1、离心率的五种求法第 1 页 共 10 页离心率的五种求法椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 10e1e1e一、直接求出 、 ，求解ac已知圆锥曲线的标准方程或 、 易求时，可利用率心率公式 来解决。cac例 1：已知双曲线 （ ）的一条准线与抛物线 的准线重合，则该双曲线的离心12yax0axy62率为（ ）A. B. C. D. 233263解：抛物线 的准线是 ，即双曲线的右准线 ，则 ，xy62212cax 0232c解得 2c， ， ，故选 D3a3ace变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为 、 ，则其离心率为（ ）0,1F,32A. B. C. D. 42 41解：由
2、 、 知 ， ，又椭圆过原点，0,1F,32cc ， ， ， ，所以离心率 .故选 C.ca2a121ace变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D 363解：由题设 ， ，则 ， ，因此选 C2ac2ace变式练习 3：点 P（-3，1）在椭圆 （ ）的左准线上，过点 且方向为12byx0P的光线，经直线 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）5,2ayA B C D 33221解：由题意知，入射光线为 ，关于 的反射光线（对称关系）为 ，351xyy 052yx则 解得 ， ，则 ，故选 A0532ca3acace二、构造
3、、 的齐次式，解出根据题设条件，借助 、 、 之间的关系，构造 、 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 的bc e一元方程，从而解得离心率 。e离心率的五种求法第 2 页 共 10 页例 2：已知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形1F212byax0,ba21F，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）1MA. B. C. D. 34313解：如图，设 的中点为 ，则 的横坐标为 ，由焦半径公式1FP2c， aexPp1即 ，得 ，解得cc202ac（ 舍去），故选 D3ae1变式练习 1：设双曲线 （ ）的半焦距为 ，直线 过 ， 两点.已知原点12byaxb
4、a0cL0,ab,到直线的距离为 ，则双曲线的离心率为( )c43A. B. C. D. 2 232解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，L0abyx cba42又 , ,两边平方，得 ，整理得 ，22bac234c422316ca0164e得 或 ，又 ， ， ， ，故选2e2ba01222bce 22A变式练习 2：双曲线虚轴的一个端点为 ，两个焦点为 、 ， ，则双曲线的离心率M1F2021M为（ ）A B C D 326363解：如图所示，不妨设 ， ， ，则b,00,1cF,2，又 ，221cMF2在 中， 由余弦定理，得 ,21 211221cosMF离心率的五
5、种求法第 3 页 共 10 页即 ， ， 22241bcc 212cb ， ， ， ， ，故选 B22ab12a23a3e26e三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若 为等腰直角1F2 P21F三角形，则椭圆的离心率是_。解： 1221 cPcace四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右准线为 ，若过2byax0,b1F1l且垂直于 轴的弦的长等于点 到 的距离，则椭圆的离心率是 .1F1Fl解：如图所示， 是过 且垂直于 轴的弦， 于 ， 为 到准线 的距离，根据椭ABx1lADA1F1l圆
6、的第二定义， 211De变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 ，则该椭圆的21离心率为（ ）A B C D 22214解： 12DFe五、构建关于 的不等式，求 的取值范围e例 5：设 ，则二次曲线 的离心率的取值范围为（ ）4,0 1tancot22yxA. B. C. D. 21,1,2另：由 ， ，得 ， ,tancot2yx4,0tan2cot2b ,cott22b 22 t1tacoce离心率的五种求法第 4 页 共 10 页 ， , ， ，故选 D4,01cot22e例6：如图，已知梯形 中， ，点 分有向线段 所成的比为 ，双曲线过 、AB
7、CD2EACC、 三点，且以 、 为焦点当 时，求双曲线离心率 的取值DE43e范围。解：以 的垂直平分线为 轴，直线 为 轴，建立如图所示的直角坐标系yABx，则 轴.因为双曲线经过点 、 ，且以 、 为焦点，由双曲线xoyCCDB的对称性知 、 关于 轴对称依题意，记 ，D0,c， ，其中 为双曲线的半焦距， 是梯形的高hc,20,yxEABc21h由定比分点坐标公式得 ， ，设双曲线的方程为 ，则10cx10y 12byax离心率 ，由点 、 在双曲线上，所以，将点 的坐标代入双曲线方程得 aceCEC42hc将点 的坐标代入双曲线方程得 E 112422bhac再将 、得 ， ace2
8、bhe2e11242将式代入式，整理得 ， ，由题设 得：242e 231e43，解得 ，所以双曲线的离心率的取值范围为431322e10710,7离心率的五种求法第 5 页 共 10 页配套练习1. 设双曲线 （ ）的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线 的准线重12byax0,ba3xy42合，则此双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 241yx196482yx132yx1632x2已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ）A B C D3323已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）12byax xy34A B C D 534524在给定椭圆中，过
9、焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为 A B C D 222145在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 ，则该双曲线的离心21率为（ ）A B C D 22226如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以1F2 12byax0,baABO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ 1OABF2）A B C D 3525137. 设 、 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点， 是其右准线上纵坐标为1F212byax0aP离心率的五种求法第 6 页 共 10 页（ 为半焦距）的点，
10、且 ，则椭圆的离心率是（ ）c3PF21A B C D 211528设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ，使 ，且1F2 12byax A0219F，则双曲线离心率为（ ）213AA B C D 521021559已知双曲线 （ ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线2byax,baF06的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D ,1,1,2,210椭圆 （ ）的焦点为 、 ，两条准线与 轴的交点分别为 、 ，若2byax0a1F2xMN，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）1FMNA B C D2,02,01,21,2离心率的五种求法
11、第 7 页 共 10 页答案：1.由 3,ca21可得 3,6,3.abc故选 D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， ，椭圆的离心率 32cea，选 D。3.双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得2445,33bcea可 得,故选 A4.不妨设椭圆方程为21ya（ab0） ，则有221ac且，据此求出 e 25.不妨设双曲线方程为2x（a0，b0） ，则有22b且，据此解得 e ，选 C6.解析：如图， 1F和 2分别是双曲线 )0,(12arx的两个焦点， A和 B是以 O为圆心，以1O为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 ABF2是等边三角形，连接 AF1，AF 2F1=30，|A
12、F1|=c，|AF 2|= 3c， (31)ac，双曲线的离心率为 31，选 D。7.由已知 P（ ,） ，所以 22)(2c化简得 202aceca8.设 F1，F 2 分别是双曲线 21xyab的左、右焦点。若双曲线上存在点 A，使F 1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，设 |AF2|=1，|AF 1|=3，双曲线中 122|aAF，12|0cAF， 离心率 0e，选 B。9.双曲线2(,)xyab的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ba， ba 3，离心率 e2=22cab 4， e2，选
13、 C离心率的五种求法第 8 页 共 10 页10.椭圆21(0)xyab的焦点为 1F， 2，两条准线与 x轴的交点分别为 MN， ，若2|MNc， 12|Fc， 12MN ，则 ac，该椭圆离心率 e 2，选 D椭圆离心率 的求法e1.椭圆方程 的右焦点为 ,过 的直线 与椭圆 相交于 两点，直线 的01:2bayxCFlCBA,l倾斜角为 60， ,求椭圆的离心率？（焦半径公式 ， 的应用左加FBA 11exaP22exaF右减，弦长公式 ）为 直 线 的 斜 率kxd,122.椭圆方程 的右焦点为 ,其右准线与 轴的交点为 ,在椭圆上存在点 满足0:2bayxCFxAP线段 的垂直平分线
14、过点 ,则椭圆的离心率的范围？ （焦准距 的应用）APFcb23.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于 的二元二次ca,方程 解法）022pcnam4.已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴上的一个端点，线段 的延长线交 于 ,且 ,则FCBBFCDFB2的离心率为？ （相似三角形性质：对应边成比例 的应用）5.过椭圆 的左焦点 ,右顶点为 ,点 在椭圆上，且 轴，直线 交01:2bayxFAxA轴于点 ，若 ，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用）yPBA6.过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 , 为右焦点，若01:2bayxC1xP2F，则椭圆
15、的离心率为？（椭圆焦三角形面积 ）6021F )(tan212bS7.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质 的应用）2cb8.椭圆 的离心率为?（椭圆基本性质 的应用）142yx 22ca9.椭圆 的焦点为 ，两条准线与 轴的交点为 ，若 ，0:2baC21,FxNM, 21F则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质 的应用）2cba离心率的五种求法第 9 页 共 10 页10.设 分别是椭圆 的左、右焦点，若在其右准线上存在点 ，使线段21,F01:2bayxC P的中垂线过点 ，则椭圆的离心率的取值范围是？ （焦准距 ；垂直平分线性质：垂直平分线上的1P2
16、 cb2点到线段两端距离相等；三角形性质：两边之和大于第三边 应用）11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为？2（通径 ，焦准距 ）ab2c212.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，若椭圆上存在点 P 使01:2bayxC21,F，则该椭圆的离心率的取值范围是？（正弦定理 ，1221sinsiFPca RCcBbAa2sinisin第一定义 ）a13.在平面直角坐标系中， 为椭圆的四个顶点， 为其右焦点，直线 与直线 相交21,BAF21F1于点 ，线段 与椭圆的交点 恰为线段 的中点，则该椭圆的离心率为？TOMOT（直线方程交点坐标）14.
17、在 中， .若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率为？（余ABC187cos,A, C弦定理 ，第一定义）Aba2215.已知正方形 ，则以 为焦点，且过两点 的椭圆的离心率为？（通径 ）DB, DC, ab216.已知椭圆的焦距为 ，以点 为圆心， 为半径作圆 。若过点 作圆 的两条切线相互c2OaM0,2caPM垂直，则该椭圆的离心率为？（基本性质）17.已知 分别是椭圆的左、右焦点，满足 的点 总在椭圆的内部，则椭圆离心率的21,F021F取值范围是？（圆周角:圆直径所对的圆周角等于 90）18.过椭圆左焦点 且倾斜角为 的直线交椭圆于 两点，若 ，则椭圆的离心率为?60BA, F
18、B23（焦半径公式，弦长公式 ）21xk19.已知椭圆的短轴长为 6，焦点到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆的离心率为？20.椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为？21.已知椭圆的短轴的上下端点分别为 ，左右焦点分别为 ，长轴右端点为 ，若21,B21,FA离心率的五种求法第 10 页 共 10 页，则椭圆的离心率为?（向量坐标加减）022BFA22.若以椭圆 的右焦点 为圆心， 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两01:2bayxCFa点，则该椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距 ）c223.已知点 ， 为椭圆 的左准线与 轴的交点，若线段的中点 在椭圆bA,0B01:2bayxCxC上，则该椭圆的离心率为？24.若斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点，且这两个交点在 轴上的2l:2byax x射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为？（通径 ）ab225.已知 两点分别是椭圆的左顶点和上顶点，而 是椭圆 的右焦点，若 ，则椭圆 的BA, FC0BFAC离心率为？（两直线垂直，有 ）121k
