1、第四章 级 数 第一节 级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：在这里， 是复数，,.,.,2211 nnibazibaziz nz一般简单记为 。按照 是有界或无界序列，ImRenn z|我们也称 为有界或无界序列。z设 是一个复常数。如果任给 ，可以找到一个正数00N，使得当 nN 时,|0zn那么我们说 收敛或有极限 ，或者说 是收敛序列，并nzn且收敛于 ，记作0。0limzn如果序列 不收敛，则称 发散，或者说它是发散序列。n令 ，其中 a 和 b 是实数。由不等式z0 | 0bannn及容易看出， 等价于下列两极限式：0limzn,lim,libann因此，有下
2、面的注解：注解 1、序列 收敛（于 ）的必要与充分条件是：序列n0收敛（于 a）以及序列 收敛（于 b） 。nn注解 2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列收敛于 ，或者说有极限点 的定义用几何语言可以叙述z00z为：任给 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数 N，使得当 nN0z时， 在这个邻域内。n注解 3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。复数项级数就是 21nzz或记为 ，或 ，其中 是复数。定义其部分和序列nn为： nnzz.21如果序列 收敛，那么我们说级数 收敛；如果的极限是 ，那么说
3、 的和是 ，或者说 收nnn敛于 ，记作，1nz如果序列 发散，那么我们说级数 发散。nn注解 1、对于一个复数序列 ，我们可以作一个复数项级数如nz下.)(.)()( 123121 nzzz则序列 的敛散性和此级数的敛散性相同。n注解 2、级数 收敛于 的 定义可以叙述为：N有时使 得 当 ,0,，|1nkz注解 3、如果级数 收敛，那么n,0)(limli1nnz注解 4、令，我们I,Re,I,e,Rbaban有 nkkni11因此，级数 收敛（于 ）的必要与充分条件是：级数z收敛（于 a）以及级数 收敛（于 b） 。nn注解 5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级
4、数，例如下面的柯西收敛原理：柯西收敛原理（复数项级数）：级数 收敛必要与充分条件nz是：任给 ，可以找到一个正整数 N，使得当0nN，p= 1,2,3,时， |.|21pnnzz柯西收敛原理（复数序列）：序列 收敛必要与充分条件是：任给 ，可以找到一个正整数 N，使得当 m 及 nN，0|nz对于复数项级数 ，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数 .|.|21nzz收敛，我们称级数 绝对收敛。n注解 1、级数 绝对收敛必要与充分条件是：级数 以na及 绝对收敛：事实上，有nb,|121knknkkkkbaz及注解 2、若级数 绝对收敛，则 一定收敛。nznz例、当 时， 绝对收敛；1|2并且有0lim,1.112 nnn我们有，当 时，|.2n如果复数项级数 及 绝对收敛，并且它们的和z“分别为 ，那么级数“,).(“1“121 znnn也绝对收敛，并且它的和为 。
