1、平面向量公式设 a=（x，y） ，b=(x，y)。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x，y+y)。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为 0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y). 4、数乘向量 实数 和向量 a 的乘积是一个向量，记作 a，且a=a。 当 0 时，a 与 a 同方向； 当
2、 0 时，a 与 a 反方向； 当 =0 时，a=0 ，方向任意。 当 a=0 时，对于任意实数 ，都有 a=0。 注：按定义知，如果 a=0，那么 =0 或 a=0。 实数 叫做向量 a 的系数，乘数向量 a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。 当1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（ 0）或反方向（0）上伸长为原来的倍； 当1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（ 0）或反方向（0）上缩短为原来的倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a)b=(ab)=(ab) 。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a. 数对于向量的分配律（第二分配律）：(a
3、+b)=a+b. 数乘向量的消去律： 如果实数 0 且 a=b，那么 a=b。 如果 a0 且 a=a，那么=。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量 a,b。作 OA=a,OB=b,则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作a,b并规定 0a,b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作 ab。若 a、b 不共线，则ab=|a|b|cosa ，b ；若 a、b 共线，则 ab=+-a b。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy。 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律） ； (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律 )； （a+b)c=ac+bc（分配律） ；
4、 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方。 ab =ab=0。 |ab|a|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。 3、|ab|a|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b。 4、向量的向量积 定义：两个向量 a 和 b 的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作 ab。若 a、b 不共线，则 ab 的模是：ab=|a|b|sin a，b ；ab 的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、b 和 ab按这个次序构成右手
5、系。若 a、b 共线，则 ab=0。 向量的向量积性质： ab是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。 aa=0。 ab=ab=0。 向量的向量积运算律 ab=-ba； （a）b= （ab）=a （b） ； （a+b）c=ac+bc. 注：向量没有除法， “向量 AB/向量 CD”是没有意义的。 向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b； 当且仅当 a、b 反向时，左边取等号； 当且仅当 a、b 同向时，右边取等号。 2、a-ba-b a+b。 当且仅当 a、b 同向时，左边取等号； 当且仅当 a、b 反向时，右边取等号。 定比分点 定比分点公式（向量 P1P=向量 PP2） 设 P1、P2
6、 是直线上的两点，P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点。则存在一个实数 ，使 向量 P1P=向量 PP2， 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比。 若 P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y) ，则有 OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分点向量公式） x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。 （定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2 的定比分点公式 三点共线定理 若 OC=OA +OB ,且 +=1 ,则 A、B 、C 三点共线 三角形重心判断式 在ABC 中，若 GA +GB +GC=O,则 G 为ABC 的重心 编辑
7、本段 向量共线的重要条件 若 b0，则 a/b 的重要条件是存在唯一实数 ，使 a=b。 a/b 的重要条件是 xy-xy=0。 零向量 0 平行于任何向量。 编辑本段 向量垂直的充要条件 ab 的充要条件是 ab=0。 ab 的充要条件是 xx+yy=0。 零向量 0 垂直于任何向量.平面向量易错点湖南 周友良 周芬在平面向量的复习中，首先要掌握其基本概念与运算如果不能正确理解向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识，就会造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下，望同学们引起注意一、对两向量夹角的定义理解不清而致错例 在边长为 1 的正三角形 中
8、，求 的值ABCBCA错解： cos60cos60cos60ABC132分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合向量 与 ， 与 ，ABCA与 的夹角通过平移后发现都不是 60，而是 120这是由于对两向量夹角的定CAB义理解不透造成的正解： cos120cos120cos120ABCABCBACB11322注意：向量 与 的夹角为锐角的充要条件是 且 与 不共线这里， 与abAaba不共线不能忽略 b二、对向量的数量积理解不透彻而致错例 2 向量 、 都是非零向量，且向量 与 垂直， 与 垂3+74ab7直，求 与 的夹角错解：由题意，得 ，(3)7)0Aa+b，()70Aab将、展开并相
9、减，得 ，246= ，故 ，12=将代入，得 ，ab则 ，设 与 夹角为 ，则 ab21cosAba ， 018 60分析：上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由得到，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上由于向量的数量积不满足消去律，所以即使 ，也不能随便约去b正解：设向量 、 的夹角为 ，由上面解法有 ，代入式、式均可得ab2Aab=，则 ，2a 1cos2Aab又 ， 0 60三、混淆点的坐标与向量的坐标而致错例 3 判断 的形状： ， ， ABC (12)(35)B(2)C错解： ， ，1()253090，(3)520 为钝角三角形ABC分析：把点的坐标误认为向量的坐标，得出错误的结论事实上，由点的坐标可以确定有关向量的坐标，再通过计算向量的数量积，精确判断出三角形的形状正解： ， ，(64)(23)B ， 20CACAB故 为直角三角形B总之，对平面向量基本概念的理解要正确、全面、到位，除上面分析的几个易错点外，还要注意向量垂直的概念是针对两非零向量而言的，明确向量平行与线段平行的区别等问题复习时要从正反两方面透彻分析，达到从本质上把握的目的
