1、第 1 页 共 11 页随机过程复习题一、填空题：1对于随机变量序列 和常数 ，若对于任意 ，有nXa0，则称 依概率收敛于 。_|limaPnn na2设 是泊松过程，且对于任意 ， ，则),(0t 012t,596)5(,4)3(21 eXXP18|6)5( e15326232 9!)(! 2)3()(2)()(0)1 ,)()(, eee XPXPXP 66218!)()(4)(|)5( ePP3已知马尔可夫链的状态空间为 ，初始分布为,31I，),(412，则 ，431003)(P167)2(1P162,10 XXP第 2 页 共 11 页4831486367415)()2(2P167
2、)2(1P16341 2|1|2 ,1,2010 020 XPXPX4强度 的泊松过程的协方差函数 ),min(),(tstsC5已知平稳过程 的自相关函数为 ，)(tXcoXR)()( XS6. 对于平稳过程 ，若 ，以概率 1)t )()(Xt成立，则称 的自相关函数具有各态历经性。(t7.已知平稳过程 的谱密度为 ，则 的均方)tX23)(4S)(t值= 212222 1)(1)( SeeRX)(2第 3 页 共 11 页的均方值)(tX21)0()(2 XXR8. 随机相位过程 其中 为常数， 为),costat ,a上服从均匀分布的随机变量，则 ，),(20 0(tXcos2)(tX
3、9设马尔可夫链 的状态空间 ，则一步,10,n1,I转移概率矩阵为 ，初始分布为 ，则9.P)3,2()0p的分布律为2X，)3018,()P 0354.),1,(432 XXP8.1.2)2(2 )3018,2(8.01.2)3,()20()( Pp0354.1.9.0318 )1|0()1|()( ),),1,(3422 32342 XPXPX10.设 是只有两个状态的齐次马氏链，其 步转移概.),(n n率矩阵为第 4 页 共 11 页，则nnDCP213)( nnnnD213113设 ， ，则由切比雪夫不等式)(XE2)(；_|314随机变量序列 独立同分布,且 nX,210)(,)(
4、iiD,则对任意实数21i ,x_limxnPiin1二、计算与证明：1设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为 ，晴天转雨天的概率31为 ，任一天晴或雨是互为逆事件，以 0 表示晴天状态，以 1 表示2雨天状态， 表示第 天的状态（0 或 1） 。nX（1） 写出马氏链 的一步转移概率矩阵；,n（2） 在 5 月 1 日为晴天的条件下，5 月 3 日为晴天；5 月 5 日为雨天的概率各是多少？；解： ，,0I(1) 312)(P第 5 页 共 11 页(2) , 18725)2(P 125)()0|( 013 pXP, 6483925)4(P 43259)()0|(0115 pXP2设齐次马氏链
5、的一步转移概率矩阵为 ，证明3/210/P此链具有遍历性，并求其平稳分布。解： 9/6/29/14/3)()2(2P由于 中不含有零元，故此链具有遍历性。)(解方程组 和 ，即P1i13213213221解得 ，故平稳分布为 。74,2,713 )74,2(3将 2 个红球 4 个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中放 3 个，现从每个盒子中各取一球，交换后放回盒中，以 表示)(nX经过 次交换后甲盒子中的红球数，则 是一齐次马尔n 0),(nX第 6 页 共 11 页可夫链，试求：（1）求初始分布；（2）求一步转移概率矩阵；（3）证明 是遍历链。0),(nX解：(1) 21I, , 5
6、)0(364CP 53)1(61240CXP, 故初始分布 。1)2(362140X )5,3()p(2) 3/1/20959/0/)1(P(3) ,271627489827467)1()2(2P由于 中不含有零元，故此链具有遍历性。)2(P4设 ， 是常数， 与 为相互独立tBtAtX00sinco)(AB的随机变量，且 ，)1,(N)1,(（1）证明 是平稳过程； （2）证明 均值具有各态历经性；)(t tX（3） 求 的平均功率。 )(tX解：(1) 10DAEB第 7 页 共 11 页 1)(1)( 2222 EBDEBADEA与 相互独立，B0)(A)(0sincos sin)co(
7、)(0常 数tt tX有 关 ）（ 只 与 0 000 220 000 2020 00 0202 000cos )(sini)(s )()(cossi)(incos inics )(coss)(i iios )(sn)(cosinc)( tttt EBEAAtttt ttBttABE tEttAttt故 是平稳过程)(tX(2) )(0sincos21lim00 tEXtdBtATt 故 均值具有各态历经性)(3) 1)0(2XR5.随机过程 ，其中 为独立同分布的随机tYttZcossin)(YX,变量，它们的分布律为： X -1 2 Y -1 2第 8 页 共 11 页P 2/3 1/3
8、P 2/3 1/3（1） 证明 为平稳过程；（2）证明 的均值具有各态历经性.)(tZ)(tZ解：(1) 20DXEY与 相互独立，X0)()(EY)(0cossincosin()(常 数tEYt tEZ有 关 ）（ 只 与 cos2 )cos()sin(coin tYtXtYtXEt故 是平稳过程)(tZ(2) )(02sinlimcossin1ltEZTYtdYtXtTTT故 均值具有各态历经性)(tZ6设有随机过程 ，其中 与 独立且都)sin()co()(tBtAtXAB是均值为零，方差为 的正态随机变量，求（1） 和 的概2)1(X4率密度；（2）问 是否是平稳过程？)(t解：(1)
9、 ),0(cos)1( 2NAX21)(xexf第 9 页 共 11 页 ),0(2)(4sin4cos)41( 2NBABAX2)(xexf(2) )(0)(常 数tEX )(cos2有 关只 与 故 是平稳过程)(t7设 ， 为随机变量，具有瑞利分布，其密度)cos()(tAtX函数为 ， 是 上服从均匀分布与 相互00482xexfx)( ),(2A独立的随机变量，问 是否是平稳过程？)(tX解： 2,0(U其密度函数为 其 它0)2,(1)(xxf )(21)cos()s()(20 常 数dtEAtEtX有 关 ）（ 只 与 cos4 )cos()( s)()2 ttEAAt第 10
10、页 共 11 页808 )8(428082 80280222 22 22 x xx xxededeEA其 中 cos2124 )cos()2cos(12 1)()(coscos020 dtttE8设 是平稳过程，令 ， 为常数，)(tX)()()atXttY试证：（1） ；)()()()( RaRXXXY 222（2） 。sinS4解： )()(tYEY )()2()2()( )( ()()( )( XXXX RaRaR attEtt tatata 2第 11 页 共 11 页 deaRdeaRdeaS iX iXi iXXY )2( )2()2 )2()()(iXSdeR)()( 222 )(Xiauii aiXiSedeRuau 令)()( 222)(Xia vii aviXiSedeRavde 令 )(sin)(42co12)()s()(22aSSeSXXXiaiaY所 以 ，
