1、一、椭圆离心率的1、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线 L 交 OA 于 B，P 、Q 在椭圆上，PD L 于D， QFAD 于 F,设椭圆的离心率为 e，则e= e= e= e= PF PD QF BF AO BO AF BAe= FO AODB F OBBBAPQ评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。AO=a,OF=c,有；AO=a,BO= 有。a2c题目 1：椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 、F 2 ，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形x2a2 y2b2的两边，则椭圆的离心率 e？BAF2F
2、1思路：A 点在椭圆外，找 a、b、c 的关系应借助椭圆，所以取 AF2 的中点 B，连接 BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造F 1BF2分析三角形的各边长及关系。解：F 1F2=2c BF 1=c BF 2= c3c+ c=2a e= = -1 3ca 3变形 1：椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 、F 2 ，点 P 在椭圆上，使OPF 1 为正三角形，求椭圆离心x2a2 y2b2率？ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2 F2F22解：连接 PF2 ,则OF 2=OF 1=OP,F 1PF2 =90图形如上图，e= -1 3变形 2: 椭圆 + =1(ab 0)的两
3、焦点为 F1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1 X 轴，x2a2 y2b2PF2 AB,求椭圆离心率？ BAF2F1PO解：PF 1= F 2 F1=2c OB=b OA=ab2aPF2 AB = 又 b= PF1 F2 F1 ba a2-c2a 2=5c2 e=点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关 a 与 c 的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目 2：椭圆 + =1(ab 0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，ABF=90，求 e?x2a2 y2b2FBA O解：AO=a OF=c BF=
4、a AB= a2+b2a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以 a2 e2+e-1=0 e= e= (舍去)变形：椭圆 + =1(ab 0)，e= , A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求ABF？x2a2 y2b2点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类 e= 的椭圆为优美椭圆。性质：1、ABF=902、假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公
5、式，列出有关 e 的方程式。题目 3：椭圆 + =1(ab 0)，过左焦点 F1 且倾斜角为 60的直线交椭圆与 AB 两点，x2a2 y2b2若F 1A=2BF 1,求 e?解：设BF 1=m 则AF 2=2a-am BF 2=2a-m在AF 1F2 及BF 1F2 中，由余弦定理得： 两式相除 = e=a2 c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c) ： 2a-c2a+c 1223题目 4：椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、F 2 (c,0)，P 是以F 1F2为直径的圆与椭圆的x2a2 y2b2一个交点，且PF 1F2 =5PF 2F1 ,求 e?分析
6、：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理： = = F1F2sin F1PF2 F1Psin F1F2P PF2sin PF1F2根据和比性质：= F1F2sin F1PF2 F1P + PF2sinF1F2P+sin PF1F2变形得： = = F1F2 PF2 + F1P sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2= =e2c2aPF 1F2 =75PF 2F1 =15 e= =sin90sin75+sin15点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2变形 1：椭圆 + =1(ab 0)的两焦
7、点为 F1 （-c，0） 、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且F 1PF2 =60，x2a2 y2b2求 e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设F 1F2P=，则F 2F1P=120-e= = =sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2 sin60sin +sin(120- ) e0) F1F2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）x24 y24t2设PF 1F2 =,PF 2F1 = 若 b 0)，斜率为 1，且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点， + 与x2a2 y2b2 OAOA OBOB =(3,-1)共线，求 e?
8、aa B(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一：设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2y=x-c )(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2= y1+y2= -2c=2a2ca2+b2 2a2ca2+b2 -2b2ca2+b2+ =(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则 OAOA OBOB -（x 1+x2）=3(y 1+y2)既 a 2=3b2 e= 法二：设 AB 的中点 N，则 2 = + ONON OAOA OBOB - 得：=- 1=- (-3) 既 a2=3b2 e=y1-y2x1-x2 b2a2x1 +x2y1+y2
9、 b2a2四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目 6：椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、F 2 (c,0)，满足 1 2 =0 的点 M 总在椭圆x2a2 y2b2 MFMF MFMF 内部，则 e 的取值范围？F2MF1 O分析： 1 2 =0以 F1F2 为直径作圆，M 在圆 O 上，与椭圆没有交点。 MFMF MFMF 解：c2c2 0b 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、F 2 (c,0)，P 为右准线 L 上一点，F 1P 的垂直平x2a2 y2b2分线恰过 F2 点，求 e 的取值范围？MPF2F1 O分析：思路 1,如图 F1P 与
10、F 2M 垂直，根据向量垂直，找 a、b、c 的不等关系。思路 2：根据图形中的边长之间的不等关系，求 e解法一：F 1 （-c，0） F 2 (c,0) P( ,y0 ) M( , )a2c y02既( , ) 则 1 =-( +c, y0 ) b22c y02 PFPF a2c2 =-( -c, ) 1 2 =0 MFMF b22c y02 PFPF MFMF ( +c, y0 ) ( -c, )=0a2c b22c y02( +c)( -c)+ =0a2c b22c y022a2-3c20 eb0)，F 1、F 2 是两个焦点，对于给定的角 ， 探2byax 0求在 C 上存在点 P，使
11、 的条件。1尽量让学生得到：存在点 P 的条件可相应得到： 。(B 为椭圆短轴的一个端点)21B设计意图：要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练。问题 2：怎样改动，使上面不是一个错题？改动一：P 是椭圆 上的点，F l，F 2 是椭圆的焦点，若 ，则1452yx 621PF的面积等于_。21F改动二：P 是椭圆 上的点，F l，F 2 是椭圆的焦点，若 ，则142yx 321的面积等于_。21问题 3：改动的依据是什么？（ ,B 为短轴的一个端点）2121BP设计意图：自己编题，体会题目如何来，要考什么。题 4：若 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且 ，1F2 )0(2bay
12、xP21PF求椭圆的面积。解：设 ， ，由余弦定理得mP1n2 2212 4coscFmn由椭圆定义得 a由得： cos1cs)(22bntanii12221SPF 性质三：若 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且12 )0(2byxP，则 。21 tan21bSPF继续看题 2：已知 、 是椭圆 的两个焦点，椭圆上一点 使12 )0(12byx，求椭圆离心率 的取值范围。9021Fe思路二：利用焦点三角形性质，从面积角度考虑不妨设短轴一端点为 B则 2245tan1 bSPF bcSBF2121 bc22c2ae故 e1当然，若用公式去解同学们编制的题目，将是易如反掌的。如果把图形特殊
13、化，使 PF1F 1F2,我们可以得到：性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为 。ab2题 5：已知椭圆 ： 的右顶点为 ，过 的焦点且垂直长轴的弦1C21(0)yxab(1,0)A1C长为 求椭圆 的方程；1这就是 09 年浙江省高考理科试题。展示评分标准。设计意图：从高考角度出现，进一步体现实用价值。问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。【课堂测试】1.已知 12F、 是椭圆2:1(0)xyCab的两个焦点， p为椭圆 C上的一点，且12P。若 12P的面积为 9，则 . 9（09 上海）
14、2.已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值120MF范围是（ C ） （09 江西）A B C D(0,1)1(0,2(,),1)3.已知椭圆 的两个焦点分别为 , , 为椭圆上一点,且 ,则2)xya1F2P1260FP的值等于 12|PF4（选做）设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点，21(0)xba 12A，原点 到直线 的距离为 证明 ；21AO1AF13Oab椭圆中焦点三角形的性质及应用20090423定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正( 余 )弦定理、内角和定理、面
15、积公式等 .一焦点三角形的形状判定及周长、面积计算例 1 椭圆 上一点 到焦点 的距离之差为 2，试判断 的形状.126yxP21,F21FP解：由椭圆定义： .3|,5|.|,8| 212121 F又 ，故满足： 故 为直角三角形.4|21,| P性质一：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 中),0(12bayx ,21F21FP则 。,21PFtn21bSPF性质二：已知椭圆方程为 左右两焦点分别为 设焦点三角形 ，),0(12bayx ,2121若 最大，则点 P 为椭圆短轴的端点。21证明：设 ,由焦半径公式可知： ，)(oyx oexaF1 oexaPF1在 中，21F212
16、csP 21224)( cPF=)(44221 ooexabFca 2oxebxa0xo性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为 ab2性质四：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 中),0(12bayx ,21F21FP则,21PF.cose证明：设 则在 中，由余弦定理得：,21r21PF124)(cos 2121 rcarc命题得证。.2121)2(12 eacrca（2000 年高考题）已知椭圆 的两焦点分别为 若椭圆上存在一点)0(2byx ,21F使得 求椭圆的离心率 的取值范围。,P,102Fe简解：由椭圆焦点三角形性质可知 即 ,.210cos21e
17、于是得到 的取值范围是e.,3性质五：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 ，),0(12bayx ,21F21FP则椭圆的离心率 。,1221FPsin)(e,1221由正弦定理得： sini)80sin( 12PFo由等比定理得： si)i(2121PF而 ，)sin()sin(21cFsinin21a 。iace已知椭圆的焦点是 F1(1，0) 、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且F 1F2是PF 1和PF 2的等 差中 项 (1)求椭圆的方程；(2)若点 P 在第三象限，且 PF 1F2120，求 tanF1PF2解：(1)由题设 2F 1F2PF 1PF 22a，又 2c2
18、，b 3椭圆的方程为 14yx(2)设F 1PF2 ，则PF 2F160 椭圆的离心率e则 ，)60sin(23)60sin(12si8ooo整理得：5sin (1cos )3 故 ，tan F1PF2tan 5cos1in52tan1352圆锥曲线中（椭圆离心率）的基本范围问题1. 已知点 在椭圆 内， 是椭圆的两个焦点， 求 的范围. P21xy2,F12PF F FP QF FPPQP 2FFa故 1222. 已知点 在椭圆 上， 是椭圆的两个焦点，求点 位于何处P)0(12bayx12,FP时 最大？（焦点三角形两个基本关系？）12F解：设 ，在 中， ，1212F2214cosPcF
19、因为 ，所以 ，12PFa2214aA即 ，而 ，所以 的最小值是21cosbPF2112PFacos在 时取得（ 在 上是减函数） ，即点 P 为椭圆短轴上的顶点.12acos0,3. 已知椭圆 上， 是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点 使)(12byx12,FP，求椭圆离心率的范围.012FP解法一： 解 ，由上题 ， 12221cos1bPFa所以 ， . 故 202cosba32e3,2e解法二：设 ，则 ， ，则 ； 0,Pxy10x0ax210PFaex在 中， ，即 ，因为 12F2214cosFPc212b0，所以 ， ， ，又 故 .24ba234c32e0e3,4. 已知椭
20、圆 的长轴两端点为 、 ，如果椭圆上存在点 ，使)(12byx ABQ求椭圆离心率的范围。 ,0AQB tan3b1,365. 已知椭圆 上， 是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点 使)0(12bayx12,FP，求椭圆离心率的范围.14PF解法一：设 ，则 ， ，0,Pxy10PFaex20PFaex由 得 . 而 ，所以 ，故124F05035,1解法二：由 及 21xyab2216xcyxcy即 220及 即 xcy2220axcayc联立解得 ，余同上.5ae6. 已知椭圆 与 轴正向交于点 ，若这个椭圆上总存在点 ，使)0(12byxxAP（ 为原点） ，求离心率 的范围。0APOe
21、cAOPPF FOA设 ，由 ，得 ，即 ： .,Pxy0AP,0xya220xay又因为 ，所以 ，21ab22ab所以 分解因式，得 22320x， 所以 或 22xabaxa22bac因为 ，所以 ，即 所以 .P2c2c12e变式：垂直关系改为 0061或7. 设双曲线 21(0,)xyab的右顶点 ， 轴Ax 上 有一点，若双曲线上存在点 ，使 ，则双 曲线的离心率的取值范围是 (2,0)QaPAQ61,2解：以 AQ 为直径的圆与双曲线还有除 A 外的公共点，联立 、 ，224axy21xyab联立解得 此方程一根为 （对应点 A 的横坐标） ，由韦达定理另一根224230abxa
22、b为 ，所以222ca8. 已知点 F 是双曲线 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直)0,(12byax于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范e围是（ ）A(1，) B ； C D )2,1()21,()21,(解：因为ABE 是等腰三角形，故只要 045FE即可. 所以 ，1FE即 ，得 2bac2e另解：因为 ，考察结论考虑取 时ABE 的形1ee 状，再根据 的变化与双曲线的形状间的关联做出选择.9. 设点 是双曲线 与圆 在第一象限的交点，,Pxy21(0,)xyab22xyab是双曲线的左、右焦点，且 ，则双曲线的离心率为 12,F123PF1010. 过双曲线 的左焦点 ，作圆 的切线，21(0,)xyab(,0)c224axy切点为 E，延长 FE 交曲线右支于点 P，若 ，则双曲线的离心率为 12OEFP102； 21PFa，23PFa
