活解决，而函数的逆向问题还要反其道而行之，可想而之，难度又加大了一些。当然，这也更能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，特别是综合分析能力及逆向思维。为了便于师生复习，现从定义域、值域两方面对其进行归类例析。一、函数的定义域受限给出，值域受限给出此种类型题目把函数定义域、 值域、函数的性 质融合在一起，并充分体现
2、了定义域对值域的制约关系。应多利用函数的性质来解题，特 别是要确定好函数 图像的对称轴与已知函数定义域内外的关系，结合函数的 单调 性来求解。例 1 已知二次函数 。若 的定义域为 时，值2()(0,)fxbcR()fx1,0域也是 ，符合上述条件的函数 是否存在？若存在，求出 的解析式；若不,0)fxf存在，请说明理由。解： 假设符合条件的 存在。()fx函数图像的对称轴是 ，又 ，2b02b（1） 当 时，即 ，函数 有最小值 ，则021x12()1,40bbf c0,4,().3bc或 舍 去（2） 当 时，即 时，则22,()1, ().0bbfc或 都 舍 去（3） 当 ，即 时，函
3、数在 上单调递增，则221,0(1),00fbc综上所述，符合条件的函数有 2 个： 22()1().fxfx或二、函数的定义域不受限给出，值域受限给出此种类型题目的突破口就在于定义域不受限。解 题时可参照判 别式求值域的方法进行计算，运用韦达定理进行求解，但要注意验证二次项系数为 0 的情况。例 2 已知函数 的定义域为 ，值域为 ，求 的值。2813()logaxbf(,),2,ab解：设 ，则 。281axu2()uub，2,0,84()0RaA且 设即 2()(6).uab又 ，关于 的一元二次方程 的两根,1,9fxu则 u2()(16)0uab为 1 和 9，由韦达定理得 ，解得6
4、ab5.若 时，对应 ，符合条件。0,5ua即 0x为所求。b三、函数定义域内的值域不受限给出此种类型题目只给出值域为 。解 题时应注意理解 题目的要求，区分取 值是属(,)于恒成立的问题还是子集的问题，以便正确运用判 别式来 处理，同 时也应谨记判断二次项系数为 0 的情况。例 3 已知函数 若 的值域为 ，求实数2()lg1)()1,fxax()fx(,)的取值范围。a解： 设 ,2()()t,fx0t即 只要能取到 上的任何实数即满足要求。由右图t() 若 ，则 ；2(1)0a2153aaA 若 ，则 ，当 。满足要求。2,21tx时当 。 （不合，舍去）a时。513a -2 -1 1
5、2 3 410203040四、函数定义域内的值域受限范围给出，而非给出值域此种类型题目只给出了函数值的范围，而非 给出值域， 应注意区分判 别。一般来说，如果是值域的话，题目会明确说 明值 域是什么，否 则应谨慎审题 。例 4 已知函数 对定义域内的任意 值都有 ，求 的取值范围。231axyx1()4fxa解：由已知可得，对定义域内的任意 ，有恒成立，由2240,31xxaa即 2160,4.aaA解 得注：此题易错认为 是函数 的值域。错解如下，应注意区分。,231xy错解把已知函数式变为 ，当 ；0a3,yxa时当 时，方程必有实根，则关于 y 的不等式 ，0y 24()0aA即 的解必
6、为 ，从而-1，4 是方程的两个根，求得 。2241a1, 4以下几道类似的习题，帮助同学们复习巩固，以达到知识的正向迁移。1、若 的值域为 R，则实数 的取值范围是 。(4)log01)axf且 a2、若 在区间 上的值域仍是 ，（其中 ），求 的值。23y,b,b0b,a3、若函数 的定 义域为集合 A，值域为1，7，集合 ，则43x (12B集合 A 与集合 B 的关系为 。附答案：1、 2、 3、 。(0,1),1,4ab作者联系方式姓名：李伟地址 1：江西省金溪县第一中学 邮编:344800地址 2：华中师范大学数统学院 05 级数学教育硕士 邮编：430079电话：15926318630 或 027-87377945Email:jxyz_
