1、 4 数据的离 散程度 1 极 差 定义： 一组 数据 中的 最大 数据与 最小 数据 的差 叫做 这组数 据的 极差 ， 即 极差 最大 值 最小值 极 差反 映了 这组 数据的 波动 范围 谈重点 极差 (1)极差 是最简 单、 最便于 计算的一 种反 映数据 波动 情况的量 ，极 差能够 反映 一组数 据 的波动 范围 ；(2) 在对 一组 数据的 波动 情况 粗略 估计 时经常 用到 极差 ；(3) 极差 仅仅反 映了 数 据的波动 范围 没有提 供数 据波动的 其他 信息， 且受 极端值的 影响 较大；(4) 一 组数据的 极差 越小， 这组 数据 就越 稳定 【例 1 】 在 一次
2、 体检 中， 测得某 小组 5 名 同学 的身 高分别 是 170,162,155,160,168( 单 位：cm) ， 则这 组数 据的 极 差是_cm. 解析：根据 极差 的概 念， 用最大 值减 去最 小值 即可 ，170 155 15(cm) 答案：15 2 方 差 (1)定 义： 设 有n 个数 据x1 ，x2 ，x3 ， ，xn ， 各 数据 与它们 的平 均数 的差 的平 方分别 是 (x1 x ) 2 ，(x2 x ) 2 ，(x3 x ) 2 ， ，(xn x ) 2 ， 用它 们的平 均数 来衡 量这 组数 据的 波 动大小 ，并 把它 叫做 这组 数据的 方差 (2)方
3、差的 计算 公式 ：通 常 用 s 2 表示 一组 数据 的方 差 ，用 x 表示这 组数 据的 平均 数 s 2 1 n (x1 x ) 2 (x2 x ) 2 (x3 x ) 2 (xn x ) 2 (3)标 准差 ：标 准差 就是 方 差的算 术平 方根 谈重点 方差 (1)方差 是用来 衡量 一组数 据的波动 大小 的重要 的量 ，方差反 映的 是数据 在它 的平均 数 附近波动 的情 况；(2) 对于 同类问题 的两 组数据 ，方 差越大， 数据 的波动 越大 ，方差越 小， 数据的 波动越 小；(3) 一组 数据的 每一个 数据都 加上( 或减去) 同一个 常数 ，所得 的一组 新
4、数 据的方 差不 变；(4) 一 组数 据的每 一个 数据 都变 为原 来的 k 倍， 则所 得的 一组 新数据 的方 差 将变为 原数 据方 差 的k 2 倍 【例2 】 已知 两组 数据 分 别为： 甲：42,41,40,39,38 ； 乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5. 计算这 两组 数据 的方 差 解： x 甲 1 5 (42 41 40 39 38) 40 ， s 2 甲 1 5 (42 40) 2 (38 40) 2 2. x 乙 1 5 (40.5 40.1 4039.9 39.5) 40 ， s 2 乙 1 5 (40. 5 40) 2 (39.5 40) 2
5、0.104. 3 极 差与 方差( 或标 准差) 的异同 相同之 处： (1)都 是衡 量一 组数 据的 波 动大小 的量 ； (2)一 组数 据的 极差 、方 差(或标 准差) 越小 ，这 组数 据的波 动就 越小 ，也 就越 稳定 不同之 处： (1)极差 反映的 仅仅 是数据 的变化范 围， 方差(或标 准差)反映 的是数 据在它 的平 均数附 近波动 的情 况； (2)极差 的计算 最简 单，只 需要计算 数据 的最大 值与 最小值的 差即 可，而 方差 的计算 比 较复杂 【例3 】 已知 甲、 乙两 支 仪仗队 队员 的身 高如 下( 单 位：cm) ： 甲队：178,177,17
6、9,178,177,178,177,179,178,179 乙队：178,179,176,178,180,178,176,178,177,180 (1)将 下表 填完 整： 身高(cm) 176 177 178 179 180 甲队( 人数) 3 4 0 乙队( 人数) 2 1 1 (2)甲 队队 员身 高的 平均 数 为_cm ，乙 队队 员 身高的 平均 数为_cm ； (3)这 两支 仪仗 队队 员身 高 的极差 、方 差分 别是 多少 ？ 解：(1) 甲队 从左 到右分 别 填：0,3 ， 乙队 从左 到右 分 别填：4,2 ； (2)178,178 ； (3)经 过计 算可 知， 甲
7、、 乙 两支仪 仗队 队员 身高 数据 的极差 分别 为 2 cm 和 4 cm ，方 差 分别 是0.6 和1.8. 4. 运用 方差 解决 实际 问题 方差是 反映 一组 数据 的波 动大小 的统 计量 ， 通 过计 算方差 ， 可 以比 较两 组数 据的稳 定程 度，进 而解 决一 些实 际问 题 对于一 般两 组数 据来 说， 可从平 均数 和方 差两 个方 面进行 比较 ， 平 均数 反映 一组数 据的 一般水 平 ， 方 差则反 映一 组数据 在平 均数 左右 的波 动大小 ， 因此 从平均 数看 或从方 差看 ， 各 有长处 方差的 计算 可用 一句 话 “ 先平均 ， 再求 差
8、， 然后 平 方， 最后 再平 均 ”得 到的 结果表 示一 组数据 偏离 平均 值的 程度 方差 的单 位是 原数 据的 平方单 位， 方差 反映 了数 据的波 动大 小 ， 在实际 问题 中， 例如 长得 是否整 齐一 致、 是否 稳定 等都是 波动 体现 点技巧 方 差反 映波 动情 况 在实际 问题 中 ， 如 果出 现要 求分析 稳定 性的 问题 ， 因为 方差是 反映 数据 的波 动大 小的量 ， 所以一 般就 要计 算出 各组 数据的 方差 ，通 过方 差的 大小比 较来 解决 问题 【例 4】 某 工厂 甲、 乙两 名工人 参加 操作 技能 培训 现分 别从 他们 在培 训期
9、间参加 的 若干次 测试 成绩 中随 机抽 取 8 次 ，记 录如 下： 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 92 80 95 90 80 85 75 (1)请 你计 算这 两组 数据 的 平均数 、中 位数 ； (2)现要 从中选 派一 人参加 操作技能 比赛 ，从统 计学 的角度考 虑， 你认为 选派 哪名工 人 参加合 适？ 请说 明 理 由 解：(1) x 甲 1 8 (95 82 88 8193 79 84 78) 85， x 乙 1 8 (8392 80 95 90 808575) 85. 这两组 数据 的平 均数 都 是85.这 两组 数据 的中 位数
10、分 别为83,84. (2)派 甲参 赛比 较合 适 理 由如下 ： 由(1) 知 x 甲 x 乙 ， s 2 甲 1 8 (9585) 2 (82 85) 2 (8885) 2 (81 85) 2 (93 85) 2 (79 85) 2 (84 85) 2 (78 85) 2 35.5 ， s 2 乙 1 8 (8385) 2 (9285) 2 (8085) 2 (95 85) 2 (90 85) 2 (8085) 2 (85 85) 2 (75 85) 2 41 ， x 甲 x 乙 ，s 2 甲 s 2 乙 ， 甲的 成绩 较稳 定， 派甲 参赛比 较合 适 5运 用用 样本 估计 总体
11、的 思想解 决实 际问 题 统计学 的基 本思 想是 用样 本估计 总体 ， 它 主要 研究 两个基 本问 题： 一是 如何 从总体 中抽 取样本 ，二 是如 何通 过对 所抽取 的样 本进 行计 算和 分析， 从而 对总 体的 相应 情况作 出 推 断 用样本 估计 总体 是统 计的 基本思 想， 正像 用样 本的 平均数 估计 总体 的平 均数 一样， 考察 总 体方 差时 ，如果 所要 考察 的总 体包 含 很多 个体 ，或 考察 本身 带有破 坏性 ，实 际中 常常 用 样本的 方差 来估 计总 体的 方差 方 差是 反 映 已知 数据 的波动 大小 的一 个量 在 日常生 活中 ，有
12、 时只 用平 均数、 中位 数 和众数 难以 准确 地分 析一 组数据 时 ， 就 要用方 差来 评判 但 是并 不是方 差越 小越好 ， 要根 据 问题的 实际 情况 灵活 运用 数据分 析问 题， 作出 正确 的判断 注： 在 解决 问题 或决 策时 ， 应运 用统 计思 想， 搞清 楚特殊 和一 般的 关系 ， 具 体问题 具体 对待 全方 位、 多角 度地 分析与 评判 是关 键 【例 5】 某运 动队欲 从甲 、乙两名 优秀 选手中 选一 名参加全 省射 击比赛 ，该 运动队 预 先对这 两名 选手 进行 了 8 次测试 ，测 得的 成绩 如下 表： 次数 选手甲 的成 绩( 环)
13、选手乙 的成 绩( 环) 1 9.6 9.5 2 9.7 9.9 3 10.5 10.3 4 10.0 9.7 5 9.7 10.5 6 9.9 10.3 7 10.0 10.0 8 10.6 9.8 根据统 计的 测试 成绩 ， 请 你运用 所学 过的 统计 知识 作出判 断， 派哪 一位 选手 参加比 赛更 好？为 什么 ？ 解： x 甲 1 8 (9.6 9.7 10.6) 10.0 ， x 乙 1 8 (9.5 9.9 9.8) 10.0.s 2 甲 0.12 ，s 2 乙 0.102 5. 结果甲 、 乙 两选 手的 平均 成绩相 同，s 2 甲 s 2 乙. 乙 的方 差 小， 波 动就 小， 似乎 应该 选乙选 手参加 比赛 但是就 这个 问题而 言 ， 我 们不能 仅看 平均成 绩和 方差 就妄 下结 论 在这 里平 均 成绩和 方差 不是 最重 要的 ， 重 要的 是看 他们的 发展 潜力或 比赛 时的 竞技 状态 从 甲、 乙两 选 手的最 后四 次成 绩看 ， 甲 的状态 正逐 步回 升， 成绩 越来越 好， 而乙 明显 不如 甲的状 态好 所 以从这 个角 度看 ，应 选甲 选手参 加比 赛更 好
