1、1、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量 a,b。作 OA=a,OB=b,则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作a,b并规定0 a,b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作 ab。若 a、b 不共线，则ab=|a|b|cosa ，b ；若 a、b 共线，则 ab=+-ab。 向量的数量积的坐标表示：a b=xx+yy。 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律） ； (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b) c=ac+bc（分配律） ； 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方。 ab = a b=0。 |ab|a|b|。 向量的数量积与实数运算的主
2、要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a b)ca(bc)；例如： (ab)2a2b2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。 3、|ab| |a|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b。 2、向量的向量积 定义：两个向量 a 和 b 的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作 ab。若 a、b 不共线，则 ab 的模是： ab=|a|b|sina，b ；a b 的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、b 和ab 按这个次序构成右手系。若 a、b 共线，则 ab=0。 向量的向量积性质： ab是以 a 和 b 为边的平行四边形面积
3、。 aa=0。 ab=a b=0。 向量的向量积运算律 ab=-ba； （a）b=（a b）=a （b） ； （a+b）c=ac+bc. 注：向量没有除法， “向量 AB/向量 CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、a- ba+ba+b； 当且仅当 a、b 反向时，左边取等号； 当且仅当 a、b 同向时，右边取等号。 2、a- ba-ba+b。 当且仅当 a、b 同向时，左边取等号； 当且仅当 a、b 反向时，右边取等号。 4、定比分点 定比分点公式（向量 P1P=向量 PP2） 设 P1、P2 是直线上的两点，P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点。则存在一个实数 ，使 向
4、量 P1P=向量 PP2， 叫做点 P 分有向线段 P1P2所成的比。 若 P1（x1,y1)，P2(x2,y2) ，P(x,y)，则有 OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分点向量公式） x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。 （定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2的定比分点公式 5、三点共线定理 若 OC=OA +OB ,且 +=1 ,则 A、B、C 三点共线 三角形重心判断式 在ABC 中，若 GA +GB +GC=O,则 G 为ABC 的重心 向量共线的重要条件 若 b0，则 a/b 的重要条件是存在唯一实数 ，使 a=b。 a/b 的重要条件是 xy-xy=0。 零向量0平行于任何向量。 向量垂直的充要条件 ab 的充要条件是 ab=0。 ab 的充要条件是 xx+yy=0。 零向量0垂直于任何向量.
