1、探索数形结合思想在初中数学解题中的应用班级：2011 级本科 2 班 姓名：陈馥学号：2011011234探究数形结合思想方法在初中数学解题中的应用摘要：在新课程标准全面实施的今天，数形结合思想在初中数学解题中的应用也越加广泛深入。 “数”和“形”是数形研究的两大对象，数形结合简言之就是数和形两方面的转化。从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程，不等式，函数，集合等表示数学问题中的数量变化和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义，有助于学生形成数形结合思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。将原本复杂的题目变为一目了然的图形，在解题中不断把数形结合思想灌输给学生，要使学生充分认识到
2、数形结合在初中数学的意义以及中中如何应用数形结合思想解题，从而使学生能将数形结合思想得心应手的展现在数学解题中。关键词：数形结合，数学解题，数学思想方法，应用，思维能力0.引言“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生撰写的谈谈与蜂房结构有关的数学问题中，“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法，在初中数学传统学习的时候，教师很少使用数形结合的思想，但在新课程标准下，教师认识到数形结合解决数学问题的便利和重要性。 “数形结合”是一种重要的数学思想，在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形” ，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数” 。通过“数”与“形”的结合，对事物，规律的
3、把握就能既容易又细微，深刻。在初中数学教学中数形结合的思想贯彻初中数学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面。 （1）建立适当的代数模型(主要是方程，不等式或函数模型) 。 （2）建立几何模型（或函数图像）解决有关方程和函数问题。 （3）与函数有关的代数，几何综合性问题。 （4）以图像形式呈现信息的应用性问题。“数形结合”的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形” ，另一种情形是“以形助数” 。 “以数解形”就是有些图形过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要图形赋值，如边长，角度等等。 “以形助数”是指把抽象的数语言转化为直观的图形，在数学解题中，运用数形结合思想，
4、就是根据问题具体情形，或者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以数柱形或以形助数，使问题简单化，抽象问题具体化。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合思想通过“以形助数，以数解形” ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学问题的规律性与灵活性的有机结合。新的一轮数学课程改革在许多方面都发生了比较大的变化。这些变化主要表现在以下几个方面：不仅强调数学的基础知识，技能，技巧，同时强调数学思考，问题
5、解决，情感态度目标；不仅强调数学的基础知识，同时强调数学的应用，要求用大量实例来引入和说明抽象的数学知识；在思维和能力的培养方面提高了要求；不仅强调数学学习的结果，同时也强调数学学习的过程等，有利于促进学生对数学知识的理解。长期以来，学生解了大量的题目，但不少人的解题能力未见提高。具体的情况是“许多同学懂了课本内容却不会解题，还有的解了许多题，却说不清思路” ，其原因是“数学解题的规律被简单化为对题型，套解法 ，由此产生了盲目的题海战术，习题效应” 。学生在解题过程中往往会出现数与形分离的情况，只注重用形或只注重用数解题的片面做法，导致解题思路清晰，但解题过程繁琐的现象。数形结合是一种重要的数
6、学思想，是数学解题中一种重要的方法，利用数形结合解题可以充分发挥数与形的优势，对题目既有进行几何直观的刻画又进行代数的量化分析，从不同的两个角度对题目进行把握，有利于提高学生的解题能力，找出代数问题的几何背景，追本溯源，体会蕴含在其中的思想方法；将抽象问题具体化，促进形象思维和抽象思维的共同发展。1.数形结合思想在初中数学教学解题中的地位1.1 有助于概念的理解和记忆数形结合思想可以化抽象为具体，有助于学生概念的理解和记忆，其主要体现在以下几个方面：第一，运用数形结合，可以揭示数学概念的来龙去脉，有助于学生感知和接受数学概念。应用“数形结合”能培养学生的数学直觉思维能力。在数学学习中，存在着大
7、量的直觉思维，即人们在求解数学问题时，运用已有的知识体系，从整体上对数学对象快速识别，判断，进而做出大胆的猜想，合理的假设。“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。利用数形结合，有利于学生对知识本质的理解，进而达到对知识的内化。例如，学生在学习等式的本质“等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等”时，如果直接告诉学生这个性质，学生就只能进行机械式记忆，并不理解，因此就会出现在解题过程中繁杂，长时间在一道题上下功夫。1.2 有助于提高解题能力学习知识就是为了能应用知识，数学研究的对象是数
8、量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面。 “数”与“形”两者之间不是孤立的。数学知识的掌握情况在一定程度上影响着数学问题的解决能力，而数学思想方法的掌握和应用情况也影响着学生的解题能力。数形结合思想作为重要的数学思想方法之一，对其的掌握不仅能帮助学生寻找解决问题的途径，从而提高学生解题能力，而且还可以通过积累数学知识模块进而缩短思维链的方式，提高学生的解题能力。1.3 有助于培养数学思维能力数形结合思想始终坚持从“数”和“形”这两个不同的角度来剖析问题的实质。比如函数与对应的图像，实数与数轴等内容。从已有的图像内容中分析相应的代数性质，这体现了“数形结合”的思想方法；而将代数问题转化为相应
9、的几何问题或借助与几何问题求解，则需要同时用形象思维和创造性思维，这也体现了“数形结合”的思想方法。因此，数形结合思想方法即是学生解决问题的一种方法和手段，又能帮助学生更深的人是数学问题的实质，同时还有助于培养学生的形象思维和创造性思维，其在中学数学中是至关重要的。1.4 有助于激发数学学习兴趣数形结合思想方法的运用就是将抽象，枯燥，难懂的数式与形象，直观，有趣的用形相结合，是学生不再仅对这一个个数值去思考问题，而是将与图形相联系，利用图形对学生思维的刺激，是学生对数学产生兴趣，逐渐领会到数学的乐趣，从而渐渐的喜欢上数学。此外，数形结合思想的运用还可以将抽象复杂的数学问题变得具体简单，是学生不
10、会感到数学问题是那样的难以解决，消除了其心理障碍，激发了起学习数学的兴趣，进而提高其数学成绩。2.数形结合思想在初中数学解题的应用2.1 应用数形结合思想解决不等式问题数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的完美结合。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数在数轴上对应的位置关系进行的（实数的大小也是如此） ，相反数，绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点） ，通过渗透数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则。例 1 实数 在数轴上的对应点如图 1 所示，比较 的大小
11、。ba, ba,解此题可直接赋予 特殊值，使问题简单化（从形到数转化） 。也可以利用相反数在,数轴上的位置关系在图中找到 对应的位置。利用数轴上点的位置与大小关系比较而ba,-得（从数到形转化） 。图 12.2 应用数形结合思想解决集合问题2.2.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题例 2 有 48 名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数，理，化小组的分别为28,25,15 同时参加数，理小组的有 8 人，同时参加数，化的有 6 人，同时参加理，化的有7 人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析：用圆表示集合，用 A,B,C 表示参加数理化小组的人数，则三圆的公共部分则正好表示同时参加数理
12、化的人数，用 n 表示集合元素的个数。图 2即 28+25+15-8-6-7-n（A B C）=48，则 n(A B C)=48-28-25-15+8+6+7=1，即同时参加数理化小组的有 1 人。例若集合 ， 且的 正 整 数是 小 于 0|xU,UA，试求 A 与 B。864)()(29)( ， BACU解：利用 Venn 图，把元素放入如图中相应位置，从而写出所求集合图 3921,752， BA2.2.2 利用数轴解决集合的有关运算和关系问题例 4 已知集合 ，求 的 BARaxBxA若),(3|,31| a取值范围分析：若 ，有如下图两种图形。B图 4解：由图 1 可知 ，由图 2 可
13、知 。因为 ，于3aaa3,31即 0,3a所 以是第三种情况不成立，故2.3 用一元二次函数的图象解决方程问题例 5：若关于 x 的方程 的两根都在-1 和 3 之间，求 k 的取值范围。032kx分析：令 ，则 的图像与 x 轴交点的横坐标就是方程f)(2)(f的解。)(xf解：由图可知，二次函数对称轴为 x=-k，要是二根都在-1 和 3 之间。图 5只需满足 可得-1k0，即0)(31kff )0,1(k例 6：求函数 的最小值。84122xxy分析：考察式子特点，从代数角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背景，仍用两点间距离公式，可化为 222222
14、 )0()()0()(841 xxx如图图 6令 ，则问题转化为在 x 轴上求一点 P )0,(2,)1,0(xPBA使 有最大值，由于 AB 在 x 轴同侧，故取 A 关于 x 轴的对称点（0，-1 ） ，故 BCP22min )1()()(2.4 数形结合思想在结局方成问题中的应用例 7： 为何值时，方程 的两根在（-1,1）之内？a0122axa分析：显然 ，我们可从已知方程联想到相应的二次函数02的草图。21xy图 7从图像上我们可以看出，要使抛物线与 x 轴的两个交点在（-1,1）之间，必须满足条件： 即 从而可解得 的取值范围为 或 且0)1(2ffa0)1(2a）（ a2a2a2
15、.5 利用几何图像解决函数问题例 8;求函数 的值域。2cosinxy分析：由 联想到直线的斜率 的形式，通过图像观察计算i12xyk可的结果。解： 表示过两点 的直线斜率。由于点 P 在2cosinxy )sin,(co),(PO，单位圆 上，所以 。设过点 的圆的切线方程12xBAkyPO，因为圆心到切线的距离为半径，所以0)(ky即 37437-4,374,374,374,12 ykPkk OBOA 所 以即解 得图 82.6 数形结合思想在解决三角函数问题中的应用例 9：已知 的图像与 y=k 有且仅有 2 个不同交2,0sini)(xxf点，求 k 的取值范围。分析： 2,sin03
16、)(xf其图像如图 图 9 2.7 数形结合思想在解决向量问题中的应用例 10：已知正六边形 ABCDEF，在下列表达式 ， ， ， 中，与 等价的有ECDBDB2EFFAD2CA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个分析：做出图像 图 10可知， ACEBCEDB2.8 数形结合思想在解决平面几何问题中的应用例 11：若点 M 是椭圆 上的点，它到右焦点 的距离为 3，N 为 M1962yx1F的中点，O 表示原点，则1FON分析：数形结合可以帮我们一目了然解：设左焦点为 ，则根据椭圆定义有2F由下图可知，ON 是5,3,42121 MFaMF所 以， 因 为 ，的中位线，所以 52O
17、N图 112.9 数形结合思想在解决立体几何问题中的应用例 12：如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB/平面 ，则正四面体上的所有点a在平面 内的射影构成的图形的面积的取值范围是。a分析：本题实际上是几何最值问题，恰当监理三角函数模型，是解决几何最值问题的常用方法。214 )450( 2121, ,/11 111， ，所 成 的 角 ，与 平 面为 的 面 积四 边 形 中 ，面 体所 求 的 射 影 图 形 。 正 四 为则 四 边 形上 的 射 影 为在设上 的 射 影在SaCDCDOSABSBAADCBAaBa图 12例 13：正方体 的 距 离 。到 平 面， 求的 棱 长
18、 为 111 BCAaDCBA分析：通过图像利用体积相等即可。图 13.3,213)2(213 1, 111 ahaha BACSBSBCVAB 得 出）（即 所 以因 为 的 距 离 为到 平 面解 ： 设 点3.应用数形结合思想的问题“数形结合”它直观，形象，可避免繁杂问题的计算，证明等，获取出奇制胜的解法。然而，图形虽然直观，形象，但它是一部分，而不是全部，甚至有些图形存在误差，会是最后的结果不准确，所以我们在作图时不能以点代面，不能简单地根据图形就获取答案。因此，在作图或画草图时要注意一些细节，用数形结合时要注意以下几个主要事项： 精确作图，避免聊操作图而导致的错误。 注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小。 注意仔细观察图像，避免漏掉一些可能的情形。数形结合在证明问题是要慎用。结束语数形结合思想方法作为中学数学中重要的一种数学思想方法，其有待研究得地方还有很多。通过研究使我们看到在教学过程中逐步渗透数形结合的思想，从而在解题时灵活充分的应用，让学生养成数形结合的良好习惯，使之成为学生分析问题和解决问题的工具。这样既能提高解题的效率，又能增强学生学习数学的兴趣。数学思想是数学的灵魂，而数形结合思想是中学数学最为重要的数学思想之一。但现在在数学教学过程中，有些教师往往忽略渗透数学思想，从某种意义上讲，我们怎样学习，用什么样的数学思想远比我们学习什么更重要。
