1、1 微积分常用公式及运算法则 常用三角公式： sin 2 2sin cos a a a = ； 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin a a a a = - = - = - 2 2 tan tan 2 1 tan a a a = - ； 2 cos 1 2 sin 2 a a - = ； 2 cos 1 2 cos 2 a a + = ； a a a cos 1 cos 1 2 tan 2 + - = ； a a a a a sin cos 1 cos 1 sin 2 tan - = + = ； 2 2 tan sin 2 1 tan a a a = + ；
2、2 2 1 tan cos 2 1 tan a a a - = + ； 2 2 tan tan 2 1 tan a a a = - ； 2 2 sin cos 1 a a + = 2 2 1 tan sec a a + = 2 2 1 cot csc a a + = 积化和差： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sin cos sin sin 2 1 cos sin sin sin 2 1 sin sin cos cos 2 1 cos cos cos cos 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
3、= + + - = + - - = - - + = + + - 和差化积： sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + - + = + - - = + - + = + - + =- 集合的并、交、余运算律： 交换律 , ; A B B A A B B A = = 结合律 ( ) ( ), ( ) ( ); A B C A B C A B C A B C = = 分配律 (
4、) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ); A B C A B A C A B C A B A C = = 对偶律 ( ) , ( ) ; c c c c c c A B A B A B A B = = 初等函数： 双曲正弦、余弦、正切及运算 sinh ( ) 2 x x e e y x y - - = = - ， sinh tanh ( 1 1) cosh x x x x x e e y x y x e e - - - = = = - +2 2 ar sinh ln( 1),( , ) ar cosh ln( 1),( 1, 0) 1 1 ar tanh ln ,( 1 1, ) 2 1
5、 y x x x x R y R y x x x x y x y x x y R x = = + + = = + - - + = = - -sinh( ) sinh cosh cosh sinh , cosh( ) cosh cosh sinh sinh , sinh( ) sinh cosh cosh sinh , cosh( ) cosh cosh sinh sinh x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + = + + = + - = - - = - 2 2 2 2 sinh 2 2sinh cosh , cosh 2 cosh
6、sinh , cosh sinh 1. x x x x x x x x = = + - =2 极限的运算法则： lim ( ) ,lim ( ) , lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( 0) ( ) lim ( ) f x A g x B f x g x A B f x g x f x g x AB f x g x f x A f x B g x B g x = = = = = = = = 设 那么 其中1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 lim ( ) , 1,2, ,
7、 , , 1,2, , lim ( ) ( ) ( ) , lim ( ) ( ) ( ) i i i n n n n n n f x A i n k R i n k f x k f x k f x k A k A k A f x f x f x AA A = = = + + + = + + + = 设 那么对 有0 0 0 0 0 ( ), ( ) , ( ) 0, lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x x x P x Q x Q x P x P x P x Q x Q x Q x = = 为多项式 当 有0 0 0 0 1 0 1 1 0
8、1 , 0 , lim 0 m m m n n x n a b a m n b a x a x a m n b x bx b m n - - = + + + = 对有理分式函数在无穷大处的极限，有 当 时 当 当 当0 0 0 0 0 0 lim ( ) , lim ( ) , ( ) lim ( ) lim ( ) u u x x x x u u f u A u x u u x u f u x f u A = = = = 设 且 则重要极限： 0 sin lim 1 sin tan 0, 2 x x x x x x x p = 当 时函数连续性： 0 0 lim ( ) ( ) x x f
9、x f x = 导数定义： 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x f x x x D D D +D - = = D D0 0 ( ) ( ) | x x f x f x = = 求导公式： 1 2 2 2 2 2 ( ) 0, ( ) , ( ) ln ( ) 1 (ln ) 1 (log ) ln (sin ) cos (cos ) sin (tan ) sec (cot ) csc (sec ) sec tan (csc ) csc cot 1 (arcsin ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arctan ) 1 (ar x x x x
10、a C x x a a a e e x x x x a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m m m - = = = = = = = =- = =- = =- = - =- - = + i i 2 1 ccot ) 1 x x =- +3 (sinh ) cosh (cosh ) sinh x x x x = =微分公式： 1 2 2 d( ) 0d , d( ) d , d( ) ln d d( ) d 1 d(ln ) d 1 d(log ) d ln d(sin ) cos d d(cos ) sin d d(tan ) sec d d(co
11、t ) csc d x x x x a C x x x x a a a x e e x x x x x x x a x x x x x x x x x x x x m m m - = = = = = = = =- = =-2 2 2 2 d(sec ) sec tan d d(csc ) csc cot d 1 d(arcsin ) d 1 1 d(arccos ) d 1 1 d(arctan ) d 1 1 d(arccot ) d 1 d(sinh ) cosh d d(cosh ) sinh d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
12、 x x x = =- = - =- - = + =- + = = i i求导法则： 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) u v u v u v u v uv uv uv uvw uvw uvw uvw u uv uv v v x y y f x f x y a b a b j j + = + + = + = + = + + - = = = = 设 ，它的反函数是 ，则有d d d d d d y y u x u x = i 链式求导法则： ( ) ( ) ln ( )ln ( ) ( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) v x y u x y v x
13、u x x y v x u x v x u x y u x = = = + 对数求导法则： 求幂指函数 的导数时， 可先取对数，得 ， 然后两端对 求导，得参数方程求导： ( ) ( ) d d d d ( ) d d d d d ( ) d x t y t y y y t t t x x t x t t j f f j = = = = = i 若对参数方程 求导，则有高阶导数： ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ( ) ! 1 ( 1) ! ( ) (sin ) sin 2 (cos) cos 2 ( 1)! ln(
14、1 ) ( 1) 1 (1 ) ( ) 1 ( 1) ! 1 1 2 ( ) ( ) n n n n n x n x n n n n n n n n n n n n x n n x x e e n x x n x n x x x u v u v n x a a x a x a p p a b a b + - + + = - = = = + = + - + = - - + + = + - = - - - + 当 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) n n k n k k n k uv C u v - = = 4 微分定义： d ( ) ( )d y f x x f x x = D = 微分求近似
15、值（线性逼近或一次近似） ： 0 0 0 0 0 0 0 0 d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) y yx x x f x x f x f x x x x x f x f x f x x x D = +D +D + D = +D + - 令 得，常用一次近似式： 1; sin ; tan ; (1 ) 1 ; ln(1 ) ; x a e x x x x x x ax x x + + + + 拉格朗日定理： ( ) , , ( , ), ( , ) ( ) ( ) ( )( ) f x C a b f D a b a b f b f a f b a x x - = - 若
16、 并且 那么至少存在一点 ，使 柯西中值定理： , , , , ( , ), ( , ) ( ) 0, ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g C a b f g D a b a b g x a b f b f a f g b g a g x x x - = - 若 并且 在 内 那么至少存在一点 ，使 泰勒中值定理： 0 1 2 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( 1) 1 0 0 ( ) ( , ) ( 1) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2! 1 ( )( ) ( ) ! ( ) ( ) ( ) , ( 1)! (
17、 ) n n n n n n n n f x x a b n f D a b x a b f x f x f x x x f x x x f x x x R x n f R x x x n R x x x x x + + + + = + - + - + + - + = - + 如果函数 在含 的某个开区间 内具有 阶导数，即 ， 那么对于 ，有 其中 称为拉格朗日余项， 这里 是 与 之间的某个值 拉格朗日中值公式： 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) n f x f x f x x x = = + - 当 时，泰勒公式就是拉格朗日中值公式：麦克劳林公式： 0 0 0 (0 1) x x
18、 x x x q q = = 在泰勒公式中， 的特殊情况比较重要。 此时 在 与 之间，可记为 。2 ( ) ( 1) 1 (0) ( ) (0) (0) 2! (0) ( ) ! ( 1)! n n n n f f x f f x x f f x x x n n q + + = + + + + + + 的 的 的 的 n 阶泰勒公式 阶泰勒公式 阶泰勒公式 阶泰勒公式： ： ： ： 2 1 1 1 1 2! ! ( 1)! (0 ) x x n n e e x x x x n n x q q + = + + + + + + 带有佩亚诺余项的泰勒公式： 0 ( 1) 2 0 0 0 0 0 (
19、 ) 0 0 0 ( ) ( , ) 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2! 1 ( )( ) ( ) ). ! n n n n f x x a b n f x a b f x a b n f x f x f x x x f x x x f x x x o x x n + + = + - + - + + - + - 如果函数 在含有 的开区间 内具有 直道 阶的导数，且 在 内有界 则 在 内有 阶带有佩亚诺余项的泰 勒公式：常见的基本初等函数的带有佩亚诺余项的麦 克劳林公式： 2 3 5 1 2 1 2 2 4 2 2 1 1 2 3
20、 1 1 1 ( ) 2! ! 1 1 sin 3! 5! ( 1) ( ) (2 1)! 1 1 ( 1) cos 1 ( ) 2! 4! (2 )! 1 1 ( 1) ln(1 ) ( ) 2 3 x n n m m m m m m n n n e x x x o x n x x x x x o x m x x x x o x m x x x x x o x n - - + - = + + + + + = - + - - + + - - = - + - + + - + = - + - + + ( ) x f x e =5 2 ( 1) (1 ) 1 2! ( 1) ( 1) ( ) ! n
21、 n x x x n x o x n a a a a a a a - + = + + + - - + + + 洛必达法则 0 0 0 0 0 0 ( ), ( ) ( ) 0, (1) lim ( ) lim ( ) 0 ; ( ) (2) lim ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x x x x x x x f x g x x g x f x g x f x g x f x f x g x g x = = = = 设 在点 的某个去心领域内可导, 并且 又满足条件： 或 存在或为平均曲率 | | | | s K s MM M M a a D = D D D
22、为曲线上弧段 的长 为点 到点 曲线的切线的转角曲率公式 2 3/ 2 ( , ) | | (1 ) M x y y K y = + 曲线在点 处的曲率公式2 2 3/ 2 ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) C x t y t t t t t K t t j f j f j f j f = = - = + 当曲线 由参数方程 给出时， 1 K r = 其中 为曲率半径 微积分运算 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( )d ( ) ( )d ( ) ( ) d ( )d ( )d f x x f x C f x f x x f
23、 x C f x x F x C f x f x x f x x = + = = + = + = = 基本积分表 1 2 2 2 2 2 2 d ( 1 , d ) d 1 1 d ln | | 1 d arctan 1 1 d arcsin 1 cos d sin sin d cos 1 d sec d tan cos 1 d csc d cot sin sec tan d sec csc cot d cs k x kx C k x x C x x x C x x C x x x C x x x C x x x x C x x x C x x x x C x x x x x C x x x
24、x x C x x x m m m + = + = = + = + + = + = + + = + - = + =- + = = + = =- + = + =- 时 cx C +d d ( 0, 1) ln sinh d cosh cosh d sinh x x x x e x e C a a x C a a a x x x C x x x C = + = + = + = + 不定积分线性运算法则 ( ) ( )d ( ) d ( ) d u x v x x u x x v x x a b a b + = + 不定积分的换元法 1 ( ) ( ) ( ) ( )d ( )d ( )d ( )
25、( )d u x t x f x x x f u u f x x f t t t j f j j f f - = = = = 6 积分公式 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d 1 arctan d arcsin d 1 arcsin ( 0, 0) d 1 ln 2 sec d ln | sec tan | csc d ln | csc cot | d ln ( 0) d ln | | x x C a x a a x x C a a x x bx C a b b a a b x x x a C x a a x a x x x x C x x x x
26、C x x x a C a x a x x x a C x a = + + = + - = + - - = + - + = + + = - + = + + + + = + - + - 不定积分的分部积分法 d d d d uv x uv uv x u v uv v u = - = - 或定积分 牛顿-莱布尼茨公式 , , ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) b b a a f C a b F x f x f x x F b F a F x = - = 如果函数 函数 是 的一个原函数，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) (
27、) x x f t x x f t x f x x f x x j f j f j j f f = - 设函数 连续,函数 及 可导,则定积分的换元法 , . ( ) (1) ( ) , ( ) , ( , ) , ( , ) , ; (2) , ( , ) ( )d ( ) ( ) d b a f C a b x x a b a b a b C C f x x f t t t b a j j a j b j a b j b a j a b j b a j j = = = = 设函数 如果函数 满足： 且 或 或 那么：0 , , ( )d 2 ( )d ; , , ( )d 0 a a a
28、a a f C a a f x x f x x f C a a f x x - - - = - = 若 并且为偶函数，则 若 并且为奇函数，则2 2 0 0 2 0 0 2 2 0 0 (sin )d (cos ) d (sin )d (sin ) d sin d cos d n n f x x f x x xf x x f x x x x x x p p p p p p p = = = 定积分的分部积分法 d d d d b b b a a a b b b a a a uv x uv vu x u v uv v u = - = - 2 2 0 0 sin d cos d (2 1)! 2 )
29、, (2 )! 2 (2 2)! 2 1) (2 1)! n n x x x x m n m m m n m m p p p = - = = - = - - i (当 (当1, 2,3, m= 定积分的几何应用 平面图形的面积： 1.直角坐标情形 1 2 2 1 ( ) ( ), ( ) ( )d b a f x y f x a x b A f x f x x = - 平面图形 的面积为2.极坐标情形 2 0 ( ), 1 ( ) d 2 A b a r r j a j b r j j = 曲边扇形 的面积为7 体积 1.旋转体的体积 2 0 ( ), ( ) d b a y f x a x
30、b x V f x x p = 曲边梯形 绕 轴旋转 一周所成的旋转体的体积为 2.平行截面面积为已知的立体的体积 ( ) ( )d b a x a x b x A x V A x x = = = 加在过点 和 且垂直于 轴的两个平 面之间、且平行面面积为 的立体体积为 平面曲线的弧长 1. 直角坐标情形 2 ( )( ) 1 d b a y f x a x b s y x = = + 曲线弧段 的长度为2. 参数方程情形 2 2 ( ), ( ) ( ) ( ), ( )( ) ( ) ( ) d x t t y t x t y t t s t t t b a j a b f j f a b
31、 j f = = = = = + 曲线弧 曲线弧段 的长度 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1( ) 4 1 sin d x y a b a b s a t t a b a p e e + = = - - = 椭圆 的周长 其中 为椭圆的离心率3. 极坐标情形 2 2 ( )( ) ( ) ( ) d s b a r r j a j b r j r j j = = + 曲线弧段 的长度为函数的平均值 算术平均值： 1 ( )d b a y f x x b a = - 加权平均值： ( ) ( ) d ( ) d b a b a f x w x x f w x x = 均方根平均值： 2
32、 1 ( )d b a f t t b a - 反常积分 0 0 0 0 ( ) d lim ( )d ( ) d lim ( ) d ( ) d ( ) d ( )d lim ( )d lim ( )d b a a b b b a a b a a b f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x + + - - + + - - - + = = = + = + 微分方程 1可分离变量的微分方程： ( ) d ( )d g y y f x x = 2一阶线性微分方程： 0 0 0 0 ( )d ( )d 0 ( )d ( )d 0 d
33、 ( ) ( ) d ( ) d | ( ) d x x x x P x x P x x x x P x x P x x x x y P x y Q x x y e Q x e x C y y y e Q x e x y - = - + = = + = = + 的通解 初值问题：3齐次型方程： d d d d , d d d ( ) d y y x x y y y u u x x x x y u x x x j j = = = + + = 如果方程可以化为这种形式： 引入新的未知函数 得 代入原方程可得： 可分离变量。8 4可化为齐次型的方程： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
34、1 1 1 d , d , , d d ,d d , d ( ) d ( ) 0 , 0 d d , a b y ax by c x a x b y c a b x X h y Y k x X y Y Y aX bY ah bk c X a X bY ah bk c ah bk c h k ah bk c Y aX bY X a X bY X x h Y y k + + = + + = + = + = = + + + + = + + + + + + = + + = + = + = - = - 方程： 其中 令： 有 代换后得： 令 ，可解出 因此就可化为齐次型方程 得到该方程的通解后， 令 即
35、可得原方程通解。5伯努利方程 1 1 1 d ( ) ( ) ,( 0,1) d d ( ) ( ). d d d , (1 ) d d d (1 ) ( ) (1 ) ( ) d y P x y Q x y x y y y P x y Q x x z y z y y x x z P x z Q x x z y a a a a a a a a a a a - - - - - + = + = = = - + - = - = 形如： 方程两端同除以 ，得 令 则 ，代入得 一阶线性方程 ， 求出通解后，令 ，代入得原方程通解。6 ( ) y f x = 型的方程 ( ) 1 2 ( ) ( )d
36、d y f x y f x x x C x C = = + + 在 两端逐次积分得：7 ( , ) y f x y = 型的方程 1 1 2 d , d ( , ) , ( , ) ( , )d p y p y p x p f x p x p y p x C y x C x C j j = = = = = = = + 设 则 ，可化方程为： 这是关于 的一阶微分方程，若通解为： 可通过积分得通解8 ( , ) y f y y = 型的微分方程 1 1 2 1 d d d d , d d d d d ( , ). d , ( , ) d ( , )d d ( , ) p p y p y p y
37、p x y x y p p f y p y y p y p y C y y C x y x C y C j j j = = = = = = = = = + i 设 则 方程可化为： 这是关于 的一阶微分方程，若通解为 ，即 分离变量两边积分，可得原方程通解：9二阶常系数齐次线性微分方程 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1,2 1 2 0 (1) 0 (2) (3) (i) (ii) ( ) (iii) i ( cos sin ). rx r x rx x y py q r pr q r r r r y Ce C e r r y C C x e r y e C x C x
38、 a a b b b + + = + + = = + = = + = = + 求 的通解的步骤： 写出方程的特征方程： ； 求出特征方程的两个根 与 ； 根据根的不同情况，按下列规则写出通解： 若有两个不等实根 与 ，则 若有两个相等实根 ，则 若有一对共轭复根 ，则10n 阶常系数齐次线性微分方程 ( ) ( 1) ( 2) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 0 , , , . 0 n n n n n n n n n n n y p y p y p y p y p p p r pr p r p r p - - - - - - + + + + + = + + + + + = 其中 都是常
39、数特征方程为： 单根： 1 2 (1) (2) i ( cos sin ) rx x r Ce r e C x C x a a b b b = + 若实根是 ， 给出一项通解： 若是共轭复根 ， 给出两项通解：重根： 9 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (1) : ( ) (2) 2 ( ) cos ( )sin rx k k x k k k k k r k e C C x C x k r i k e C C x C x x D D x D x x a a b b b - - - + + + = + + + + + + + 若 重实根 ， 给出 项 若 重共轭复根 ， 给出 项：11二阶常
40、系数非齐次线性微分方程 I ( ) ( ) . ( ) x m m f x P x e P x x m l l = 其中 是常数， 是 的一个 次多项式* 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 2. x m k x m m m y py q P x e y x Q x e Q x P x m r pr q k r pr q k r pr q k l l l l l + + = = + + = = + + = = + + = = 方程 具有形如： 的特解， 其中 是与 同次 次 的多项式， 则当 不是 的根， ； 是 的单根， ； 是 的重根，II ( ) (
41、)cos ( )sin ( ) ( ) . x l n l n f x e P x x P x x P x P x x l n l w w l w = + 其中 、 是常数， 、 分别是 的 次、 次多项式* (1) (2) (1) (2) ( )cos ( )sin ( )cos ( )sin ( ) ( ) max , . i ( i ) 0 1. x l n k x m m m m y py qy e P x x P x x y x e R x x R x x R x R x m m l n k k l l w w w w l w l w + + = + = + = + - = = 方程： 具有形如： 的特解，其中 、 是 次多项式， 当 或 (1)不是特征方程的根时， ， (2)是特征方程的单根时，
