1、课时作业 15 导数与函数的极值、最值基础达标一、选择题1函数 y 的最大值为( )ln xxAe 1 BeC e2 D.103解析：令 y 0，解得 xe. 当 xe 时，y0，所以 y 极大值 f(e) ，在定义域内只有一1e个极值，所以 ymax .1e答案：A2从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A12 cm 3 B72 cm 3C 144 cm3 D160 cm 3解析：设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm，则 x(0,5)，则 y(102x)(16 2x)x4x 352x 2160 x，所以
2、 y 12x2104 x160.令 y0，得 x2 或 (舍去)，203所以 ymax6122144(cm 3)答案：C32019山东省，湖北省部分重点中学质量检测已知函数f(x) xlnx x2x 有极值，则实数 m 的取值范围是( )m2A. B.(0，1e) ( ，1e)C. D.(0，1e ( ，1e解析：通解 f(x)xln x x2x，则 f(x)lnx mx.函数m2f(x)有极值，即 f( x)lnxmx 有变号零点，即函数 g(x)与函数 ym 在(0，)上的图象有交点(除去相切的情况)lnxx因为 g( x) ，所以 g(x)在(0，e) 上单调递增，在1 lnxx2(e，
3、)上单调递减，所以 g(x)maxg(e) ，画出函数lnee 1eg(x)的大致图象，如图所示，若 g(x) 与 ym 的图象有交点lnxx(除去相切的情况 )，则 m1 时，f (x)0，故 f(x)x lnxx 在 x1 处取得极值，符合题意，排除 A，C；当 m 时，f (x)1ex lnx x2x，f (x)lnx x，令 g(x)lnx x，则 g( x)12e 1e 1e ，当 00，当 xe 时，g(x)0 ，所以函数 f(x)在( ，1) 上单调递减，在( 1,2)上单调递增，所以当 x1 时，函数 f(x)取得最小值 .又当 x0 时，函数 g(x)在 2,2上单调递增，所
4、以函数 g(x)的值域为 2a 1,2a1，因为对任意的 x1 2,2，总存在唯一x0( ，2) ，使得 f(x0)g(x 1)，所以2a1,2a1 0,2e 2，所以Error!解得 0 时，f(x)0，f (x)单调递增12当 cosx ，f(x)有最小值12又 f(x)2sinxsin2 x2sin x(1cos x)，当 sinx 时， f(x)有最小值，32即 f(x)min2 .( 32) (1 12) 332答案：33282019山东淄博模拟已知函数 f(x)e x，g( x)ln ，x2 12对任意 aR，存在 b(0 ，)，使 f(a)g(b)，则 ba 的最小值为_解析：令
5、 ye a，则 alny，令 yln ，可得b2 12b2e y ，令 h(y) ba，则 h(y)2ey lny，h(y )12 122e y .显然， h( y)是增函数，观察可得当 y 时，12 1y 12h( y)0，故 h( y)有唯一零点故当 y 时，h(y)取得最小12值，为 2e ln 2ln2.12 12 12答案：2ln2三、解答题92018北京卷 设函数 f(x)ax 2(4a1)x 4a3e x.(1)若曲线 yf( x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行，求 a；(2)若 f(x)在 x2 处取得极小值，求 a 的取值范围解析：(1) 因为 f(x) ax2(4
6、 a1)x4a 3ex，所以 f(x) ax2(2a1)x2e x.所以 f(1)(1a)e.由题设知 f(1)0，即(1a)e0，解得 a1.此时 f(1)3e 0.所以 a 的值为 1.(2)由 (1)得 f( x)ax 2(2a1) x2e x( ax1)(x 2)e x.若 a ，则当 x 时，f (x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值若 a ，则当 x(0,2)时，x20.所以 2 不是 f(x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是 .(12， )102018 全国卷 已知函数 f(x) .ax2 x 1ex(1)求曲线 yf( x)在点(0，1) 处的切线方程；(2)证明：
7、 当 a1 时， f(x)e0.解析：(1) f(x) ，f (0)2. ax2 2a 1x 2ex因此曲线 yf(x)在(0，1)处的切线方程是 2xy10.(2)证明： 当 a1 时， f(x)e(x 2x1e x1 )ex .令 g(x)x 2x1 ex1 ，则 g(x)2x 1e x1 .当 x1 时， g(x)0 ，g(x)单调递增所以 g(x) g(1)0.因此 f(x)e0.能力挑战112018 全国卷 已知函数 f(x)ae xln x1.(1)设 x2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明： 当 a 时， f(x)0.1e解析：(1) f(x)的定义域为(0 ，)，f(x)ae x .1x由题设知，f(2)0，所以 a .12e2从而 f(x) exlnx1，f( x) ex .12e2 12e2 1x当 02 时，f (x)0.所以 f(x)在(0,2)上单调递减，在(2 ，) 上单调递增(2)证明： 当 a 时， f(x) ln x1.1e exe设 g(x) lnx 1，则 g( x) .exe exe 1x当 01 时，g(x )0.所以 x1 是 g(x)的最小值点故当 x0 时， g(x)g(1)0.因此，当 a 时，f(x)0.1e
