1、随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量 的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布 。 （a）分别写出随机变量 和 的分布密度 （b）试问： 与 是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此 是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此 与 独立。 2、设 和 为独立的随机变量，期望和方差分别为 和 。 （a）试求 和 的相关系数； （b） 与 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用 的独立性，由计算有： （b）当 的时候， 和 线性相关，即 3、设 是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T 的函数
2、，即 ， 试求方差函数 。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号 和 ，其中： 式中 和 为正的常数； 是 内均匀分布的随机变量， 是标准正态分布的随机变量。 （a）求 的均值、方差和相关函数； （b）若 与 独立，求 与Y 的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2解： 其中 为整数， 为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3解：由周期性及三角关系，有： 反函数 ，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知， 的联合概率密度为： 利用变换： ，及雅克比行列式： 我们有 的联合分布密度为： 因此有： 且V和 相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦
3、曲线。 （3）给定一时刻 ，由于 独立、服从正态分布，因此 也服从正态分布，且 所以 。 （4） 由于： 所以 因此当 时，当 时，由（1）中的结论，有： P36/7证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i=j 时 ；否则 令 ，则有第三讲作业： P111/7解： （1）是齐次马氏链。经过 次交换后，甲袋中白球数仅仅与 次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： ， （2）因此：P112/9解： （2）由（1）的结论，当 为偶数时
4、，递推可得： ； 计算有： ，递推得到 ，因此有： P112/11解：矩阵 的特征多项式为： 由此可得特征值为： ，及特征向量： ， 则有：因此有： （1）令矩阵P112/12解： 设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下： 第四讲作业： P113/13解：画出状
5、态转移图，有： P113/14. 解：画出状态转移图，有： P113/16解：画出状态转移图，有： （1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。 （3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且 ，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且 ，故状态0、2是常返态；因为 ，故，所以状态1为非常返态。 （4）0、1相通作成一闭集，且 ，故0、1为常返态；又 ，因此 ，故2为常返态； ，故3、4为非常返态。 第六讲作业： P115/17解：（1）一步转移矩阵为： （2）当 时，由计算可得 ，因此可由以下方程组计算极限分布： 解得极限分布即可。 P115/18解：由第七
6、题的结果，计算可得：， 因此可计算极限分布如下： 解以上方程，得极限分布： P115/19解：见课上讲稿。 P116/21解：记 ，则有： （1）因为： (A) 当 时，有： 由（A）可得： 当 且 时，有： 由（A）可得： 当 且 时，有： 由（A）可得： 另外：下列等式是明显的 因此我们有： 即是一齐次马氏链。一步转移矩阵为： （2）画出转移矩阵图，可得： 由 ：及 ，并且取 ，由递归可得： （3）由于： 因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。 （4）由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有： 随机过程习题解答（二）
7、P228/1。证明：由于 ，有tsntNPkskstntP)()()(,/其中 )()!(!)()()( stknsketestksNP tntNP!)()(所以 knkknk tnstkskstsettP 1)!()( !)(!)()(/)( )(证毕。P229/3. 解：（1）因为 是一Poission过程，由母函数的定义，有：0),(tN)()( )()( )()()()00000)( ssjtNPltNPlkssltlt lktNPslt sltltPsktstt j jl lk lklllk lkkl lkk klkt （2）有上面（1）的结果，可得： tssttstsNttNtNt
8、t ttNtN1)()( )()()(0)(0)()(limli（3）当 充分小时，由于：t 2100)( )()()(1kkkktN stststPs 因此，当 时，有：1s )1()()()( 200limli stttsts kktNt 由（2）的结果，我们有： )(1()( ssttNNP229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：tstNNtNt ess)1()()0( )()(1( （2）由于 是随机过程 的母函数，且 ，将函数 关于)(stNt tst)1()(ts)1(展开成级数形式，我们可得：)1(s 0)1()( !kktktstN sete由母函数与分布函数的
9、唯一性定理，可得： 2,1,!)()(ekttPtP230/8. 解：由特征函数的定义，我们有： nYuintitntXuitXuitXeENeNPeEn1210)(0)()(!)(令 ，则有：)(11ueEYui（*）1)(exp!)(110)( utnut YtYtX 若 的概率分布为：,21(n 2121,nnPYP则（*）uiuiYuiY eeeEnn 2121)(将（*）代入（*），我们有： tett euuiui uiitX )(exp 1)()( 2121 21 P230/7. 解：先求 的特征函数：0),(0tNtett emtnt etetEeuuiui tuit titui
10、 muitmnuitntNitNui ttuititN )(expxp!)(!)()( 2121 )(0(201 )()()( 21 21 2121100 由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知 是复合0),(0tNPoission过程。P231/10. 解：由于 ntXtPtjktX)()(,)(32132112因为 的母函数为：)(tXi，tssitN)1(exp)(由独立性，可知 的母函数为：)(321Xtt， 1 321)()( 1ittX tsss所以 是参数为 的泊松过程，即)(321ttX321tnetntttP 321!)()( 32321 因此我们有： n
11、jkjtntkjtjtkjknjeenXXt )()!(! )!(!)(,)321321132121 32131 P231/12. 解：（1）由 )(1)(1)(,0)(, toPktXPtktXPt rr 令 ，有0t )()()(1tPtdtPkrkrk 解得 tPkrrettX!)()(（2）由（1）知， 服从参数为 的泊松分布。)(tXrPP232/15. 解：（1）以 表示 时刻系统中不正常工作的信道数，则 是一马氏)(tt 0),(t过程，其状态空间为： ， 矩阵为：2,10SQ2)(0（2）令： )()()(2212010tpttpttttP则前进方程为： 3)0(IPQttd（
12、3）令： )()(jttpj)0,1(,)(210pt 写出福克普朗克方程： )0,1()pQttd即有：0)(,)0(,1)(2)(2)()(02 1010pptttdtpttptpd做Laplace变换，令： 2,1,)()(ntLsnn则有： )(2)()( )(2112 100sss s由上解得： )()(2)()(23)( 20 sCsBAss其中： 222 )(,)(,)(BA因此求 )()(010sLtp即可。（4） ttBABA etTPttTP 2, P233/16. 解：（1）令 表示 时刻系统中正在用电的焊工数，则 是一马氏过)(tt 0),(t程，其状态空间为： 。,2
13、10mS（2） 矩阵为：Q m000 0)2()(221)1( 00 （3）令： )()(jtPtpj)0,1()0,(,)(,)(210 pttpttpm写出福克普朗克方程： )1(0,1()0mpQttd（4）画出状态转移率图，可得 时的平衡方程：t1)1()1()(210010mnm nnnp pppm 由此可得： 0)1()()(101 ppnnn即有： 0)1()(nnpmmpn ,2,1 由此可以求得： npCpmnmp nmnn ,10,1)( 00 由 ，即可确定 ，最终得到所要的结果。10mn 0P233/17. 解：（1）由于： )0,(, anan可以得到此过程的 矩阵：
14、Q anana )( 02220)(0令： )()(jtPtpj),(,)(210 tpt n写出福克普朗克方程： )(1( )()() )(3)()(2)()()()(1212 10110tpntpanatdp tttpt paadtpttn n初始条件： 。0),1)0( 0jpjn （2）由数学期望的定义： 10)()()()(nntpttMtE由此，我们有： )()( )(1(1( )()()( )(1()()1)()(101111tMatpna tpnpntt tpntata tpntpanpntdttdtMnnnn nnn 即可得到描写 的微分方程：tM0)()(ntatd（3）解
15、上面的微分方程，我们有：tteaentM)()(01) P233/19. 解（1）根据题意得到 矩阵为Q )(0)2(0)(0n由福克普朗克方程得： )1()1()()(1100 ntpntptpdttnn （2） 01001100 )()()( )()()(),( nnnnn nnnn utputputp ttputptuG而 01)()1(),(1(nnutputGu因此左边=001)()(nnn utputp右边= 0010 )()(, nnnn utputpttG左边=右边，证毕。（3）将 代入左边。)1(),(ueftutu右),(1)()1( )1)(1)(右 tuGuefu ee
16、ffueftu utt ttu（4）由 ，有)0,(G)(feu即 uef)1(进而有 )1()uf所以 )1)()(),( teutueftG （5）令 ，由(4)的结论xet)1( !)1(!2)1()(1),()( nuxuxetuux其中 对应的系数为nuxnnnn exCxx !)!2()!1(! 所以 nten entpt )1(!)()1( （6）)1()()1(!1)()!( )1(!)()( )()1( 0)1()1(1)(t etennttennten nten etptMtttt t （7）由(5)的结论，知 etpttt )1(0lim)(liP236/24解：(1)根
17、据题意得 矩阵Q 0)(0)( 由平衡方程，有 0)(011210nnnpp因此有 ，进而 ip1 ),20(0n因为 1100nnnp所以，当 时系统平稳。1 ),210(1npn(2) 100nnQpW(3)前 次以概率 重新排队，第 次以概率 离开，所以 即为所求。)1(n1n(4) 1001nnnT26解(1) 设系统状态为不工作机器的数量，则 ，得 矩阵3,210SQ 30)(0)(3Q列出平衡方程 0303)2(21210pp其中： 810解得 72964,20,7930,25310 pp所以 )(30ntM(2) 7294672940(8)(32pTP237/28. 解：（1）设
18、泊松分布第 个事件发生与第 个事件发生的时间间隔 的特征1nnnX函数为： ，则有：)(unX)1(exp)(uiXun由于 是独立同分布的，根据 以及特征函数的性质可知：n kS1)1(exp)(exp)()( uinuinXSun 因此可知 是服从参数为 的泊松分布，即：n,210,!)(keknSPn（2）由： 可知：)(1tttNPn0)1(0!)(!)(tknktkk ee附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：一阶拟线性方程的一般形式： ),(),(),( uyxcuyxbyxa一阶线性方程的一般形式： ),(),(),(),( dyx 称： ),(),(),( zyxczbdzy
19、xa或： ),(),(),( zdtzdtzdt为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线 为特征曲线。一阶拟线,tyx性方程的特征方程的解 为积分曲面。),(yxu有以下定理：定理：若特征曲线 上一点 位于积分曲面 上，则 整个位于),(00zP),(:yxuS上。S初值问题：给定初始曲线： ， 为参数。则一阶拟线性方程的初值问)(,)(,(: shgfzyx题的提法是：求方程的解 ，使满足 。我们有以下定理。u)(,sgfu定理：设曲线 光滑，且 ，在点)(,)(,(: sfz 02处行列式),( 0000 shgsfzyxP ),(),(00zyxbzyxasgfJ又设 在 附近光滑
20、，则初始问题：),(),(),(zyxcbzyxa)(),( ),(,shgsfuucuyx在参数 的一邻域内存在唯一解。0s例：已知初始曲线 ，求初值问题：10,2,: szsyx/suyx解：由于： 02/1/),(),(00 sszyxbzyxagsfJ解常微分方程的初值问题： )2/,(),(10szyxdtzdtt得： sttzststz /,2/2由后两式解出 ，并代入第一式，解得：ts, )2(4),(yxyxuzP233/9. 解初值问题： )1,0(),(sztuGutu由于： 01)(),(),(00 szyxbzyxasgsfJ解常微分方程的初值问题： )1,0(),(
21、)1(szyxzudztudt 解得： )1()(lnzsesut在上面式子中消去参数 ，得初值问题的解：,s)1(exp),( teutuGP311/1. 解：（1）给定 时，有121,kt（2）任取 我们有： ,021t所以Poission过程不是平稳过程。 P311/2. 解：（1）由Poission过程的性质，任取 假定事件： 12,tt则有： ， 因此有： （2）由 ，且 仅与 有关，可知 是平稳过程。 ),;(21txf 12tP312/3. 解：（1）由均值的定义，我们有： （2）由相关函数的定义，任取 ，我们可得： P312/4. 解：为了解此题，先看下面的引理： 引理：设 是
22、服从正态分布的二维随机变量，其概率密度为： 则 和 Y取不同符号的概率为： 引理的证明： 令： 则有： 以上式子用了变换： 由： 因此只要求： 因此有： 由于此时： 我们即可得到结论。 P313/5. 证明：由于： 故 是宽平稳过程。 分别取 ，则 ， ，因为 具,4/,021t )4/sin()(2zt有不同分布，所以 不满足一级严平稳条件。 )(P314/10. 解：样本函数不连续。令： ，下面求相关函数： 012t因为： 因此该过程是均方连续的随机过程。 P314/11. 证明：令： ，则有 由车比雪夫不等式：P315/13. 证明：（1）令： ，由上题的结果可知： 因此有 （2）由相关
23、函数的定义及（1）的结果，有 P316/17. 解：（1）由均值函数和相关函数的定义，我们有： 由 ，可得 （2）有上面的结果知 是一宽平稳过程。令： ， ， ， 不具有相同的分布，所以 不是一级严平稳过程。 P318/22. 解：根据题目给定的条件，有： ， 因为： ，因此有： P318/23. 解：根据 为一平稳过程，则有： ， 因此有： P318/25. 解：由平稳过程相关函数的定义，有： P319/28. 解：由题意，我们有： 设 ，则有： 令： ，则有： ，因此有： P319/30. 解：（1）由于： 因此输入不是平稳的。 （2）由计算可得： （3）计算均值函数和相关函数为： 因此输
24、出不是平稳的过程。P445/1解题中给出的是一确定性周期信号，令： ，因此它们的时间相关函数和功率谱密度分别为： 当 时，因此有： P445/2. 解：（3） （4） P445/3. 解：由功率谱密度和相关函数的关系，有： P446/4. 解：（1）由于： 因此，由功率谱密度和相关函数的关系，有： （2）由功率谱密度和相关函数的关系，有： P446/5. 解：由功率谱密度和相关函数的关系及 是偶函数，我们有： 其均方值为： P447/7. 解：（1）冲激响应为： （2）由6题的结果，我们有： 注意到 的定义，当 或 时， ， 当 时， 当 时， 因此有： （3）由6题的结果，令： ，有： P447/8. 解：由Fourier变换，有： 因为： 则有：
