1、1 微积分常用公式及运算法则 常用三角公式 ： sin 2 2sin cos = ； 2 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin = = = 22 tantan 21 tan a = ； 2cos12sin2 = ； 2cos12cos2 += ； cos1cos12tan2+= ； sincos1cos1sin2tan=+= ； 22 tansin 21 tan= + ； 221 tancos 21 tan=+ ； 22 tantan 21 tan= ； 2 2sin cos 1 + = 2 21 tan sec + = 2 21 cot csc + = 积化和差
2、： ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1sin cos sin sin21cos sin sin sin21sin sin cos cos21cos cos cos cos2 = + + = + = + = + + 和差化积 ： sin sin 2sin cos2 2sin sin 2cos sin2 2cos cos 2cos cos2 2cos cos 2sin sin2 2 + + = + = + + = + + = 集合的并 、交、余运算律 ： 交换律 , ;A B B A A B B A= = 结合律 ( ) ( ),( ) ( );A B C A B CA B
3、 C A B C= 分配律 ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( );A B C A B A CA B C A B A C= 对偶律 ( ) ,( ) ;c c cc c cA B A BA B A B= 初等函数 ： 双曲正弦 、余弦 、正切 及运算 sinh ( )2x xe ey x y= = ， sinhtanh ( 1 1)coshx xx xx e ey x yx e e= = = 对有理分式函数在无穷大处的极限，有当 时当当当0 00 00 0lim ( ) , lim ( ) , ( )lim ( ) lim ( )u u x xx x u uf u A u x u u
4、x uf u x f u A = = = =设 且则 重要极限 ： 0sinlim 1 sin tan 0,2xx x x x xxpi = 当 时函数连续性 ： 00lim ( ) ( )x x f x f x = 导数 定义 ： 0 0( ) ( )( ) lim limx xy f x x f xf xx x + = = 00( ) ( ) |x xf x f x = = 求导公式 ： 122222( ) 0,( ) ,( ) ln( )1(ln )1(log )ln(sin ) cos(cos ) sin(tan ) sec(cot ) csc(sec ) sec tan(csc )
5、csc cot1(arcsin )11(arccos )11(arctan )1(arx xx xaCx xa a ae ex xx x ax xx xx xx xx x xx x xxxxxx x = = = = = +ii21ccot )1x x= +3 (sinh ) cosh(cosh ) sinhx xx x= 微分公式 ： 122d( ) 0d ,d( ) d ,d( ) ln dd( ) d1d(ln ) d1d(log ) dlnd(sin ) cos dd(cos ) sin dd(tan ) sec dd(cot ) csc dx xx xaC xx x xa a a xe
6、 e xx xxx xx ax x xx x xx x xx x x = = 2222d(sec ) sec tan dd(csc ) csc cot d1d(arcsin ) d11d(arccos ) d11d(arctan ) d11d(arccot ) d1d(sinh ) cosh dd(cosh ) sinh dx x x xx x x xx xxx xxx xxx xxx x xx x x= = = += +=ii求导法则 ： 2( )( )( )( )( ) ( )1( )( )u v u vu v u vuv u v uvuvw u vw uv w uvwu u v uvv
7、vx y y f xf x y + = + + = + = + = + + = = = = 设 ，它的反函数是 ，则 有d d dd d dy y ux u x= i链式求导法则： ( ) ( )ln ( )ln ( )( ) ( )( )ln ( )( )v xy u xy v x u xxy v x u xv x u xy u x= = +对数求导法则：求幂指函数 的导数时 ，可先取对数，得 ，然后两端对 求导，得参数方程求导 ： ( )( )dd d d ( )ddd d d ( )dx ty tyy y t ttxx t x tt= = = =i若对参数方程 求导，则 有高阶导数 ：
8、( )( )1( )( )( )( ) ( 1)( ) ( ) ( )( )2 2 1 1( ) !1 ( 1) !( )(sin ) sin 2(cos) cos 2( 1)!ln(1 ) ( 1) 1(1 )( )1 ( 1) ! 1 12 ( ) ( )n nn nnx n xnnn nnn n nn nn nx nnx xe enx xnxnx xxu v u vnx a a x a x apipi + += = = = + = + + = + = + = + 当( ) ( ) ( )0( )nn k n k knkuv C u v= 4 微分定义 ： d ( ) ( )dy f x
9、x f x x = = 微分求近似值 （线性逼近或一次近似 ）： 00 0 000 0 0d( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )y yx x xf x x f x f x xx x xf x f x f x x x = + + = + + 令 得， 常用一次近似式 ： 1;sin ;tan ;(1 ) 1 ;ln(1 ) ;xae xx xx xx axx x + + 拉格朗日定理 ： ( ) , , ( , ),( , )( ) ( ) ( )( )f x C a b f D a ba bf b f a f b a = 若 并且那么至少存在一点 ， 使 柯西中值定理 ： , ,
10、 , , ( , ), ( , )( ) 0, ( , )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f g C a b f g D a b a bg x a bf b f a fg b g a g =若 并且 在 内那么至少存在一点 ， 使 泰勒中值定理 ： 0120 0 0 0 0( )0 0( 1)100( ) ( , )( 1) ( , )( , )1( ) ( ) ( )( ) ( )( )2!1 ( )( ) ( )!( )( ) ( ) ,( 1)!( )nn nnnnnnf x x a bn f D a bx a bf x f x f x x x f x x xf x x x
11、R xnfR x x xnR xx x+ = + + + + += +如果函数 在含 的某个开区间内具有 阶导数，即 ，那么对于 ，有其中称为拉格朗日余项，这里 是 与 之间的某个值拉格朗日中值公式 ： 0 00( ) ( ) ( )( )nf x f x f x x= + 当 时，泰勒公式就是拉格朗日中值公式 ：麦克劳林公式 ： 0 00 (0 1)xx x = = += +不定积分线性运算法则 ( ) ( )d ( ) d ( ) du x v x x u x x v x x + = + 不定积分的换元法 1( )( ) ( ) ( )d ( )d( )d ( ) ( )du xt xf
12、x x x f u uf x x f t t t = = = 6 积分公式 ( )2 22 22 2 22 22 22 22 22 2d 1 arctand arcsind 1 arcsin ( 0, 0)d 1 ln2sec d ln | sec tan |csc d ln | csc cot |d ln ( 0)d ln | |x x Ca x a ax x Caa xx bx C a bb aa b xx x a Cx a a x ax x x x Cx x x x Cx x x a C ax ax x x a Cx a= += += + = + += + += += + + + +=
13、+ +不定积分的分部积分法 d dd duv x uv u v xu v uv v u = = 或定积分 牛顿 -莱布尼茨公式 , , ( ) ( )( ) d ( ) ( ) ( )b baaf C a b F x f xf x x F b F a F x= =如果函数 函数 是的一个原函数，那么 ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) d ( ) ( ) ( ) ( )xxf t x xf t x f x x f x x = 设函数 连续,函数 及 可导, 则定积分的换元法 , . ( )(1) ( ) , ( ) , ( , ) , ( , ) , ;(2) , ( , )( )
14、d ( ) ( ) dbaf C a b x xa b a ba bC Cf x x f t t t = = = 设函数 如果函数 满足 ：且或或那么：0 , ,( )d 2 ( )d ; , ,( )d 0a aaaaf C a af x x f x xf C a af x x = = 若 并且为偶函数， 则若 并且为奇函数， 则 2 20 020 02 20 0(sin )d (cos ) d(sin )d (sin ) dsin d cos dn nf x x f x xxf x x f x xx x x xpi pipipipi pipi= 定积分的分 部积分法 d dd db bba
15、a ab bbaa auv x uv vu xu v uv v u = = 2 20 0sin d cos d(2 1)! 2 ),(2 )! 2(2 2)! 2 1)(2 1)!n nx x x xm n mmm n mmpi pipi= = = i (当(当1, 2,3,m = 定积分的几何应用 平面图形的面积 ： 1.直角坐标情形 1 22 1( ) ( ), ( ) ( )dbaf x y f x a x bA f x f x x = 平面图形 的面积 为2.极坐标情形 20 ( ),1 ( ) d2A = 曲边扇形 的面积 为7 体积 1.旋转体的体积 20 ( ), ( ) dba
16、y f x a x b xV f x xpi = 曲边梯形 绕 轴旋 转一周所成的旋转体的体积为 2.平行截面面积为已知的立体的体积 ( )( )dbax a x b xA xV A x x= = 加在过点 和 且垂直于 轴的两个 平面之间、且平行面面积为 的立体体积 为 平面曲线的弧长 1. 直角坐标情形 2( )( )1 dbay f x a x bs y x= = +曲线弧段 的长度 为2. 参数方程情形 2 2( ),( )( )( ), ( )( )( ) ( ) dx t ty tx t y t ts t t t = = = = +曲线弧曲线弧段 的长 度 2 22 22 2202
17、 21( )4 1 sin dx y a ba bs a t ta bapi+ = = =椭圆 的周长其中 为椭圆的离心 率3. 极坐标情形 2 2( )( )( ) ( ) ds = = +曲线弧段 的长度 为函数的平均值 算术平均值 ： 1 ( )dbay f x xb a= 加权平均值 ： ( ) ( ) d( ) dbabaf x w x xfw x x= 均方根平均值 ： 21 ( )dbaf t tb a 反常积分 0000( ) d lim ( )d( ) d lim ( ) d( ) d ( ) d ( )dlim ( )d lim ( )dba abb baabaa bf x
18、 x f x xf x x f x xf x x f x x f x xf x x f x x+ + + += += + 微分方程 1可分离变量的微分方程 ： ( ) d ( )dg y y f x x= 2一阶线 性微分方程 ： 00 00( )d ( )d0( )d ( )d0d ( ) ( )d( ) d|( ) dx xx xP x x P x xx xP x x P x xxxy P x y Q xxy e Q x e x Cy yy e Q x e x y=+ = = + = = + 的通解初值问题： 3齐次型方程 ： ddd d,d dd ( )dy yx xy y yu u x
19、x x xyu x xx = = = + =如果方程可以化为这种形式：引入新的未知函数 得代入原方程可得：可分离变量。8 4可化为齐次型的方程 ： 1 11 1 11 1 1 1 11 1 11 1d ,d, ,d d ,d d ,d ( )d ( )0 ,0dd,a by ax by cx a x b y c a bx X h y Y kx X y YY aX bY ah bk cX a X bY a h bk cah bk c h ka h bk cY aX bYX a X bYX x h Y y k+ += + += + = += =+ + + +=+ + + + + = + + =+=
20、+= = 方程： 其中令：有代换后得：令 ，可解出因此就可化为齐次型方程得到该方程的通解后，令 即可得原方程通解 。5伯努利方程 111d ( ) ( ) ,( 0,1)dd ( ) ( ).dd d, (1 )d dd (1 ) ( ) (1 ) ( )dy P x y Q x yxyyy P x y Q xxz yz y yx xz P x z Q xxz y + = + = = + = =形如：方程两端同除以 ，得令 则 ，代入得一阶线性方程 ，求出通解后，令 ，代入得原方程通解 。6 ( )y f x= 型的方程 ( ) 1 2( )( )d dy f xy f x x x C x C
21、= + + 在 两端逐次积分得 ：7 ( , )y f x y = 型的方程 11 2d,d( , ),( , )( , )dpy p y pxp f x px py p x Cy x C x C = = = = = +设 则 ，可化方程为：这是关于 的一阶微分方程，若通解为 ：可通过积分得通解8 ( , )y f y y = 型的微分方程 1 121d d d d,d d d dd ( , ).d,( , ) d ( , )dd( , )p p y py p y px y x ypp f y pyy py p y C y y C xy x Cy C = = = = = = +i设 则方程可化
22、为：这是关于 的一阶微分方程，若通解 为，即分离变量两边积分，可得原方程通解 ：9二阶常系数齐次线性微分方程 1 2121 21 21 21 21 21,21 20(1) 0(2)(3)(i)(ii)( )(iii) i( cos sin ).r x r xr xxy py qr pr qr rr ry C e C er ry C C x ery e C x C x + + =+ + = += += = +求 的通解的步骤：写出方程的特征方程： ；求出特征方程的两个根 与 ；根据根的不同情况，按下列规则写出通解 ：若有两个不等实根 与 ，则若有两个相等实根 ，则若有一对共轭复根 ，则10n 阶
23、常系数齐次线性微分方程 ( ) ( 1) ( 2)1 2 11 21 21 2 10, , , .0n n nn nnn n nn ny p y p y p y p yp p pr p r p r p r p + + + + + =+ + + + + =其中 都是常数特征方程为： 单根 ： 1 2(1)(2) i( cos sin )rxxrCere C x C x = +若实根是 ，给出一项通解：若是共轭复根 ，给出两项通解：重根 ： 9 11 211 211 2(1): ( )(2)2 ( ) cos( )sin rx kkx kkkkk rk e C C x C xk r ik e C
24、C x C x xD D x D x x + + += + + + + + +若 重实根 ，给出 项若 重共轭复根 ，给出 项：11二阶常系数非齐次线性微分方程 I ( ) ( ) . ( )xmmf x P x eP x x m=其中 是常数， 是 的一个 次多项 式 *222( )( )( ) ( ) ( )0 00 10 2.xmk xmm my py q P x ey x Q x eQ x P x mr pr q kr pr q kr pr q k + + =+ + = =+ + = =+ + = =方程具有形如： 的特解，其中 是与 同次 次 的多项式 ，则当不是 的根， ；是 的单
25、根， ；是 的重根，II( ) ( )cos ( )sin ( ) ( ).xl nl nf x e P x x P x xP x P x xl n = +其中 、 是常数， 、 分别是 的次、 次多项式* (1) (2)(1) (2) ( )cos ( )sin ( )cos ( )sin ( ) ( ) max , .i ( i )01.xl nk xm mm my py qy e P x x P x xy x e R x x R x xR x R x m m l nkk + + = += +=+ =方程：具有形如：的特解，其中、 是 次多项式，当 或(1)不是特征方程的根时， ，(2)是特征方程的单根时，
