1、数形结合思想的应用教学设计一、教学设计的背景课程标准明确指出：“加强数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，引导学生从解题的思想和方法上考虑问题，达到巧妙解题。”可见，数学思想和方法已经提高到不容忽视的重要地位，素质教育下的数学教学更注重数学品质的培养和数学能力的提高。其实数学问题的解决过程就是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，这既是渗透的目的，也是实现走出题海的重要环节。数学思想方法应从平时的“隐含、渗透”阶段进入中考复习时第二轮的“介绍、运用”阶段。在整个中学数学教学中, 数形结合思想是一种比较一般而又十分重要的思想方法。数形结合思想：就是把刻划数量关系的数和具
2、体直观的图形有机结合，是抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：以数解形：建立适当的代数模解决有关几何的问题型。以形助数：建立几何模型(或函数图象)解决有关方程和函数的问题。数形结合： 与函数有关的代数、几何综合性问题。以图象形式呈现信息的应用性问题。（ 5） 所 给 的 等 式 或 代 数 式 的 结 构 含 有明 显 的 几 何 意 义 。 通过考察学生数形结合的思想，可以检测出他们掌握数学基础知识的程度、理解知识的深度及对数学知识
3、的综合运用能力。在初中阶段训练学生利用“数形结合” 的方法观察、分析问题，有助于学生学习抽象的知识，对锻炼相应的数学思维也有极大的帮助。二、教学目标 ：1、知识目标 1）理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图像的性质2）了解数形结合在解决数学问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决2、能力目标 1）学会以数解形、以形助数、数形结合思想进行数学思考和解决问题，培养用数形结合的思想解决问题的意识掌握将代数问题转化为几何问题、几何问题转化为代数问题的技巧2）通过运用数形结合的思想解题，培养学生的观察能力、分析归纳能力，领会数形结合转化问题的思想
4、方法3、情感目标 通过本节课的学习，提高学生分析问题和解决问题的能力培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神渗透理论联系实际、从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想三、教学重、难点重点：以数解形、以形助数、数形结合。难点：在代数与几何的结合点上去找出解题思路：如何以数思形、以形思数，从而达到数形结合、解决问题的目的。四、教学方法纵观整个初中阶段的数学教学，数学思想方总是隐含其中、是在逐步渗透着的，进入中考复习第二轮时必须进行系统的介绍、运用，结合九年级学生的知识和技能的掌握情况及其心理特征，本节课拟采用引导发现探索法，教师适当引导，学生自主探索、合作交流。教
5、具：利用多媒体辅助教学，使学生更容易从直观上理解“数”和“形”之间的关系。五、教学过程（一）创设情景，以旧引新问题 1：如图是一个边长为 1、经五次对开的正方形，你想到了一个怎样的求值式（或等式）？学生回答后教师指出：这就是以数解形。.学会形中觅数，善于观察图形，找出图形中蕴含的代数关系。如果在一个几何问题中，条件和结论都容易用代数中的式子表示出来，那么，我们就可以把解决这个问题的过程转化为代数中的演算来完成。数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，探索由图形到数量的联系与规律，把图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化。 问题 2：由代数
6、式 你想到了一个怎样的几何图形?学生回答后教师指出：这就是以形助数。善于以数思形，正确构造图形，通过几何模型反映相应代数信息，一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数关系比较抽象， 因此， 若能结合问题中代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径。问题 3：在我们所学的数学知识中，还有哪些可以以数思形、以形思数、数形结合的例子？24a学生回答后教师指出：这就是数形结合的例子。在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等。在
7、直角坐标系下，一次函数对应一条直线，二次函数对应一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容。比如二次函数 所对应的图像的开口、顶点、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其21(0)yaxbc系数 a，b，c 密不可分。掌握数与形的对应关系，以数思形、以形思数。数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。将抽象的数与直观的形双向联系与沟通，可使抽象思维与形象思维有机地结合起来，化抽象为形象，从而达到化难为易的目的。给出课题数形结合思想的应用设计意图：精心设计问题串引入新课，能够集中学生注意力、引发学生思考、激发学生兴趣、产生学习动机、建立知识联系、明确教学目标，使学生的求知欲由潜伏状态进入活跃状态，为学习新
8、知识、新概念、新技能作铺垫，收到事半功倍的效果。同时在问题后给出课题更显得贴切、自然。（二）以形助数：建立几何模型(或函数图象)解决代数的问题做一做：已知直线 y1=2x1 和 y2=x1 的图象如图 1 所示，根据图象填空 当 x_时，y 1y 2；当 x_时，y 1=y2；当 x_时，y 1y 2. 方程组 的解是_。x设计意图：1、让学生体会到任何一个二元一次方程都可以化成一次函数 y=kx+b(k、b是常数，且 k 不为 0), 在直角坐标系下，二元一次方程组的解、一元一次不等式的解就显得直接、明了，达到了抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。2、以学生的原有认知作为新知的生长点
9、，让学生体会到以形助数就在自己平时的数学学习中，这样既符合学生的认知心理，让学生有一种亲切感，也为例 1 的引出作好了准备。SxO 5 9 1420例 1、试判断方程 的解的个数。12x1x学生思考后，教师给予适当引导：（1） 通过解方程你会求得解的个数吗？（2） 如果行不通，你会想到以形助数吗？（3） 想到了哪些函数及其图像？会解决了吗？设计意图：相比做一做，例 1 是一个飞跃，需要学生亲身以数思形，通过几何模型反映相应代数信息。结合问题中代数关系赋予的几何意义，借助直观形象对问题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径。（三）以数解形：建立适当的代数模型解决有关几何的问题型例 2、在ABC
10、中，AB=AC=2，BC 边上有 100 个不同的点 ，记iP（ ），则 . iiii CPBAm10,.21021m例 3、如图，已知ABC 的面积 S，作一条直线 ，且与 AB、AC 分别相交于点BCl/D、E，记BED 的面积为 ，证明： k4设计意图：一个似乎是纯几何的问题，在“数”的引导下获得了最好的解决方式，这种由表及里，形中有数的思想方法，正是数学中“数形结合”的思想方法在解决问题中的具体体现。（四）数形结合：与函数有关的代数、几何综合性问题例 4、ABCD 是四边形，动点 P 沿折线 BCDA 由 B 点向 A 点运动P 点移动的路程为 x，ABP 的面积为 S，函数 S=f(
11、x)的图像如图所示给出以下四个结论：（1（ ABCD 是等腰梯形；（2（ ABCD 是平行四边形；（3（ 若 Q 是 AD 的中点，那么 ABQ 的面积为 10；FB CA DElDAB CE3 21EBACD（4（ 当 9x14，函数 S=f(x)的解析式是 56 4x其中正确命题的序号是_ 设计意图：将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性使问题化难为易，化抽象为具体。（五）拓展提高例 5、 若 x、y 为正实数，且 的最小值是多少?41,422yxy学生思考后，教师给予适当引导：（1） 从 、 你想到了
12、什么？122（2）上述问题就变成了求什么的最值问题。（3）根据以上分析你会想象出怎样的图形？设计意图： 表示以正数 a，b 为直角边的直角三角形的斜边，2ba看到这个式子应立刻在头脑中产生这个直角三角形，这当然需要经验的积累。有了这个直角三角形，解决问题便有了思路。由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通中知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展都有很大帮助（六）小结归纳（1）本节课强化了哪一种数学思想？它包含几个方面？（2）数形结合思想具有怎样的优越性？（3）在以后的学
13、习中你应该注意哪些方面？（2） 设计意图：一节课的结束，并不意味着教学内容和学生思维的终结。“学贵有疑”，有疑就对知识有“学而不厌”的追求。在课堂结束时，充分利用课堂的核心内容设计总结问题串，可培养学生独立探究新知识、自我归纳和反馈的能力。（七）布置作业1、实数 a、b 上在数轴上对应位置如图 336 所示，则 等于（ 2|ab）Aa Ba2b Ca Dba2、求和： n2184213、求 的最小值9xxy六、教学反思1善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系 观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、
14、掌握数形结合的重要进程 2正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系 观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系 3切实把握“数” 与“ 形”的对应关系，以图识性以性识图 数形结合的核心是“数” 与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化4灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性 在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法通
15、过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段 运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代
16、数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范例 3、如图，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的 2倍。问：若只许剪两刀应如何裁剪，使之能拼成一个新的大正方形？（1）（2）（1）（2）学生思考后，教师给予适当引导：（1）从已知到结论，图形虽然变了，但其中有没有不变的东西？（2）若设小正方形的面积为
17、 1，则其边长就是 1，这样一来，变化后的正方形的边长是多少？（3）图 4 中边长为 的线段有几条？会解决了吗？5二、数学竞赛中的数形结合（图解法）例 5 当 为何值时，代数式 的值最小x 321xx例 6 试求 的最小值07321例 7 解不等式 54x例 8 ，求证： 10,ba 2)1()(222 baba例 9 均为大于 0 的数，求证：c,并讨论等号成立的条件)(2222 cbacba 例 10 的最小值10822xxy例 11 已知正数 满足 ，求证 CBAcba, kCcBba 2kcAbCaB例 12 正数 满足方程组 试求 的值,xyz22253169yxz23xyz练习：1
18、方程 有一个负根而没有正根，则 得取值范围为 1axa2方程 的不同的根的个数是（ ）3x 3设 则 的最小值是 ,dcbadxcbxa4求 的最小值2922xy5设 ，求 的最小值0133xx6已知： 为实数，na,21的最小值为 且满足：223221 )1(53 naaa nS存在唯一的一个正整数 使 也为一个整数求 的值72n S7化简： 538设 求证： 0,cba abcca)()(9求证： 2)1()(1)1( 22222 b10已知 ，求证： 1aba a11设 ，求证：（1）0,c acbc222（2） b12设 ，求 的最小值y 1332xx13解关于 的方程： 其中 t b
19、atat 33 ba014正数 满足方程组 ，求 的值,xyz.25,16,922yzyxx xzy15 是正数，求证： yx, 633322yxx16解不等式： 2a17 为什么实数时，方程 有三个互不相等的实数解mmx4三、用代数法解几何题例 13 如图，所标的数字的单位是厘米，如果长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，试求四边形 MNPQ 的面积例 14 正方形 ABCD 中，BDCE，BD=BE，求证：DE=DF.2653CA N BDM QPF EDCABSxO 5 9 1420练习：1.如图，在ABC 中，D、E 分别在 BC、AB 上，且1=2=3，如果ABC，EBD，AD
20、C的周长依次为 ，证明： .21,m45212.如图，已知ABC 的面积 S，作一条直线 ，且与 AB、AC 分别相交于点 D、E，记BCl/BED 的面积为 ，证明： k43. 已知在ABC 中，B=60,AC=1,求证： .2BCA4正方形 ABCD 中，CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半.试求EAF 的度数.5在ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有 100 个不同的点 ，记 （iPiiii CPBAm2），则 . 10,.2i 1021m6如图，ABC 中，BD、CE 相交于点 P，且BPE、CPD 与四边形 AEPD 的面积相等，若BPC 的面积是 12，则BPE 的
21、面积是 .7.矩形 ABCD 的面积是 36，在边 AB，AD 上分别取点 E，F 使得 AE=3BE，DF=2FADE,CF 的交点为 O.请计算DOF 的面积. 4ABCD 是四边形，动点 P 沿折线 BCDA 由 B 点向 A 点运动 P 点移动的路程为 x，ABP 的面积为 S，函数 S=f(x)的图像如图所示给出以下四个结论：（5（ ABCD 是等腰梯形；（6（ ABCD 是平行四边形；（7（ 若 Q 是 AD 的中点，那么 ABP 的面积为 10；（8（ 当 9x14，函数 S=f(x)的解析式是 56 4x其中正确命题的序号是_ FB CA DElDAB CE3 21EBACDP DEBACOBA DCFE2、 已知二次函数 与一次函数 y2=kx+ m（k0）的图21(0)yaxbc象相交于点 A（2，4）， B（8，2）（如图 2 所示），则能使 y1y 2成立的 x 的取值范围是_设计意图：1、让学生体会到任何一个二元一次方程都可以化成一次函数 y=kx+b(k、例 5、 为什么实数时，方程 有三个互不相等的实数解mmx342学生思考后，教师给予适当引导：（1） 从 x2-4x+3 你想到了什么？（2） 会画出函数 y=|x2-4X+3|的图像吗？（3） 三个互不相等的实数解从形的角度而言意义是什么？
