1、1.2.1 函数的概念1函数的概念(1)函数的概念：设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A到集合 B 的一个函数，记作 yf(x )，x A其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A叫做函数的值域显然，值域是集合 B 的子集比如，甲、乙两地相距 30 km，某人骑车从甲地去乙地，速度是 12 km/h，出发 t 小时后行驶的路程是 s km，则 s 是 t 的函数，记为
2、s 12t，定义域是t|0 t2.5，值域为s|0s 30对集合 t|0t2.5中的任意一个实数，在集合 s|0s30中都有唯一的数s12t 和它对应对函数概念的理解“A，B 是非空的数集”，一方面强调了 A，B 只能是数集，即 A，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的函数的三要素是：定义域、对应关系、值域定义域就是非空数集 A，而值域不一定是非空数集 B，而是非空数集 B 的子集例如，设集合 A x|x0，x R，BR，按照确定的对应关系 f：取倒数，对于集合 A 中的任意一个数 x，在 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应
3、，于是 yf(x ) 就称为从集合 A 到集1x合 B 的一个函数此时 A 是函数 y 的定义域，而值域 D y|y0，y R，显然 DB，但1x D B函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集 A 中的任意一个(任意性 )元素 x，在非空数集 B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素 y 与之对应这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数【例 11】下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是( )AA R，B R，x 2y 21BA1,2,3,4，B0,1，对应关系如图：CAR，BR，f：x y 12xDAZ，BZ，f：xy 解析：对于 A 项，x 2y 21 可化为
4、 ，显然对任意 x A，y 值不唯一，故不2yx符合对于 B 项，符合函数的定义对于 C 项，2 A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合对于 D 项，1 A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合答案：B点技巧 判断一个对应关系是否是函数关系的方法 从以下三个方面判断：(1)A ，B 必须都是非空数集；(2) A 中任一实数在 B 中必须有实数和它对应；(3)A 中任一实数在 B 中和它对应的实数是唯一的注意：A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余【例 12】下列图形中不能确定 y 是 x 的函数的是( )解析：y 是 x 的函数，必须满足对于任意给定的 x 值，y 都有唯
5、一确定的值与之对应图象A，B， C 所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量 x，都有唯一确定的 f(x)和它对应但图象 D 不是，它表示的对应关系中，对于自变量 x，一般都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义答案：D点技巧 由图形判断从 A 到 B 的对应是否是函数关系有技巧 (1)任取一条垂直于 x 轴的直线 l；(2)在集合 A 中移动直线 l；(3) 若直线 l 与集合 B 所在图形有且只有一个交点，则是函数；否则不是函数(2)对符号 f(x)的理解f(x)表示关于 x 的函数，又可以理解为自变量 x 对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号 f(x)，如 f，x ，( x)等
6、是没有意义的符号 f 可以看作是对 “x”施加的某种法则或运算，例如 f(x)x 2x5，当 x2 时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去 2，最后加上 5；对于 f(x)中 x 的理解，虽然 f(x)3x 与 f(x1)3x 从等号右边的表达式来看是一样的，但由于 f 施加法则的对象不一样(一个为 x，而另一个为 x1)，因此函数解析式也是不一样的；函数符号 f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；f(x)与 f(a)，a A 的关系：f(x)表示自变量为 x 的函数，表示的是变量，f(a) 表示当 xa时的函数值，是一个值域内的值
7、，是常量，如 f(x)x 1，当 x3 时，f (3)314【例 13】已知函数 f(x)3x 25x2(1)求 f(3)， ，f(a)，f (a1)；(2)若 f(x)0，求 x分析：(1)直接将自变量的值代入函数关系式计算求解；(2)已知函数值为 0，建立关于自变量 x 的方程，求解即可解：(1)f(3)33 2532 14，f( )3( )25( )28 ，5f(a)3a 25a2，f(a1)3( a1) 25(a1)23a 2a(2)f(x) 0，3x 25x20，解得 x1 或 辨误区 求函数值易出现的错误 求函数值时，注意将对应的 x 的值或代数式整体代入函数关系式求解，否则容易导
8、致错误，例如本题容易将 f(a1) 误解为 f(a)1，从而得出 f(a1)3a 25a3 的错误结论【例 14】已知函数 ，g(x)x 22，则 f(g(2)_，g(f(2)1()f_解析：g(2)2 226，f( g(2)f(6) ，f(2) ，g( f(2)1671232 1319答案： 7点技巧 函数值的求法 求函数值时，首先要确定函数的对应关系 f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于 f(g(x)型的求值，按“由内到外 ”的顺序进行，要注意 f(g(x)与g(f(x)的区别2区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式设 a，b 是两个实数，而且 ab我们规定：(1)满足不等
9、式 ax b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为a，b ；(2)满足不等式 ax b 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为(a，b) ；(3)满足不等式 ax b 或 a xb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a，b) ，(a，b这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点其中 a 叫做左端点，b 叫做右端点实数集 R 可以用区间表示为(，)，“”读作“无穷大 ”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”我们可以把满足 x a，x a，xb，x b 的实数 x 的集合分别表示为a，)，( a， )，( ，b，(，b) 区间的几何表示如下表所示：定义 名称 符号 数轴表示x|a
10、xb 闭区间 a，bx|axb 开区间 (a，b)x|axb 半开半闭区间 a，b)x|axb 半开半闭区间 (a，bx|xa 半开半闭区间 a，)x|xa 开区间 (a，)x|xa 半开半闭区间 (，ax|xa 开区间 (，a)R 开区间 (，)谈重点 对区间的理解 (1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将 ba 称之为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如 a(2)对于一个点的集合，可以在数轴上用一个实心点表示(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心与空心的区别(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示，而对于取值范围，则既可以用区
11、间也可以用集合，还可以用不等式直接表示(5)由于区间是集合的一种形式，因此对于集合的运算和集合中的符号仍然成立如x 2， )，0,6) 1,30,3等(6)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆(7)无穷大是一个符号，不是一个数以“”或“”为区间一端时，这一端必须是小括号【例 21】将下列集合用区间表示出来(1)x|x 1；(2)x|x 0；(3)x|1x5；(4)x|0x1，或 2x4 解：(1)x| x11，)(2)x|x 0( ，0) (3)x|1x5(1,5 (4)x|0x1，或 2x4 (0,1) 2,4【例 22】已知
12、区间2a,3a5，求 a 的取值范围解：由题意可知 3a52a，解之得 a1故 a 的取值范围是(1，)3函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等释疑点 满足什么条件的两个函数相等 (1)由函数的定义可知，函数的三要素为：定义域、对应关系、值域当两个函数的三要素对应相同时，这两个函数是相等的，但由于函数的值域是由定义域和对应关系决定的，因此当两个函数的定义域和对应关系相同时，它们的值域也一定相同故只要两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就相等(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不
13、能唯一确定函数的对应关系，例如：函数 f(x)x 和函数 f(x)x 的定义域相同，均为R；值域也相同，均为 R，但这两个函数不是同一函数【例 31】下列函数与函数 g(x)2x 1(x2)相等的是( )Af(m)2m 1(m2)Bf(x) 2x1(x R)Cf(x) 2x1(x 2)Df(x)x2( x1)解析：对于 A 项，函数 yf( m)与 yg(x)的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于 B 项，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于 C 项，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于 D 项，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数答案：A【例 32】
14、判断下列各组中的函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数，并说明理由(1)f(x)x 2，g(x )(x 1) 2；(2)f(x)( x1) 0，g( x)1；(3)f(x)x，g(x) ；(4)f(x)|x |，g(x) 2分析：求出函数 f(x)与 g(x)的定义域，若两者定义域不同，则两函数不为同一函数；若定义域相同，分别化简 f(x)与 g(x)的解析式，若化简后两者解析式相同，则两函数为同一函数，否则两函数不为同一函数解：(1)定义域相同都是 R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数(2)函数 f(x)的定义域是 x|x1 ，函数 g(x)的定义域为 R，它
15、们的定义域不同，故不是同一个函数(3)定义域相同都是 R，但是 f(x)x，g(x)|x |，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一函数(4)定义域相同都是 R，解析式化简后都是 y|x |，即对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故是同一个函数辨误区 判断两个函数是否相等易忽略两点 (1)判断两个函数是否相等的唯一依据是它的定义，即由定义域和对应关系是否相同确定，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关，例如函数 yf( x)，x A 与函数 uf(t)，t A 是同一函数；(2)为了便于判断两个函数是否是同一个函数，对复杂的解析式可先化简再比较，但要注
16、意化简前后的等价性，如 f(x)，不能写成 f(x)x 2，而应当是 f(x)x 2(x2)；g( x) ，不能写成 g(x)x ，而应x2 4x 2 x2当是 g(x)| x|，这是容易出错的地方，要特别重视4具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量 x 的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的 x 的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：若 f(x)为整式，则其定义域为实数集 R若 f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于 0 的实数的集合若 f(x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于
17、 0 的实数的集合若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集实际问题中，定义域要受到实际意义的制约(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：列出使函数有意义的 x 所适合的式子( 往往是一个不等式组)；解这个不等式组；把不等式组的解表示成集合 (或者区间)作为函数的定义域【例 4】求下列函数的定义域：(1) ；31yx(2) ；0()|(3) 123yxx解：(1)因为要使函数有意义，需 x1 且 x0，所以函数0x且0且的定义域为(，0) (0,131yx(2)由 得 因此 x0 且 x10且1x且故原函数的定义域为x |x0，且 x1(
18、3)因为要使函数有意义，需 解得 x 2 且 x0，23,所以函数 的定义域为 (0,2)12yxx3,辨误区 求函数定义域时两点需注意 (1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简例如，求函数 y 的定义域时，不能将 y 化简为 yx ，而求得定义域为 R 的错误结x2x x2x论；(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来5抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：已知 f(x)的定义域，求 f(g(x)的定义域； 已知 f(g(x)的定义域，求 f(x)的定义域下面介绍一下这两种题型的解法(1)已知 f(x)的定义域，求 f(g
19、(x)的定义域一般地，若 f(x)的定义域为a，b，则 f(g(x)的定义域是指满足不等式 ag( x)b 的 x 的取值范围其实质是由 g(x)的取值范围，求 x 的取值范围(2)已知 f(g(x)的定义域，求 f(x)的定义域函数 f(g(x)的定义域为 a，b，指的是自变量 x a，b一般地，若 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域就是 g(x)在区间a，b上的取值范围( 即 g(x)的值域) 其实质是由 x 的取值范围，求 g(x)的取值范围_【例 51】(1)已知函数 f(x)的定义域为 1,2，求函数 yf(2x1) 的定义域；(2)已知函数 yf(2x 1)的定义域
20、为1,2，求函数 yf( x)的定义域；(3)已知函数 yf(2x 1)的定义域为1,2，求函数 yf(2 x1)的定义域解：(1)设 2x1t，由于函数 yf(t)的定义域为1,2，故 1t 2，即 12x 12，解得0x ，所以函数 yf(2x 1)的定义域为 0,2(2)设 2x1t，因为 1x2，所以 32x15，即 3t5，函数 yf( t)的定义域为3,5由此得函数 yf( x)的定义域为3,5(3)因为函数 yf(2x 1)的定义域为1,2，即 1x2，所以 32x 15所以函数 yf(x)的定义域为3,5由 32x15，得 2x 3，所以函数 yf(2x1)的定义域为2,3点技
21、巧 求抽象函数定义域有技巧 (1)正确理解函数的定义域就是自变量 x 的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系 f 下括号内的范围是一样的，即 f(t)，f(g( x)，f (h(x)中的t，g(x )，h( x)的取值范围相同【例 52】若函数 f(x)的定义域为 2,1，求 g(x)f(x )f( x)的定义域分析：f(x)f(x )的定义域是指当 x 在什么范围内取值时，才能使 x，x 都在2,1 这个区间内，从而 f(x)f(x )有意义解：由题意，得 即1x1且故 g(x)f(x)f(x )的定义域为 1,16函数值域的求法(1)常见函数的定义域和值域：一次函数 f(x)kx
22、b(k0) 的定义域是 R，值域是 R反比例函数 f(x) (k0)的定义域是(，0) (0， )，值域是( ，0)kx (0， ) 二次函数 f(x)ax 2bxc( a0)的定义域是 R当 a0 时，值域是 ；当f( b2a)， )a0 时，值域是 ( ，f( b2a)(2)求函数值域的常用方法观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；如求函数 y 的值域时，由 x20 及 4x 20 知 0,2故所求的值域为4 x2 4 x20,2配方法：若函数是二次函数形式即可化为 yax 2bx c(a0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要
23、注意给定区间二次函数最值的求法换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域例如形如 yaxb 的函数，我们可令cx d t，将函数 y 转化为关于自变量 t 的二次函数，然后利用配方法求其值域cx d分离常数法：将形如 y (a0)的函数，分离常数，变形过程为 cx dax b cx dax b ，再结合 x 的范围确定 的取值范围，从而确定函数的值域ca(ax b) d bcaax b cad bcaax bd bcaax b(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累除了上述常用的方法外，
24、还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约例如，求函数 y2x 1，x (1,1的值域解：画出 y2x1 的图象由图象可知 y2x 1，x (1,1的值域为(1,3_【例 6】求下列函数的值域(1)y2x1，x 1,2,3,4,5；(2)y 1；(3)yx 24x6，x 1,5)；(4) ；5(5) ；231x(6)yx 解：(1)x 1,2,3,4,5，y 3,5,7,9,11所求函数的值域为3,5,7,9,11(2)利用我们熟知的 的取值范围求x 0，x 11函数 y 1 的值域为1，)(3)配方：yx 2 4
25、x6(x 2) 22，x 1,5)，由图所示，所求函数的值域为2,11)(4)借助反比例函数的特征求5142xy0()4x51(2)47()x 0，24y 5函数 的值域为 142x5,4yR且(5) (x1)，3()321xy又 ，172()xx当 x1 时，原式 3y函数 的值域为 241x12,3yyR且(6)设 ，u则 (u0)，21x于是 y u (u0)21)由 u0，可知(u1) 21，y 12函数 yx 的值域为 ,2辨误区 求函数值域易疏忽的问题 (1)求函数值域时一定要注意其定义域的影响，如函数yx 24x6 的值域与函数 yx 24x6，x 1,5)的值域是不同的；(2)
26、 在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数 yx 的值域时，令21，将函数 y 转化为关于自变量 t 的二次函数后，自变量 t 的范围是 t01t7函数与集合的综合应用定义域、对应关系和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交会处设置题目解决此类综合应用问题时，要注意：(1)能够正确求出函数的定义域可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料小麦，值域就是这个工厂的产品面粉因此，要
27、看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了(2)能正确解决有关集合问题如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或 Venn 图找到解决问题的思路等等_【例 71】在下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中，不可以确定 y 是 x 的函数的是( )Ax|x Z，By |y Z，对应关系 f：xy ；3Ax|x0， x R，B y|y R，对应关系 f
28、：xy 23x；AR，B R，对应关系 f：xy x 2；A(x，y)|x R，y R，BR，对应关系 f：(x，y)sx yA BC D解析：在对应关系 f 下，A 中不能被 3 整除的数在 B 中没有象，所以不能确定 y 是 x 的函数在对应关系 f 下 A 中的数在 B 中有两个数与之对应，所以不能确定 y 是 x 的函数显然 y 是 x 的函数A 不是数集，所以不能确定 y 是 x 的函数答案：D【例 72】已知函数 f(x) 的定义域是集合 A，函数 g(x)201的定义域是集合 B，若 A BB，求实数 a 的取值范围013axa解：要使函数 f(x)有意义，自变量 x 的取值需满
29、足 解得1x 1因此0且A x|1x 1要使函数 g(x)有意义，自变量 x 的取值需满足 解得 2ax 1a20ax且由于函数的定义域不是空集，所以有 2a1a，解得 a1因此 Bx|2ax1a 由于 A BB ，则 B A，则有 解得 a 01a且故实数 a 的取值范围是 a0，即 a 2,28创新拓展题与本节内容有关的创新拓展题，一般为求值问题，但要求的式子较多，不便或不能一一求解我们在解决这类问题时，要注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律，进而去化简，从而得出问题的求解方法例如：已知 f(x) ，求 f(1)f(2) f(3) f(4) 的值21121314f解：根据所求式子特点，
30、猜测 f(a) 的值应为定值，下面求 f(a) 的值，f(a) 12221a于是 f(2) f(3) f(4) 1，f(2) f (3) f (4)341213 314又 f(1) ，所以 f(1)f(2) f(3) f(4) 212314f72_【例 81】已知 a，b N*，f(ab)f(a) f(b)，f(1)2，则 ()312ff_(20)(3)2ff解析：分子是 f(x)，分母是 f(x1)，故先根据 f(ab)f(a)f (b)，求出 f(x)与 f(x1) 的关系，即求出 的值，再代入求值(1ff(ab) f( a)f(b)，f(1)2，令 ab1，得 f(2)f(1)f(1)4 2()1f令 a2，b1，得 f(3)f(2) f(1)8 23()f故猜测 2，下面我们具体来求 的值()fx1x令 ax1，b1，得 f(x)f(x11)f(x 1) f(1)2f(x1)，于是 2(x 2，x N*)故 ()31ff(01(3)2ff22222 0124 024答案：4 024【例 82】已知函数 f(x) 21
