1、课 题 开 题 报 告班级：高二九班课题：数形结合在解题中的应用 组长：姜海斓 导师：于吉课题组成员：刘禹辛 李想选题背景：早在数学萌芽时期，人们在度量长度，面积，和体积的时候，就把数和形联系起来了。在我国宋元时期，系统的引进了几何问题代数化的方法，用代数式描绘某些几何特征，把图形之间的几何关系描绘成代数式之间的代数关系。17 世纪上半叶，法国数学家笛卡尔以坐标为桥梁，在点和数对之间，坐标与方程之间建立起对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不能解决的问题，如立方倍积，三等分任意角，化圆为方等问题，也终于借助代数方法得到圆满解决。即使在近代和现代的数学研
2、究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则。课题研究的目的和意义：数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来。数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合，通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性使问题化难为易，化抽象为具体，它包含以形助数和以数辅形两个方面。数形结合给我们解决问题能带来一个全新的思路,由形想数,利用数来研究形的各种性质寻求规律,可以从不同的角度培养思维的灵活性,简化解题的思路。运用数形结合思想解题,不仅直观易于寻找解题途径,而且能避免繁杂的计算
3、和推理,简化解题过程,在选择、填空中更显优越。课题计划：1、任务分工：李想：函数问题中数形结合的应用，刘禹辛：解析几何数形结合的应用姜海斓：方程与不等式中数形结合的应用折叠 2、活动步骤：分 两 阶段实施阶段 时间（周） 主要任务 阶段目标阶段一：整理 用时：一周主要任务：整理相关习题阶段目标：大体上明确数形结合在各类习题中可应用的方式。 阶段二：总结用时：一周主要任务：归纳出一般经验阶段目标：利用上一阶段整理习题，得到数形结合应用的共性。3、资料获取方式:(1) 查阅教材，教辅资料 (2) 在互联网上搜索 (3) 询问老师 4、课题研究所需的条件：(1) 整理足够量且典型的习题 (2) 尽可
4、能利用数形结合方法 课题研究过程中可能遇到的问题及解决措施.存在问题(1).找不到合适习题(2)题目差异大，无法总结经验解决措施（1）通过多种渠道搜寻题目（2）将题目分组整合预期的成果（论文、调研报告、制作模型、实验报告等）：借助于数精确性来阐明形的某些属性些几何问题，如果运用数与形结合的观点去考虑形向数转化，即用代数、三角、解析几何的方法去解决，解题方法变得容易寻找。这是因为某些几何问题，虽然图形较直观，但其已知条件和结论之间相距甚远，解题途径不易找到。特别是需要添加辅助线才能解决的那些问题。例 1、已知 ABCD 为正方形，在 BC 边上任取一点 E，连结 AE，AF 平分DAE 交 CD
5、 于 F。求证：AEBEDF分析这个题的几何证法之一是可延长 CB 到 H，使 BHDF，连结 A再证明EM 是等腰三角形，则两得 AEHEBEDE，然后这个题也可利用法来证明。例 2、已知实数 x、y 满足 3x4y10，求（x）（2）2 的最小值解（x2（y2）2 的几何意义是：点 x， ）到点（1，2）的距离 d 的平方而点（x， ）在直线 3x4y10 上移动，显然 d 的最小值是点（1，2）到直线3x4y10 的距离，31+42即 d4所以 d即（xD）2（2）的最小值为 4点评在本例中。充分利用了数序式的几何意义：（）2（2）是点（x， ）到点（1，2）的距离的平方：3x4y10
6、是点（x，y）的轨迹，这些几何意义起了“以形功数”的作用例 3 求函数 u246的最值由于等号右端根号内 1 是同次，作换元 m2：4 无法转换出一元二次函数求极值。若平方处理式子化，因此该问题用常规解法较复杂难解，注意到两根号同为 t 的根式两步换元。解令 x246则 x2y160x40y22）所给函数化为以u 为参数的直线 y xu 它与椭圆 x22y216在第一象限的部分（包括端点）有公共点，如图22，相切于第一象限时山最大比时方程组 y xux2+2y2=16得 3x4ux2u160 解0，得 u26 或 u2V6 ，又直线在第一象限，故 u2V6点评该题为一道用常规解法较难求解的题，但运用数形结合法则起到了事半功倍的效果运用了逻思维，计算与迁移能力以及化归与转化的思想数形结合有利于提高思维的深刻性，因此，数形结合不应仅仅作为方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想，作为数学知识的精髓，作为将知识转化为能力的“桥”来学习研究和掌握应用。要将数形结合法运用于解题教学和解题实践作为解题方法注:如篇幅不够,可以另加附页
