1、课时作业 15 导数与函数的极值、最值基础达标一、选择题1函数 y 的最大值为( )ln xxAe 1 BeC e2 D.103解析：令 y 0，解得 xe.当 xe 时，y 0，所以 y 极大值 f(e) ，在定 义域内只有一个极值，所以1eymax .1e答案：A2从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A12 cm 3 B72 cm 3C 144 cm3 D160 cm 3解析：设盒子容积为 y cm3，盒子的高 为 x cm，则 x(0,5)，则 y(102x)(16 2x) x4x 352x 2160x，所
2、以 y 12x2104x160.令 y0，得 x2 或 (舍去) ，203所以 ymax6122144(cm 3)答案：C32019山 东省，湖北省部分重点中学质量检测已知函数 f(x)x lnx x2x 有极值，则实数 m 的取值范围是( )m2A. B.(0，1e) ( ，1e)C. D.(0，1e ( ，1e解析：通解 f(x)xlnx x2x ，则 f(x)ln xmx.函数 f(x)有m2极值，即 f (x)lnx mx 有变号零点，即函数 g(x) 与函数 ymlnxx在(0 ， ) 上的图象有交点(除去相切的情况 )因为 g(x ) ，1 lnxx2所以 g(x)在 (0，e)上
3、单调递增，在(e，)上单调递减，所以 g(x)max g(e) ，画出函数 g(x)的大致图象，如图所示，若 g(x)lnee 1e与 ym 的图象有交点 (除去相切的情况) ，则 m1 时， f(x)0，故 f(x)xlnx x 在 x1 处取得极值，符合题意，排除 A，C；当 m 时， f(x)xlnx x2x ，f( x)ln x x，令1e 12e 1eg(x) lnx x，则 g(x ) ，当 00，当 xe 时，1e 1x 1eg( x)1 时，xf( x)0，所以 f(x)0，函数递增，所以当 x 1 时，函数取得极小 值当 x0，函数递增，当10，所以 f(x) 时，f(x)0
4、，f(x )单调递增12当 cosx ，f(x)有最小值12又 f(x)2sinx sin2x2sinx(1cosx )，当 sinx 时，f( x)有最小值，32即 f(x)min2 .( 32) (1 12) 332答案：33282019山 东淄博模拟 已知函数 f(x)e x，g( x)ln ，对任x2 12意 aR，存在 b(0，)，使 f(a)g(b) ，则 ba 的最小值为_解析：令 ye a，则 alny ，令 yln ，可得 b2e ，令 h(y)b2 12 1y2ba，则 h(y)2e lny，h(y)2e .显然，h( y)是增12 1y21y函数，观察可得当 y 时，h(
5、y) 0，故 h( y)有唯一零点故当 y12时， h(y)取得最小值， 为 2e ln 2ln2.12 1-212答案：2ln2三、解答题92018北京卷 设函数 f(x)ax 2(4a1) x4a3e x.(1)若曲线 yf( x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行，求 a；(2)若 f(x)在 x2 处取得极小值，求 a 的取值范围解析：(1) 因 为 f(x)ax 2(4 a1)x4a3e x，所以 f(x) ax2(2a1)x 2e x.所以 f(1)(1a)e.由题设知 f(1)0，即(1a)e 0，解得 a1.此时 f(1) 3e0.所以 a 的值为 1.(2)由(1)得
6、f( x)ax 2(2a1)x2e x(ax1)( x2)e x.若 a ，则当 x 时，f(x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值若 a ，则当 x(0,2)时，x 212 120.所以 2 不是 f(x)的极小 值点综上可知，a 的取值范围是 .(12， )102018全国卷 已知函数 f(x) .ax2 x 1ex(1)求曲线 yf( x)在点(0，1) 处的切线方程；(2)证明：当 a1 时，f(x )e0.解析：(1) f (x) ，f(0) 2. ax2 2a 1x 2ex因此曲线 yf(x )在(0，1)处的切线方程是 2xy 10.(2)证明：当 a1 时， f(x)e(
7、x 2x 1e x1 )ex .令 g(x)x 2x 1e x1 ，则 g(x) 2x1e x1 .当 x1 时，g(x)0，g(x) 单调递增所以 g(x) g(1)0.因此 f(x)e0.能力挑战112018 全国卷已知函数 f(x)ae xlnx1.(1)设 x2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a 时，f(x )0.1e解析：(1) f(x)的定义域为(0，)，f(x) aex .1x由题设知，f(2) 0，所以 a .12e2从而 f(x) exlnx 1，f(x) ex .12e2 12e2 1x当 02 时，f(x)0.所以 f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递 增(2)证明：当 a 时， f(x) lnx 1.1e exe设 g(x) lnx1，则 g(x ) .exe exe 1x当 01 时，g(x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值点故当 x0 时，g(x)g(1)0.因此，当 a 时， f(x)0.1e
