1、第四节 套利定价模型,资本资产定价模型是一个描述为什么不同的证券具有不同预期收益率的均衡模型，套利定价模型是斯蒂芬.罗斯（Stephen Ross）1972年提出建立的资产定价模型，从某种程度上来说它没有资本资产顶价模型那么复杂。套利实质利用一个或多个市场存在各种价格差异，在不冒风险或冒较小的风险情况下赚取较高收益率的交易活动。套利的基本形式空间套利时间套利工具套利风险套利税收套利,二、 单因子模型,引子若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数。假设：（1）证券的回报率仅仅取决于该指数的变化；（2）除此以外的因素是公司特有风险残余风险则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券回报
2、率为因变量的单因子模型。例如，GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。,例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关其中 =在给定的时间t，证券i 的回报率 =在同一时间区间，市场因子m的相对数 =截距项 =证券i对因素m的敏感度 =随机误差项，,因子模型回归,4%,通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列,其中：ft是t时期公共因子的预测值；rit在时期t证券i的回报；eit在时期t证券i的特有回报ai零因子bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子载荷（factor loading）,（a）,为简单计，只考虑在某个特定的时
3、间的因子模型，从而省掉角标t，从而（a）式变为,并且假设,（b）,假设(1)：因子f具体取什么值对随机项没有影响，即因子f与随机项是独立的，这样保证了因子f是回报率的唯一因素。若不独立，结果是什么？假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于它们具有共同因子f所致。如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。,对于证券i，由（b）其回报率的均值（期望值）为,其回报率的方差,因子风险,非因子风险,对于证券i和j而言，它们之间的协方差为,（c）,单因子模型的优点,单因子模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计量和计算量
4、。假定分析人员需要分析n种股票，则均值-方差模型：n个期望收益，n个方差， (n2-n)/2个协方差单因子模型：n个期望收益，n个bi，n个残差 ，一个因子f方差 ，共3n1个估计值。若n50，前者为1325，后者为151。,单因子模型具有两个重要的性质,风险的分散化分散化导致因子风险的平均化分散化缩小非因子风险,假设残差有界，即,且组合p高度分散化，即wi充分小，则对于资产i成立,则有,从而,1、模型的推导,独立,现考虑有三种资产组成的资产组合，其收益率为,要使这个资产组合为无风险资产组合，则必有,由无套利假设此时必有,三、两因子定价模型,线性无关，,将（1）（3）结合在一起得,由于上式有非
5、零解，故矩阵一定是非退化矩阵，第一行可由第二行和第三行线性表出，于是有,即有,其即两因素模型下的套利定价模型,亦即,考虑一个充分分散化的组合，这个组合对第一个因素且有单位因子敏感性，对第二个因素的敏感性为0，这样的组合称为纯因素组合。称：1）对一个因素具有单位敏感性，2）对其他任何因素都无敏感性。3）非因素风险为0 为一个纯因素组合。,2、模型的解释,有三个证券组合资产X、Y、Z，客观估计期望收益率Ri，i=1，2，3。如下表,比较发现：,故可以通过卖出适当的比例的资产的X和Z，并买入资产Y来构成套利机会。下面来构造套利组合。设资产组合的改变量为,一个例子,解：利用（4）试计算三种资产在无套利
6、条件下的期望收益率为,故存在套利机会,则有,解得,原组合的预期收益率为,新组合的预期收益率为,原组合对因素的风险为：,对因素2的权重系数为：,故新组合为（0，1，0）,对因素1的权重系数为：,对因素1的权重系数为：,对因素2的权重系数为：,故资产组合调整之后的风险没有改变，但预期收益率却增加了25%-19.67%=5.33%，为一套利组合。,新组合对因素的风险为：,例题 基于单因素模型，设无风险收益率为6%，一个具有单因素敏感性的投资组合期望收益率为8.5%。考虑具有下列特征的两种证券的一个投资组合：,根据套利定价理论，该组合的均衡期望收益率是多少？,1、资本市场是完全竞争的、无摩擦的、无限可
7、分,其中,5、证券市场不存在渐进套利机会,四、多因子定价模型,对所有k，i，j成立。N表示证券市场中的个数。,（一）、因素模型的5个假设条件,4、市场有充分多的资产,注：市场存在渐进套利机会是指，存在一个渐进套利组合序列,条件1：,条件2：,条件3：,说明：条件1相当于不增加资本，条件2相当于邮政的收益，条件3相当于没有风险。,满足下列条件,（二）、含残差风险多因素模型的套利定价,证明 将,以及,现构造一资产组合,其中,该资产组合的收益率,故期望收益率为,同理，可以算出组合收益的方差,现假设定理的结论不成立，,这既表示该资产组合是一个渐进套利机会。因此必有,证毕,注 （6）式给出了定价公式，由（7）式知，对大多数证券有如下的近似定价公式,事实上，若将误差的大小按单调递减排列，有,五、APT与CAPM,假设因子模型为单因子模型，且市场组合M可以完全分散化，有,有,从表面上看，（8）式与CAPM的定价公式,定义 完全分散化资产组合是一正的净投资资产组合序列的极限，其权重满足,表示证券i 的非因素风险。,是一样的，但这个模型的内在经济含义存在很大的差别。CAPM的定价公式是在均衡市场的条件下得到的，而线性定价模（8）式在无套利条件下得到的。,
