1、 3 一次函数 的图象 1 函 数的 图象 对于一 个函 数， 我们 把它 的 自变量x 与 对应 的变量y 的 值分别 作为 点的 横坐 标和 纵坐标 ， 在直角 坐标 系中 描出 它的 对应点 ，所 有这 些点 组成 的图形 就叫 做该 函数 的图 象 谈重点 函 数图 象与 点的 坐标的 关系 (1)函 数图 象上 的任 意点P(x，y) 必满 足该 函数 关系 式 (2)满 足函 数关 系式 的任 意 一对 x ，y 的值 ，所 对应 的 点一定 在该 函数 的图 象上 (3)判 定点P(x ，y) 是否 在 函数图 象上 的方 法是 ：将 点P(x ，y) 的坐 标代 入函 数表达
2、式 ， 如果满 足函 数表 达式 ， 这 个点就 在函 数的 图象 上； 如果不 满足 函数 的表 达 式 ， 这 个点 就不 在 函数的 图象 上 【例1 】 判断 下列 各点 是 否在函 数 y 2x 1 的图 象 上 A(2,3) ，B( 2 ，3) 分析：将x 的值 代入 函数 表达式 ，如 果等 于 y 的值 ，这个 点就 在函 数的 图象 上；否 则 ， 这个点 不在 函数 的图 象上 解： 当x2 时，y22 13， A(2,3)在函数 y 2x1 的图象 上； 当x 2 时，y 22 1 5 3 ， B(2，3) 不在 函数y 2x1 的 图象 上 2 函 数图 象的 画法 画
3、函数 图象 的一 般步 骤： (1)列 表： 列 表给 出自 变量 与函数 的一 些对 应值 ， 通 常把自 变 量x 的 值放 在表 的第一 行， 其对应 函数 值放 在表 的第 二行， 其 中x 的 值从 小到 大 (2)描点 ：以表 中每 对对应 值为坐标 ，在 平面直 角坐 标系内描 出相 应的点 描 点时一 般 把关键 的点 准确 地描 出， 点取得 越多 ，图 象越 准确 (3)连 线： 按照 自变 量从 小 到大的 顺序 ，把 所描 的点 用平滑 的曲 线连 接起 来 释疑点 平 滑曲 线的 特点 所谓的 “平 滑曲 线 ” ， 现 阶段可 理解 为符 合图 象的 发展趋 势 、
4、 让 人感觉 过渡 自然 、 比 较 “ 平”“ 滑 ”的 线， 实际 上有时 是直 线 【例2 】 作出 一次 函数 y 2x 1 的图 象 分析：取几 组对 应值 ，列 表，描 点， 连线 即可 解：列表 ： x 2 1 0 1 y 3 1 1 3 描点： 以表 中各 组对 应值 作为点 的坐 标， 在坐 标系 中描出 相应 的点 连线： 把这 些点 连起 来 注：一 次函 数y 2x1 的图象 是直 线， 连线 时， 两端要 露头 3. 一次 函数 的图 象和 性质 (1)一 次函 数的 图象 和性 质 一次函 数的图 象： 一次 函数 ykxb(k 0) 的图 象是一条 直线 由于 两
5、点 确定一 条 直 线 ， 因 此 画 一 次 函 数 的 图 象 ， 只 要 描 出 图 象 上 的 两 个 点 通常求 出与x轴 的交 点 b k ，0 和与y 轴的 交点(0，b) ， 过这 两点 作一 条直 线就 行了 我们 常常把 这条 直线 叫做 “直线 ykxb” 一次 函数 中常 量 k ，b(k 0) ： 直 线y kx b(k 0) 与 y 轴的 交点 是(0 ，b)，当 b0 时， 直 线与y 轴 的正 半轴 相交； 当 b 0 时， 直 线与y 轴的 负半 轴相 交； 当b 0 时， 直线 经 过原点 ，此 时一 次函 数即 为正比 例函 数 一次 函 数 ykx b
6、中的 k， 决定 了 直线的 倾斜 程 度，k 的绝 对值 越大 ，则 直线越 接 近 y 轴 ，反 之， 越靠 近 x 轴 一次 函 数ykx b(k 0) 的性 质 ： 当k 0 时， 直 线ykxb 从 左向 右上 升 ， 函 数 y 的值随 自变 量x 的增 大而 增大 ； 当 k 0 时， 直线y kxb 从 左向 右下 降， 函 数 y 的 值随 自 变量x 的增 大而 减小 (2)正 比例 函数 的图 象和 性 质 正比 例函 数的 图象 ：一 般地， 正比 例函 数 y kx(k 是常 数，k 0) 的图 象是 一条经 过 原点的 直线 ， 我 们称 它为 直线 y kx.在
7、画正 比例 函 数 ykx 的 图象 时， 一般 是经过 点(0,0) 和(1，k)作 一条 直线 正比 例函 数ykx 的 性 质： 当 k 0 时， 直 线 ykx 经 过第 一、 三象 限， 从 左往右 上 升，即y 随 x 的 增大 而增 大；当 k 0 时 ，直线y kx 经过 第二 、四象 限， 从 左往右 下降 ， 即y 随 x 的 增大 而减 小 【例3 1 】 作 出一 次函 数 y3x 3 的图 象 分析：由于 一次 函数 的图 象是一 条直 线， 因此 只要 过其图 象的 两点 画出 一条 直线 即 可 解：列表 ： x 0 1 y3x3 3 0 描点， 连线 【例 3
8、2 】 若 一次 函数 y (2m 6)x 5 中，y 随 x 增大 而减 小， 则 m 的取 值范围 是 _ 解析： 当我 们知 道函 数的 增减性 后， 就知 道 了 k 的 取值范 围， 因 为y 随 x 增 大而减 小 ， 所以k 就小 于0 ，即2m6 0，m 3. 所以 m 的 取值 范围 是 m3. 答案：m3 析规律 k 与 b 的作 用 在一次 函数 解析 式中 ，k 确定函 数的 增减 性，b 确 定函数 图象 与y 轴的 交点 【例33 】 下图 表示 一 次函 数 y kx b 与正 比例 函数 ykx(k ，b 是常 数， 且 k 0) 图象的 是( ) 解析 ： 对
9、 于两 个不同 的函 数图象 共存 于同 一坐 标系 的问题 ， 常假 设某一 图象 正确 ， 确 定 k，b 的符 号， 然后 再根 据k 或b 的符 号判 断另 一函 数图象 是否 与k ，b 的符 号 相符合 观察 A 中 一次 函数 图象 可 知 k 0，b0 ，而 正比 例 函数的 图象 经过 第二 、四 象限， 此 时k0， 所以A 不 正确 ， 用同样 的方 法可 确 定 B，C 不正确 故 选 D. 答案：D 点技巧 同 一坐 标系 中多 函数图 象问 题 解答这 类问 题一 般首 先根 据正比 例函 数和 一次 函数 的图象 分别 先确 定 k 的符 号， 对比k 的符号 ，
10、 若k 符 号一 致， 才说明 可能 正确 ，再 结合 题中的 其他 条件 确定 最终 正确答 案 4 k，b 的 符号 与直 线所 过象限 的关 系 学习了 一次 函 数y kxb(k0) ， 我 们知 道一 次函 数图象 经过 哪些 象限 是 由k，b 的符 号决定 的 一般 分为 四种 情况： (1)k0，b 0 时， 图象 过第一 、二 、三 象限 ； (2)k0，b 0 时， 图象 过第一 、三 、四 象限 ； (3)k0，b 0 时， 图象 过第一 、二 、四 象限 ； (4)k0，b 0 时， 图象 过第二 、三 、四 象限 析规律 k ，b 的符 号与 直 线的关 系 根据一
11、次函 数y kx b 中k，b 的符 号可 以确 定图 象所经 过的 象限 ； 根 据函 数图象 所经 过的象 限， 可以 确定k ，b 的符号 解 决有 关问 题， 应熟练 把 握k，b 的 符号 与 函数图 象所 经 过象限 的几 个类 型， 并能 灵活应 用 【例 4 1】 一 次函 数 ykxb 的图 象经 过第 二、 三、四 象限 ，则 正比 例函 数 ykbx 的图象 经过 哪个 象限 ？ 分析：要确 定函 数 ykbx 的图象 经过 哪些 象限 ，则 需要确 定kb 的 符号 ，而 kb 的符号 由k 的 符号 和b 的符 号决 定，所 以只 要根 据已 知条 件确 定 k，b
12、的 符号 即可 解 决问题 解： 因为ykx b 的图 象 经过第 二、 三、 四 象限 ， 所以 k 0，b0 ， 所 以 kb 0.所以 函数y kbx 的 图象 经过 第 一、三 象限 【例4 2 】 如图 是一 次函 数 ykxb 的 图象 的大 致 位置 ， 试 分别 确定k ，b 的 正负号 ， 并判断 一次 函 数y(k 1)x b 的图 象所 经过 的 象限 分析：由函 数y kx b 的 图象可 知， 函数 的图 象经 过第一 、三 、四 象限 ，所 以 k0， b0 ， 由 此可 得k 1 0，b 0 ， 从 而确 定一 次 函数 y ( k1)x b 的 图象经 过第 一
13、 、 二、四 象限 解： 观 察图 象可 得 k0，b 0 ， 所以 k 10，b 0 ， 所以 一次 函数y( k1)x b 的 图象 经过 第一 、二 、四象 限 5. 一次 函数 图象 与坐 标轴 的交点 一次函 数的 图象 是直 线 ， 这条直 线 与 x 轴 交于 点 b k ，0 ，与 y 轴 交于 点(0 ，b) 考 查 直线与 两坐 标轴 的交 点的 问题常 见的 有三 类： (1)判定 直线所 过的 象限， 一般给出 函数 关系式 ，判 定直线经 过哪 几个象 限或 确定不 经 过哪个 象限 (2)求 直线 的解 析式， 一般 先设出 函数 关系 式 为 ykx b(k 0)
14、 ， 把 已知 的两 点的坐 标 分别代 入， 求 出k，b 的 值 即可 (3)求两 交点与 坐标 轴围成 的三角形 的面 积，由 于这 个三角形 是直 角三角 形， 利用面 积 公式即 可 【例5 】 如图 ， 已知 直线ykx 3 经过 点M( 2,1) ， 求 此直 线与x 轴，y 轴的 交点坐 标，并 求出 与坐 标轴 所围 的三角 形的 面积 分析： 先将点 M( 2,1)代入 ykx3， 确定 一次 函 数解析 式 ， 再 分别 令 x 0 和 y0， 即可求 出此 直线 与x 轴，y 轴的 交点 坐标 解： 将点M(2,1) 代入y kx3，得 12k 3， 解得k 2， 所
15、以y 2x3. 又 当x0 时， y3，当 y0 时， x 3 2 ， 所 以此直 线 与x 轴， y 轴的 交点 坐标 分别 为 3 2 ，0 ， (0 ，3) 所以所 围三 角形 的面 积为 1 2 3 2 3 9 4 . 点评： 在平 面直 角坐 标系 中求图 形的 面积 时， 通常 把轴上 的边 作为 底， 再利 用点的 坐标 求得底 上的 高， 然后 利用 面积公 式求 解 6 关 于一 次函 数的 最值 问 题 对于一 般的 一次 函数 ， 由 于自变 量的 取值 范围 可以 是全体 实数 ， 因此不 存在 最大 、 最 小 值(简称 “ 最值 ”)， 但在 实际问 题中 ， 因题
16、目 中的 自变量 受到 实际 问题 的限 制， 所以 就有 可 能出现 最大 值或 最小 值 求解这 类问 题， 先分 析问 题中两 个变 量之 间的 关系 是否适 合一 次函 数模 型， 再在自 变量 允许的 取值 范围 内建 立一 次函数 模型 运用 一次 函数 解决实 际问 题的 关键 是根 据一次 函数 的 性质来 解答 除 正确 确定 函数表 达式 外， 利用 自变 量取值 范围 去分 析最 值是 解题的 关键 “ 在生 活中 学数 学， 到生 活中用 数学 ”， 是新 课标 所倡导 的一 个主 旨之 一， 在考题 中 ， 有许多 利用 数学 知识 求解 生活中 的实 际问 题的 试
17、题 ， 考查同 学们 利用 所学 知识 求解实 际问 题 的能力 【例 6 】 某 报刊 销售 亭从 报社订 购晚 报的 价格 是 0.7 元， 销售 价是 每份 1 元 ，卖不 掉 的报纸 可以 以每 份 0.2 元 的价格 退回 报社 ，若 每月 按 30 天计 算， 有 20 天每 天可卖 出 100 份报纸 ， 其余 10 天 每天 只 能卖 出 60 份， 但每 天报 亭 从报社 订购 的份 数必 须相 同， 报亭 每天 从报社 订购 多少 份报 纸， 才能使 每月 所获 得的 利润 最大？ 分析： 若 报亭 每天从 报社 订购 x 份报 纸， 每月 获得 的利润 为 y ， 那 么y 是x 的 一次函 数， 且自变 量的 取值 范围 是 60x1 00 ， 并根 据函 数的 性质来 确定 订多 少份 报纸 解：根据 题意 ，得 y (1 0.7 )( 20x 10 60) (0.7 0.2)(x 60) 10 ， 即 yx4 80(6 0x 10 0 ) 此函 数是 一次 函数 ，且 一次项 的系 数大 于0 ，函 数y 随 x 的 增大 而增 大， 当x 100 时，y 有最 大 值，其 最大 值 为100 480 580( 元) 订购方 案： 每天 从报 社 订100 份 报纸 ，这 样获 得利 润最大 ，最 大利 润 为580 元
