1、同济二版 微积分 (下 ) 1 微 积 分 公 式 等价无穷小 ： 20 ,sin tan arcsin arctanln(1 ) 1;1 cos ;2(1 ) 1 ( 0);1 ln ( 0, 1).xaxxx x x x xx exxx ax aa x a a a+ + 当 时基本积分表 1222222d ( 1 , d )d 11 d ln | |1 d arctan11 d arcsin1cos d sinsin d cos1 d sec d tancos1 d csc d cotsinsec tan d seccsc cot d csk x kx C k x x Cxx x Cx x
2、 Cxx x Cxx x Cxx x x Cx x x Cx x x x Cxx x x x Cxx x x x Cx x x+= + = = += += += += += += += = += = += += 时c x C+ dd ( 0, 1)lnsinh d coshcosh d sinhx xxxe x e Caa x C a aax x x Cx x x C= += + = += +不定积分线性运算法则 ( ) ( )d ( )d ( )du x v x x u x x v x x + = + 不定积分的换元法 1( )( ) ( ) ( )d ( )d( )d ( ) ( )du
3、xt xf x x x f u uf x x f t t t = = = 积分公式 ( )2 22 22 2 22 22 22 22 22 2d 1 arctand arcsind 1 arcsin ( 0, 0)d 1 ln2sec d ln | sec tan |csc d ln | csc cot |d ln ( 0)d ln | |x x Ca x a ax x Caa xx bx C a bb aa b xx x a Cx a a x ax x x x Cx x x x Cx x x a C ax ax x x a Cx a= += += + = + += + += += + + +
4、 += + +不定积分的分部积分法 d dd duv x uv u v xu v uv v u = = 或定积分的换元法 , . ( )(1) ( ) , ( ) , ( , ) , ( , ) , ;(2) , ( , )( ) d ( ) ( ) dbaf C a b x xa b a ba bC Cf x x f t t t = = = 设函数 如果函数 满足 ：且或或那么：同济二版 微积分 (下 ) 2 0 , ,( )d 2 ( )d ; , ,( )d 0a aaaaf C a af x x f x xf C a af x x = = 若 并且为偶函数， 则若 并且为奇函数， 则
5、2 20 020 02 20 0(sin )d (cos )d(sin )d (sin )dsin d cos dn nf x x f x xxf x x f x xx x x xpi pipipipi pipi= 定积分的分部积分法 d dd db bbaa ab bbaa auv x uv vu xu v uv v u = = 1, 2,3,m = 第五章 向量代数与空间解析几何 向量的运算 1向量的加法 ( ) ( )a b b aa b c a b c+ = + + = + +arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowright
6、nosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp 2向量与数的乘法 （数乘 ） ( ) ( )( )( )a aa a aa b a b =+ = + = +arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp 3不等式 | | | | | | |
7、| | |a b a b a b +arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp 4单位向量 | |aaea=arrowrightnosparrowrightnosparrowrightnosp 空间两点间的距离公式 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )PP x x y y z z= + + 向量的坐标表示 1 1 1 1 2 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1( , , ) , ( , , )( , , )M x y z
8、 M x y zM M x x y y z z= combarrowextendercombarrowextendercombarrowextendercombarrowextendercombarrowextendercombarrowextenderarrowrightnosp以点 为起点 为终 点的坐标 方向角与方向余弦 2 2 22 2 2: cos ,cos ,cos| | | | | | | .:cos cos cos 1(cos ,cos ,cos )yx zx y zaaa aa a aa a a ae = = = + + + =arrowrightnosp arrowrigh
9、tnosp arrowrightnosparrowrightnosparrowrightnosp方向余弦其中方向余弦满足向量的投影 ,Prj | | cos( )ba ba a barrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp向量 在 上的投影 记 为 向量的模 2 2 2( , , )| |x y zx y za a a aa a a a= + +arrowrightnosparrowrightnosp向量 的模 为向量的数量积 （点积 、内积 ） | | | co
10、sa b a b =arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp 0 0 0a a = =arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp | | Prj | | Prj:Prj | |a baaa b a b b aa bb e ba = = = arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp
11、 arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp即 ( , , ) ( , , )x y z x y z x x y y z za b a a a b b b a b a b a b = = + +arrowrightnosp arrowrightnosp 2| |( )( ) ( ) ( )a a aa b b aa b c a b a ca b a b = = + = + = arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp
12、arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp2 2 2 2 2 2cos ( 0 )| | |( , , ), ( , , ),cosx y z x y zx x y y z zx y z x y za ba ba ba a a
13、a b b b ba b a b a ba a a b b b pi= = =+ +=+ + + +arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp向量 与 的夹角满足公式其中若 则 同济二版 微积分 (下 ) 3 ( , , ), ( , , ),0x y z x y zx x y y z za a a a b b b ba b a b a b a b= = + + =arrowrightnosp arrowr
14、ightnosparrowrightnosp arrowrightnosp若 则的充要条件是向量的向量积 ( ), ,( ) | | | | | | sin ( )( ) , , ,a b a ba bi a b a b a bii a b a b a b a b = = arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp
15、arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp设 和 是两个向量 规定 与 的向量积是 一个向量 记作 它的模与方向分别是 :其中同时垂直于 和 并且 符 合右手法则.0 0 00( )( ) ( ) ( )a b b aa aa aa b c a c b ca b a b = = = =+ = + = arrowrightnosp arrowrightnosp arrowri
16、ghtnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightn
17、osp0a b a b =arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnospparallelto 的充要条件是 ( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xy z x yz xy z x yz xx y zx y za ba b a b i a b a b j a b a b ka a a aa ai j kb b b bb bi j ka a ab b b= + + = + +=arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arr
18、owrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp两向量的向量积的几何意义 ( ) :| | | | | sin | | ( | | sin ),| |( ) :.i a ba b a b a h h ba b a bii a ba b a b = = =arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrigh
19、tnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp的模由于所以 表示以 和 为邻边的平行四边形的面积.的方向与一切既平行于 又平行于 的平面垂 直向量的混合积 ( )y z x yz xx y zy z x yz xx y zx y zx y za b ca a a aa ac c c
20、b b b bb ba a ab b bc c c = + +=arrowrightnosp arrowrightnosp arrowrightnosp abc bca cab= =arrowrightnosparrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosparrowrightnosp , ,0x y zx y zx y za b ca a ab b bc c c=arrowrightnosp arrowrightnosp arrowright
21、nosp三向量 共面的充要条件 是平面的方程 1点法式方程 0 0 0 00 0 0( , , ) ( , , )( ) ( ) ( ) 0M x y z n A B CA x x B y y C z z= + + =arrowrightnosp过点 且以 为法向 量的平面 的方程为 2一般方程 0( , , ) , , , , ,( , , )0,0,0,0,0,0,0,Ax By Cz DA B Cx y z A B Cn A B CA xB yC zDA B zB C xC A y+ + + = = = =arrowrightnosp三元一次方程不同时为零 的图形是平面 其中的系数 是平
22、面的法向量的坐 标即 是平面的法向量.特殊的平面：平行于 轴的平面；平行于 轴的平面；平行于 轴的平面；过原点的平面；垂直于 轴的平面；垂直于 轴的平面；垂直于 轴的平面.平面的夹角 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2| |cos| | |n n A A B B C Cn n A B C A B C + += =+ + + +combarrowextenderarrowrightnosp combarrowextendercombarrowextenderarrowrightnospcombarrowextenderarrowrightnosp
23、combarrowextendercombarrowextenderarrowrightnosp 同济二版 微积分 (下 ) 4 1 21 2 1 2 1 21 1 12 2 20A A B B C CA B CA B C + + = =平面 和相互垂直的充要条件是 :相互平行的充要条件是 :点到平面的距离 0 0 0 00 0 02 2 2( , , ) 0| |:P x y z Ax By Cz DAx By Cz DdA B C+ + + =+ + +=+ +点 到平面的距离为 直线的方程 1 参数方程 0 0 0 0000( , , ) ( , , ).M x y z s m n pL
24、x x tmy y tnz z tp= + = + = +arrowrightnosp过 且以 为方向向 量的直线 的方程为 2 对称式方程 （点向式方程 ） 0 0 0 00 0 0( , , ) ( , , ).M x y z s m n pLx x y y z zm n p= = =arrowrightnosp过 且以 为方向向 量的直线 的方程为 3 一般方程 1 1 1 1 12 2 2 2 21 21 1 1 12 2 2 21 1 12 2 2: 0: 0( , , ) , , , :0,0.LAx B y C z DA x B y C z DM x y z L x y zAx
25、B y C z DA x B y C z DA B CA B C + + + = + + + = + + + = + + + = =直线 可以看作两个平面与的交线.空间一 点在直线 上 当且仅当它的坐标同时满足 与 的方程 的下面的直线方 程其中 不成立两直线的夹角 1 21 1 1 1 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 21 1 1 2 2 2( , , ), ( , , ), :| |cos| | |L Ls m n p s m n ps s m m n n p ps s m n p m n p= = + += =+ + + +arrowrightnos
26、p arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp直线 与 的方向向量分别是则夹角公式 为 1 21 2 1 2 1 21 1 12 2 20L Lm m n n p pm n pm n p+ + = =直线 和相互垂直的充要条件是 :相互平行的充要条件是 :直线与平面的夹角 2 2 2 2 2 2( , , ), ( , , ), :| | | |sin| | |Ls m n p n A B Cn s Am Bn Cpn s A B C m n p= = + += =+ + + +arrowri
27、ghtnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp直线 与平面 法线的方向向量分别是则夹角公式为 ;0.LA B Cm n pAm Bn Cp= =+ + =直线 和平面相互垂直的充要条件是 :相互平行的充要条件是 :旋转曲面 ( )( )2 22 22 22 2( , ) 0, 0;( , ) 0, 0.C f y z zy x y C zf x y zf y z y zx z C yf y x z= + + = + + =若在曲线 的方程 中 保持不变 而将 改写成 就得到曲线 绕
28、 轴旋转而成的曲面的方程若在 中 保持不变而将 改写成就得到曲线 绕 轴旋转而成 的曲面的方程二次曲面图形及方程 1椭球面 同济二版 微积分 (下 ) 5 2 2 22 2 2 1sin cossin sincos0, , 0, 2 x y za b cx ay bz c pi pi+ + = = = 其中2抛物面 （ 1）椭圆抛物面 2 22 22cossin0,2 , 0, )x y za bx av uy bv uz vu vpi+ = = = = +其中（ 2）双曲抛物面 2 22 22 2( )( )4,x y za bx a u vy b u vz uvx auy bvz u vu
29、 v = = + = = = = = R或3双曲面 （ 1）单叶双曲 面 2 2 22 2 2 1cosh coscosh sinsinh, 0, 2 x y za b cx a u vy b u vz c uu v pi+ = = = R（ 2）双叶双曲面 2 2 22 2 22211cos1sin( , 1 1, ), 0,2 x y za b cx a u vy b u vz cuu v pi+ = = = = + 4椭圆锥面 2 2 22 2 2cossin0, 2 ,x y za b cx av uy bv uz cvu vpi+ = = = R第六章 多元函数微分学 偏导数的几何意
30、义 ( )( )0 00 0 000 00 0 00( , )( , ), , , ( , ),;( , )( , ), , , ( , ),xyf x yz f x y M x y f x yy yxf x yz f x y M x y f x yy yy= = =偏导数 在几何上表示曲线 在点 处 的切线对 轴的斜率偏导数 在几何上表示曲线 在点 处 的切线对 轴的斜率.全微分 ( , ) ( , ), ( , ) ,:( , ) ( , ) ,x yz f x y D x yf x ydz f x y dx f x y dyz zdz dx dyx y= + = + 若函数 在区域 内每
31、一点处都可微 则 在每点处连续且可偏 导其全微分为或复合函数的求导法则 1复合函数的中间变量均为一元函数 同济二版 微积分 (下 ) 6 ( ), ( ) ,( , ) ( , ) , ( ), ( ) , :u t v t tz f u v u vz f t t tdz z du z dvdt u dt v dt = = = + 如果函数 都在点 可导函数 在对应点 具有连续偏导 数则复合函数 在点 可导 且有 2复合函数的中间变量均为多元函数 ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ), ( , )( , ) , :,u x y v x y x yz f
32、u v u vz f x y x yx yz z u z vx u x v xz z u z vy u y v y = = = + = + 如果函数 都在点可微 函数 在对应点 具有连 续偏导数 则复合函数 在点 可微 且有 3复合函数的中间变量既有一元函数 ，又有多元函数。 ( , ), ( , ), ( ) ( , ), ( ), ( , ), , :,z f x y x s t y tz f s t t z x yzz f xs x sz f x f dyt x t y dt = = = = = + 设 复合成二元 函数 并且函数 在对应点具有连续偏导数 复合函数 可微 且有 对隐函数求
33、导 1 0 00 0 0 0 0 00 0( , ) ( , ) ,( , ) 0, ( , ) 0, ( , )( , ) 0 ( ),( ), .yxyF x y x yF x y F x y x yF x y y f xFdyy y xdx F= = = = 设 在 附近具有连续的一阶偏 导则在 的附近 ,方程 一定可确定一隐函数且满足2 (1)0 0 0 0 0 00 0 0(1)0 0 00 0 0( , , ) ,( , , ) ( , , ) 0,( , , ) 0, ( , , ) 0,( , , )( , ), ( , ), .zyxz zF x y z Cx y z F x
34、 y zF x y z F x y zx y z Cz z x y z z x yFFz zx F y F = = = = = 设三元函数 在区域 内是 类函 数点 且满足则方程 在点的某领域内唯一确定了一个 类的二元函数 它满足条件且有3 ( , , , ) 0 ( , )( , , , ) 0 ( , )00,x u vx u vF x y u v u u x yG x y u v v v x yu vF F Fx xxu vG G Gx xu vx x= = = = + + = + + = 方程组对 求导解出方向导数 0 00 00 00 00 0 0 0( , )0 0 0 0( ,
35、)0 0( , ) ( , ) ,(cos ,cos ), ( , )( , ) ,( , )cos ( , )cos .,( , ) | ( , ) | cos( , )lx yx ylx yz f x y x ye f x yx y lf f x y f x ylf f x y e f x ylf x y e = = + = = arrowrightnosparrowrightnosparrowrightnosparrowrightnosp设函数 在点 可微 则对于任 意单位向量 函数 在点沿方向 的方向导数存在 且有或利用梯度 得其中 是 与 的夹角.梯度 0 0 0 00 0 0 0(
36、 , ) grad ( , )( , ) ( , )x yf x y f x yf x y i f x y j = +arrowrightnosp arrowrightnosp 曲线的切平面与法向量 1 同济二版 微积分 (下 ) 7 ( )0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) 0,( , , ) , ( , , ), ( , , ), ( , , ),( , , ) ,( , , ), ( , , ), ( , , )x yzx y zF x y zM x y z F x y zM F x y z F x y zF x y z
37、 Mn F x y z F x y z F x y z =arrowrightnosp设曲面 的方程为点 如果函数在点 处可微 且不全为零 则曲面 在 处存在切平面并有法向量2 ( )0 0 0 00 0 0 0 000 0 0 0( , ), ( , , ) ,( ( , ). ( , ) ( , ),( , ), ( , ), 1x yz z x y M x y zz z x y z x y x yMn z x y z x y = = arrowrightnosp曲面 的方程为 点其中 如果函数 在点处可微 则曲面 在点 处存在切平面并有法向量3 0 0 0 0 0 0(1)0 00:(
38、, )( , )( , )( , , ) ( , ),( , ), ( , ), ( , ) ,( , )( , ) ( , ) ( , ), ,( , ) ( , ) ( , ), ,:u u uv vx x u vy y u vz z u vM x y z u vx u v y u v z u v Cu vy z z x x yu v u v u vMi j kn x y zx y z= = = =arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosparrowrightnosp设曲面 的方程为下列参数方程上一点 对应于如果 都是 类函数并且在 处不同时为零
39、 则曲面 在点 处存在切平 面并且有法向量0 00 0( , )( , )( , ) ( , ) ( , ), ,( , ) ( , ) ( , )v u vu vy z z x x yu v u v u v = 空间曲线的切线与法平面 1 ( )0 0 0 0 0 0 00 0 000 0 0( )( )( )( , , ) , . ( ),( ), ( ) , :( ), ( ), ( )x x ty y tz z tM x y z M t x ty t z t MMx t y t z t= = = =arrowrightnosp设空间曲线 的方程为点 对应参数 如果存在且不全为零 则曲线
40、 在点处有切线 且 在点 的一个切向量为2 0 0 0 00 0 0 000( , , ) 0( , , ) 0( , , ) , ( , , ), ( , , )( , , )( , ) ( , ) ( , ), ,( , ) ( , ) ( , ), :( , ) ( , ) ( , ), ,( , ) ( , ) ( ,F x y zG x y zM x y z F x y z G x y zM x y zF G F G F G My z z x x yMF G F G F Gy z z x x= = = arrowrightnosp设空间曲线 有一般方程点 且函数在点 处有连续的偏导数
41、.如果二节行列式 在处不全为零 则曲线 在点 处有切向量0 0 00 0 0( , , )( , , ) x y zx y zx y z x y zyi j kF F FG G G =arrowrightnosparrowrightnosp arrowrightnosp多元函数的极大值与极小值 1验证二元函数的驻点是否为函数极值 ： 0 0(2)0 00 00 0 0 0 0 020 00 0 0 020 0( , ) ( , ),( , ) ( , ) ,( , ) 0, :( , ), ( , ), ( , ),(1) 0 , ( , ) ,0 ( , ) , 0 , ( , ).(2)
42、0 ( , )xx xy yyz f x y x y DC x y f x yf x yA f x y B f x y C f x yAC B f x yA f x y A f x yAC B f x y= = = = arrowrightnosp由参数方程给出的定向光滑曲线 在其上任意点处 的切向量为其中的正负号当 时取正 当 时取 负第二类曲线积分的计算法 1 ( ), ( ), : ,( , ), ( , ) ,( , )d ( , )d( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d,.LbaLx x t y y t t a bP x y Q x y LP x y x Q x y
43、 yP x t y t x t Q x t y t y t ta Lb L= = + = +如果平面上定向光滑曲线弧 的方程为在 上连续 则其中右端定积分的下限 对应 的起点上限 对应 的终点2 同济二版 微积分 (下 ) 11 ( ), : ,( , ), ( , ) ,( , )d ( , )d, ( ) , ( ) ( ) d,.LbaLy y x x a bP x y Q x y LP x y x Q x y yP x y x Q x y x y x xa Lb L= += +如果平面上定向光滑曲线弧 的方程 为函数 在 上连续 则其中右端定积分的下限 对应 的起 点上限 对应 的终点
44、3 ( ), ( ), ( ), : ,( , , ), ( , , ), ( , , ) ,( , , )d ( , , )d ( , , )d( ), ( ), ( ) ( )( ), ( ), ( ) ( )( ), ( ), ( ) ( ) dbax x t y y t z z t t a bP x y z Q x y z R x y zP x y z x Q x y z y R x y z zP x t y t z t x tQ x t y t z t y tR x t y t z t z t ta= = = + +=+如果定向光滑曲线 的方程为函数 在 上连续 则其中右端定积分的下
45、限 对应 的起点 ,.b 上限 对应 的终点格林公式 1 格林定理 , ( , ),( , )d ( , )d ( , ) dD DD xOy DP x yQ x y DQ P P x y x Q x y yx y + = + integralloop设 是 面上的有界闭区域 其边界曲线由有限条光滑的曲线所组成 如果函数在 上具有一阶连续偏导数，那么 2平面定向曲线积分与路径无关的条件 ( )( , ) ( , ), ( , )( )( , )d ( , )d 0( ) ( , )d ( , )d( ) ( , )d ( , )d( , )( , )CLGF x y P x y Q x y G
46、i G CP x y x Q x y yii P x y x Q x y y Giii P x y x Q x y y Gu x ydu P x y=+ =+=combarrowextenderarrowrightnospintegralloop设 是平面上的单连通区域，在 内有连续的偏导数，那么以下四个条件相互等价：对 内的任意一条分段光滑的闭曲线 ，；曲线积分 在 内与路径无关；表达式 在 内是 某个二元函数的全微分，既存在 ，使 得d ( , ) d ;( )x Q x y yQ Piv Gx y+ = 在 内每点都成立.最便于运用的条件是 （iv）， 即 (1), , ( ),d dLG L GP Q C GQ PP x Q yx y + 设 是平面单连通区域, 是 内任意光 滑或分段光滑的曲线弧 则与路径无关第二类曲面积分的计算法 ( , ),( , ) (), ( , , ),( , , ) , , ( , ), .xyxy xyDz z x y x y D DxOy R x y zR x y z dxdy R x y z x y d = = 1.如果函数 的
