1、1,第二节 函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向有限值时函数的极限,三、函数极限的性质,四、小结 思考题,2,【数列极限】, 整标函数,【函数的极限】,有,两大类情形,一、自变量x时, 的极限,3,1.【精确定义】,如果对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在着正数X ，使得当|x|X 时，恒有|f (x) -A|0, 总存在 d 0, 使得当0|x-x0 |d ,恒有|f (x) -A|e成立，则称x x0时函数f (x)以常数 A为极限，记为,【注意】,意味着,（但不是函数关系，因不唯一）,9,4.【几何意义】,10,【例2】,【证】,【例3】,【证】,11,【例
2、4】,【证】,函数在点x=1处没有定义.但不影响考察该点极限的存在性,12,5.【单侧极限】,【例如】,13,【左极限】,【右极限】,【注意】,14,左右极限存在但不相等,【例6】,【证】,【极限存在定理】,15,三、函数极限的性质,1.【唯一性】,【注】以下仅以 形式为代表给出函数极 限的一些定理，其它形式类推之。,【证明】（略）（自证）,16,【定理2】,【证】,有,则定理2得证,2.【局部有界性】,17,3.【局部保号性】,【证】,有,【证完】,容易推得下面更强的结论：,【定理3 】,18,【定理3*】,【补证】,有,（1）,由（1）式得,19,【推论】,【证明】,利用定理3反证之（略）
3、.,由（1）式得,【证完】,20,4.【子列收敛性】(函数极限与数列极限的关系),【定义】,【定理4】,21,【分析】,【证】,22,【例如】,【证完】,综合上述画线部分即得,23,函数极限与数列极限的关系（海因定理）,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,【说明】,常用海因定理来判断函数在某变化过程中的极限不存在,【推广】,方法一：,找两子列，求得对应的两函数值子列极限值不相等.,或找一个子列，对应的函数值子列的极限值不存在.,方法二：,24,【例7】（补）,【证】,25,二者不相等,【补充练习】,【解】,取,和,但,由海因定理,故原极限不存在,令,26,四、小结,【数列、函数极限的统一定义】,(见下表),27,28,【思考题】,29,【思考题解答】,左极限存在,右极限存在,不存在.,
