1、1.2.2 函数的表示法1函数的表示法(1)解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式比如，计划建成的京沪高速铁路总长约 1 305 km，设计时速 300350 km/h建成后，若京沪高速铁路时速按 300 km/h 计算，火车行驶 x 时后，路程为 y km，则 y 是 x 的函数，可以用y300x 来表示，其中 y300 x 叫做该函数的解析式(2)图象法以自变量 x 的值为横坐标，与之对应的函数值 y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点(x ，f(x)，这些点组成的图形称为函数 f(x)的图象，这种用图象表示两个变量之
2、间对应关系的方法叫做图象法比如，如图所示为艾宾浩斯遗忘曲线，表示记忆数量(百分比 )与天数之间的函数关系(3)列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量取的值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法比如，某水库的存水量 Q 与水库最深处的水深 H 的关系如下表所示：水深 H/m 5 10 15 20 25 30 35存水量 Q/104m3 25 42 85 164 275 437 650从表中可以看出，每一深度 H 都对应唯一的一个存水量 Q，这个表给出了 H 与 Q 之间的对应关系，也就是函数关系(4)函数的三种表示法的优缺点比较：优点 缺点 联系解析法
3、简明，全面地概括了变量间的关系通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示出自变量取较少的有限值的对应关系图象法 能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数【例 11】已知函数 f(x)的定义域 Ax|0x2，值域 By |1y2 ，下列选项中，能表示 f(x)的图象的只可能是( )解析：根据函数的定义，观察图象，对于选项 A，B，值
4、域为y |0y 2，不满足题意，而 C 中当 0x 2 时，一个自变量 x 对应两个不同的 y，不是函数故选 D答案：D【例 12】购买某种饮料 x 听，所需钱数是 y 元若每听 2 元，试分别用解析法、列表法、图象法将 y 表示成 x(x 1,2,3,4)的函数，并指出函数的值域分析：购买 x 听，需钱数 2x 元，但需注意函数的定义域是1,2,3,4，只有 4 个元素解：(解析法) y2x，x 1,2,3,4(列表法)x 1 2 3 4y 2 4 6 8(图象法)2分段函数(1)定义：有些函数在其定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数分段函数的表
5、达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段谈重点 学习分段函数两要点 (1)分段函数是一个函数，切不可把它看成几个函数分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是自变量 x 的不同取值范围的并集，值域是每段的函数值 y 的取值范围的并集(2)常见的分段函数类型 举例含有绝对值符号的函数 f(x)| x1| 1.x 自定义函数 f(x) 212.x 取整函数 f(x)x (x表示不大于 x 的最大整数)符号
6、函数 f(x)( 1) x (x N)1. 为 数为 数 【例 21】下列给出的式子是分段函数的是( )f(x) 5.xf(x) 2.R f(x) 2315.x f(x) 0.x A BC D解析：对于，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系对于，当x2 时，f(2)3 或 4，故不是函数对于，当 x1 时，f (1)5 或 1，故不是函数对于，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系答案：B谈重点 分段函数的判断 不能从形式上判断一个式子是否为分段函数，关键看其是否符合函数的定义【例 22】如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为_，值域为_解析：由图象可知，第一
7、段的定义域为1,0)，值域为0,1)；第二段的定义域为0,2，值域为1,0因此该分段函数的定义域为1,0) 0,2 1,2，值域为 0,1) 1,0 1,1)答案：1,2 1,1)【例 23】已知函数 f(x) 求 f(2)，f(3)的值20 解：20，f(2)2 2430，f(3)0点技巧 处理分段函数问题有技巧 (1)处理分段函数问题时，首先要明确自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系；(2)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集3映射(1)映射的定义一般地，设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集
8、合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射谈重点 对映射的理解 (1)映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不相同的；(3)映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合 B 中存在元素在集合 A 中没有元素与之对应；(5)映射允许集合 A 中不同的元素在集
9、合 B 中对应相同的元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”(2)映射与函数的联系【例 31】下列对应是 A 到 B 上的映射的是( )AAN *，B N * f：x |x3|BAN *，B 1,1，2 f：x(1) xCAZ ，BQ f：x 3DAN *，B R f：x x 的平方根解析：对于 A 项，A 中的元素 3 在 B 中没有与之对应的元素，故不符合对于 B 项，对任意正整数，(1) x 为 1 或1，在 B 中都有唯一的 1 或1 与之对应，故符合对于 C 项，A 中的 0 在 f 作用下无意义，故不符合对于 D 项，正整数在实数集 R 中有两个平方根与之对应，故
10、不符合答案：B【例 32】已知集合 A1,2,3，9 ，BR，从集合 A 到集合 B 的映射f：x 1(1)与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是什么？(2)与 B 中元素 相对应的 A 中的元素是什么？49分析：已知对应关系，分别代入求值即可解：(1)A 中元素 1，即 x1，代入对应关系得 ，即与 A 中元素 1 相123x对应的 B 中的元素是 13(2)B 中元素 ，即 ，解得 x4，因此与 B 中元素 相对应的 A 中的元素是4929x4944函数解析式的求法求函数的解析式的常用方法有：(1)代入法：如已知 f(x)x 21，求 f(xx 2)时，有 f(xx 2)( x2x
11、)21(2)待定系数法：已知 f(x)的函数类型，要求 f(x)的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可例如，一次函数可以设为 f(x)kxb( k0)；二次函数可以设为 f(x)ax 2bxc( a0)等(3)拼凑法：已知 f(g(x)的解析式，要求 f(x)时，可从 f(g(x)的解析式中拼凑出“g(x )”，即用 g(x)来表示，再将解析式两边的 g(x)用 x 代替即可(4)换元法：令 tg( x)，再求出 f(t)的解析式，然后用 x 代替 f(g(x)解析式中所有的 t 即可(5)方程组法：已知 f(x)与 f(g(x)满足的关系式，要求 f(x)时，可用 g(x)代替两边
12、的所有的x，得到关于 f(x)及 f(g(x)的方程组解之即可得出 f(x)；例如，已知 f(x)2f(x )4x 2x，求 f(x)的解析式解：以x 代替 x 可得：f(x )2f(x)4x 2x，联立方程组： 2)(ff 解得 f(x) x243(6)赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围_【例 4】求下列函数的解析式(1)已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)1，f(x1)f( x)2x，求 f(x)；(2)已
13、知 f( 1)x ，求 f(x)；2(3)已知 f(x) x(x 0)，求 f(x)；12(4)已知对任意实数 x，y 都有 f(xy)2f( y)x 22xyy 23x3y ，求 f(x)分析：(1)已知 f(x)是二次函数，可用待定系数法设出函数解析式，然后利用已知条件求出待定系数即可；(2) 可用换元法求解，令 1t；也可用拼凑法，将 x 拼凑成关于21 的式子；(3) 用 x 替换 ，构造关于 f(x)与 的方程组，解方程组求出 f(x)；(4)利x 用赋值法，令 xy 0，求出 f(0)的值，再令 y0，求得 f(x)，也可令 x0，求出 f(y)，进而可得 f(x)解：(1)设所求
14、的二次函数为 f(x)ax 2bxc( a0)，f(0)1，c1，则 f(x)ax 2bx1又f(x 1)f(x )2x 对任意 x R 成立，a(x 1)2b(x 1)1(ax 2 bx1)2x，即 2axab2x由恒等式性质，得 20ab 1. 所求二次函数为 f(x)x 2x1(2)(方法一 )令 1t，则 t1，即 x(t1) 2，则 f(t)(t1) 22( t1)t 21故 f(x)x 21( x1) (方法二) ( 1) 2x 1，x ( 1) 21f( 1)( 1) 21，其中 11xf(x)x 22， x1(3) f(x) x，将原式中的 x 替换为 ，得 2f(x) 1x于
15、是得关于 f(x)与 的方程组112,(),fxx解得 f(x) (x0)23(4)(方法一 )f(x y)2f( y)x 22xyy 23x3y 对任意 x，y R 都成立，故可令xy 0，得 f(0)2f(0)0，即 f(0)0再令 y0，得 f(x)2f(0)x 23x，f( x)x 23x(方法二) 令 x0，得 f(y)2f(y)y 23y，即f(y)y 2 3y因此 f(y)y 2 3y故 f(x)x 2 3x点技巧 解含有两个变量的解析式的方法赋值法 所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊
16、值，可以根据函数特征来定5函数图象的作法(1)作函数图象的常用方法：描点法：描点法是作函数图象的基本方法根据函数解析式，列出函数中 x 与 y 的一些对应值的表，然后分别以它们为横、纵坐标，在坐标系中描出点，最后用平滑的曲线将这些点连起来，就是函数的图象，即“列表描点连线”利用基本函数图象作出所求的图象，已学过的基本函数图象有：常数函数的图象，例如f(x) 1 的图象为平行于 x 轴的一条直线；一次函数的图象，例如 f(x)3x1 的图象是一条经过一、二、四象限的直线；二次函数的图象，例如 f(x)2x 2x 1 的图象是一条抛物线；反比例函数的图象，f(x ) (k0，且 k 为常数)，当
17、k0 时，其图象是在一、三象限内，以原点为对称中心的双曲线；当 k0 时，其图象是在二、四象限内，以原点为对称中心的双曲线变换作图法：1平移：yf(x ) yf (xa) - - - - - - - - - - - - - 向 左 平 移 a个 单 位 长 度 yf(x) yf(x a) - - - - - - - - - - - - 向 右 平 移 a个 单 位 长 度 yf(x) yf(x )b - - - - - - - - - - - - 向 上 平 移 b个 单 位 长 度 yf(x) yf(x)b - - - - - - - - - - 向 下 平 移 b个 单 位 长 度 2对称
18、：yf(x ) yf (x) - - - - - - - - - - 关 于 x轴 对 称 yf(x) yf(x) - - - - - - - - 关 于 y轴 对 称 yf(x) yf(x) - - - - - - - - - 关 于 原 点 对 称 yf(x)y|f(x )|； - - - - - - - - - - - - - 保 留 x轴 上 方 图 象 ，再 把 x轴 下 方 图 象 对 称 到 上 方yf(x)yf(|x |) - - - - - - - - - - - - - 保 留 y轴 右 边 的 图 象 ，再 在 y轴 左 边 作 其 关 于 y轴 的 对 称 图 象(2)
19、分段函数图象的作法画分段函数 yError! (D1，D 2，两两交集是空集)的图象步骤是：画函数 yf 1(x)的图象，再取其在区间 D1 上的图象，其他部分删去不要；画函数 yf 2(x)的图象，再取其在区间 D2 上的图象，其他部分删去不要；依次画下去；将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象注意：在作每一段的图象时，先不管自变量的限制条件，作出其图象，再保留自变量限制条件内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，若端点包含在内，则用实点表示；若端点不包含在内，则用虚点表示，要保证不重不漏_【例 51】作出下列函数的图象：(1)y1x，x Z；(2)yx 22x，x 0,3)解
20、：(1)函数 y1x，x Z 的图象由一些点组成，这些点都在直线 y1x 上，如图所示；(2)因为 0x3，所以函数 y x22x，x 0,3)的图象是抛物线 yx 22x 位于 0x3 之间的一部分，如图所示图图辨误区 作函数图象三注意 (1)函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，例如函数 y1x ，x Z 的图象就是一些离散的点；(2)画函数的图象时要注意函数的定义域，例如函数 yx 22x，x 0,3)的定义域为区间0,3)，故其图象不是整条抛物线，而应是抛物线的一部分；(3)一般用描点法作图象，作图时要先找出关键点，再连线例如本题画函数 yx 22x，x0,3)的图
21、象时，要先描出两个端点及顶点，再依据二次函数的图象特征作出函数图象，注意3 不在定义域内，从而点(3,3)处用空心点【例 52】作下列各函数的图象(1)1,0,xy (2)y|x 1| ；(3)y|x |1解：(1)这个函数的图象由两部分组成：当 0x1 时，为双曲线 的一段；当 x11yx时，为直线 y x 的一段，如图 图图(2)(方法一 )所给函数可写成 是端点为(1,0)的两条射线，如图1xy (方法二) 可以先画函数 yx 1 的图象，然后把其在 x 轴下方的图象对称到上方如图图图图(3)(方法一 )所给函数可写成 如图10xy (方法二) 可以先画出函数 y|x|1 在 y 轴右侧
22、，即 yx1(x 0)的图象，然后按照关于 y轴对称作出函数 y|x |1 在 y 轴左侧的图象即可如图【例 53】作出下列函数的图象(1)y|x 2| |x5|；(2)y|x 5| |x3|分析：要画图象，先化简解析式，据 x 不同的取值范围去掉绝对值符号解：(1)7(2235)x 其图象如图 a图 a图 b(2)2(3)85.xy 其图象如图 b点技巧 含绝对值的函数图象的作法 含有绝对值的函数，可以根据去绝对值的法则去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式画出图象6与分段函数有关的问题(1)已知自变量的取值，求函数值已知分段函数 f(x)的解析
23、式，求 f(a)时，首先要根据 a 所在的范围来确定函数的对应关系，再将 xa 代入相应的对应关系即可，如：已知 f(x) 求 f(1)因为10，10x 此时 f(x)0，所以 f(1)0(2)已知函数值，求自变量的取值f(x)是一个分段函数，函数值的取值直接依赖于自变量 x 属于哪一个区间，所以要对 x 的可能取值范围逐段进行讨论即：设分段函数 f(x) 已知 f(x0)a，求 x01122)xI 步骤如下：当 x0 I1 时，由 f1(x0)a，求出 x0；验证 x0 是否属于 I1，若是则留下，反之则舍去；当 x0 I2 时，由 f2(x0)a，求出 x0，判断 x0 是否属于 I2，方
24、法同上；写出结论(3)已知 f(x)，解不等式 f(x)a在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围(即解不等式 )的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的某段上，然后相应求出在这段定义域上自变量的取值范围，再与这段定义域求交集即可即对于分段函数 f(x)Error!f(x)a 等价于Error! 或Error!其他分段函数仿照解决【例 61】已知函数 f(x) 212.x (1)求 f( 5)，f( )， 的值；35f(2)若 f(a)3，求实数 a 的值解：(1)由5 (，2， (2,2)， (，2知，52f(5)514，f( )( )22( )3 ， 1352f，32 (2,2)， 253324ff(2)当 a2 时，f( a)a1，即 a13，a22，不合题意，舍去；当2a2 时，f(a)a 22a，即 a22a3，a 22a30，解得 a1，或 a31 (2,2) ，3( 2,2)，a1 符合题意；当 a2 时，f(a)2a1，即 2a13，a2，符合题意综上可得，当 f(a)3 时，a1，或 a2【例 62】已知 f(x) 若 f(x)2，求 x 的取值范围.x 解：当 x2 时，f( x)x 2，由 f(x)2，得 x22，解得 x0，故 x0；
