1、1.2.1 集合之间的关系1子集一般地，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A B 或 BA.读作“A 包含于 B”，或“B 包含 A”理解子集的定义要注意以下七点：(1)“A 是 B 的子集”的含义：集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，即由任意xA，能推出 xB.例如：1,2,3N，NR，x|x 为山东人x |x 为中国人等(2)当集合 A 中存在着不是集合 B 的元素，我们就说 A 不是 B 的子集，记作“A B”(或 BA)，读作“A 不包含于 B”(或“B 不包含 A”)例如：A1,2,3不是 B2,3,4,5,6
2、的子集，因为集合 A 中的元素 1 不是集合 B 中的元素(3)任意一个集合是它本身的子集因为对于任意一个集合 A，它的任意一个元素都属于集合 A 本身，记作 AA .例如：1,51,5等(4)空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合 A，都有 A.(5)在子集的定义中，不能理解为子集 A 是 B 中的“部分元素”所组成的集合因为若 A，则 A 中不含任何元素；若 AB，则 A 中含有 B 中的所有元素但在这两种情况下集合 A都是集合 B 的子集(6)包含关系具有传递性：对于集合 A，B，C，若 AB ，BC，则 AC .(7)写集合的所有子集时，注意按一定顺序写出，避免遗漏和重复【例 1
3、】已知集合 M0,1，集合 N0,2,1 m，若 MN ，则实数 m_.解析：MN，M0,1，1N .1m1，即 m0.答案：0点技巧 有限集合子集的确定技巧(1)确定所求的集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到2真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B的真子集，记作 A B 或 B A，读作“A 真包含于 B”，或“B 真包含 A”例如：11,2,3关于真子集注意以下四点：(1)空集是任何非空集合的真子集(2)对于集合 A， B，C，若 A B，B C，
4、则 A C.(3)任何集合都一定有子集，但是不一定有真子集，空集没有真子集一个集合的真子集的个数比子集的个数少 1，即少了它本身(4)由真子集的定义可知，集合 A 中的任何一个元素必定是集合 B 中的一个元素；但集合 B中的元素，至少有一个不属于 A.要证明“A B”，应先证明 AB，再证明 B 中至少有一个元素 a，使得 a A 即可例如，已知集合 Aa，b ，集合 B a，b，c，d ，试判断集合A，B 的真包含关系显然 A B，又因为 B 中存在一个元素 c，而 c A，所以 A B.【例 2】下列命题：空集没有子集；任一集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若 A，则 A ，其中
5、正确的有( )A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：对于，空集是任何集合的子集，故 ，即不正确；对于 ， 只有一个子集，是其自身，即不正确；对于，空集不是空集的真子集，即不正确；对于，空集是任何非空集合的真子集，即正确答案：B谈重点 对真子集的理解(1)若集合 A 是集合 B 的真子集，则集合 A 中所有元素都属于集合 B，并且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A；(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的，若集合 A 不是集合 B的子集，则 A 一定不是 B 的真子集；(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集3维恩图在数学中，常用平面内一条
6、封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图比如，中国的直辖市组成的集合为 A，用维恩图表示，如图所示【例 3】如图，下面对集合 A，B，C，D 的关系描述正确的是( )ABC BDACA B DA C解析：由题图易知 A C D，B D.答案：D谈重点 对 Venn 图的理解(1)Venn 图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制(2)Venn 图也是集合的表示方法之一4集合相等一般地，如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，反过来，集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元素，那么我们就说集合 A 等于集合 B，记作 AB.谈重点 对集合相
7、等的理解1AB A B，且 BA，这是证明两个集合相等的重要依据；2集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等【例 41】下列集合 PQ 的是( )AP1,4,7，Q1,4,6BPx|2 x20 ，Q1C3P,3QDPQ解析：对于 A,7P，而 7 Q，故 PQ；对于 B，Px |2x201 Q ；对于C，由 3P,3Q，不能确定 PQ，QP 是否同时成立；对于 D，仅由 PQ 无法确定 P 与Q 是否相等答案：B【例 42】已知 A1 ，a，b ，Ba，a 2，ab，且 AB，求实数 a，b.分析：由 AB 知，集合 A
8、，B 中元素相同，故可列出 a，b 的两个方程组，从而解出 a，b的值要注意验证所得结果是否满足集合中元素的互异性解：由集合相等的定义，得 或 21=,ab2,.b解得 或=1,abR,0解得 ,.所以由集合中元素的互异性，知 a1，b0.5集合关系与其特征性质之间的关系设 Ax|p(x) ，B x|q(x )，则有集合间的关系 特征性质间的关系AB p(x)q(x)AB q(x)p(x)AB p(x) q(x)【例 5】已知集合 A x|x1 a2，aR，By|y a 24a5，aR ，判断这两个集合之间的关系，并判断它们的特征性质之间的关系分析：首先化简集合，可以得出集合之间的关系，从而得
9、出其特征性质之间的关系解：因为 x1a 2(aR)，所以 x1.因为 ya 24a5( a2) 2 1(aR)，所以 y1，故 Ax|x1，By |y1 ，所以 AB .故它们的特征性质之间的关系为x1a 2(aR) ya 24a5(aR)6集合间的关系判断(1)两个集合 A， B 间的基本关系如下，Error!(2)判断两个集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言、图形语言来表示集合(3)对于用列举法给出的集合，只需要观察其中一个集合中的元素与另一个集合中的元素之间的关系，即可得到集合间的关系；对于用描述法给出的集合，首先
10、要分析元素的特征性质，确定了集合中的元素后，再分析一个集合中的元素与另一个集合中的元素的关系，从而确定这两个集合间的关系因此，判断集合间的关系通常转化为判断元素与元素间的关系(4)当 MN 和 M N 均成立时， M N 比 MN 更准确地反映了集合 M 和 N 的关系当MN 和 MN 均成立时，MN 比 MN 更准确地反映了集合 M 和 N 的关系(5)两种常用的判断集合之间关系的方法：对比集合中的元素；利用数轴比较范围【例 6】已知集合 ， ，则集合 M，N1=,6xmZ1=,23nxZ的关系是( )AM N BM N CNM DN M解析：设 n2m 或 2m1(mZ)，则有 11=33
11、xx或 ， .6或 ，又 ，M N.1=6MxmZ，答案：B【变式题】已知集合 ， ，=Axa， 1=23bBxZ，则 A，B，C 满足的关系是( )1=26cCx，AAB C BA BC CA B C DB C A解析：判断集合中元素的共性与差异， ，16axZ， 32=6bxZ，3=c，因为 ，而(b1)Z，2(1)6b即 3(b1) 1 与 3c1 都表示被 3 除余 1 的数，而 6a1 表示被 6 除余 1 的数，所以 A BC .答案：B7求已知集合的子集(或真子集)(1)写一个集合的子集时，可按子集中元素的个数多少分类写出，注意要做到不重不漏(2)n 个元素的集合，其子集、真子集
12、的个数讨论： 的子集只有 1 个a 的子集有 2 个a，b的子集有 4 个a，b，c的子集有 8 个含有 个元素的集合 有 个子集，有(2 n1)个非空子集，有( )个真子集，有( )n M 2n 2n 1 2n 2 个非空真子集【例 71】若集合 A x|(a 1)x23x20有且仅有两个子集，则 a_.解析：有且仅有两个子集，则集合 A 必为单元素集，否则不符合题意当 a10 时，符合题意；当 a10 时，由 98(a1)0，得 .综上可知，a1 或2=3A =8.8答案：1 或 8【例 72】设集合 A a，b， c，BT|TA，求集合 B.解：Aa， b，c，又 T A，T 可能为 ，
13、 a， b，c ，a，b，a，c ，b，c，a，b，c B ，a， b，c ，a，b ，a，c，b，c ，a，b，c8集合间的基本关系与方程的交汇问题集合间的基本关系与方程的交汇问题，通常是已知两个表示方程解集的集合间的关系，求方程中未知参数的取值范围解决此类问题应注意：(1)要明确表示方程解的集合中哪个字母是方程中的未知数集合x |f(x)0表示关于 x 的方程的解集，x 是未知数，其他字母是常数例如集合x |mx2x230表示关于 x 的方程mx2x230 的解集，其中 x 是未知数，m 是常数此方程易错认为是一元二次方程，其原因是忽视了其中参数 m 的取值当 m0 时，该方程为x 230
14、，它是一元一次方程；当m0 时，该方程 mx2x 230 才是关于 x 的一元二次方程(2)正确理解集合包含关系的含义，特别是 AB 的含义当 B 时，对于 AB，通常要分 A 和 A 两种情况进行讨论，此时，容易忽视 A 的情况辨误区 对含参数的二次项系数进行讨论对于二次项系数中含有参数的方程的解集问题，注意要对二次项系数是否为零进行讨论【例 8】若集合 A x|x2x 60，Bx |mx10，且 BA，求 m 的值分析：由于 BA，因此集合 B 的所有元素都是集合 A 的元素，但由于集合 B 的元素 x 满足 mx10，又字母 m 的范围不明确，m 是否为 0 题目中没有明示，因此要进行分
15、类讨论本题应弄清楚两个问题：一是集合 B 中有没有元素；二是集合 B 中有元素时，元素是什么？解：Ax|x 2 x60 3,2 因为 BA ，所以方程 mx10 的解可以是3 或 2 或无解当 mx10 的解为3 时，由3m10，得 ；=当 mx10 的解为 2 时，由 2m10，得 ；1当 mx10 无解时，m0.综上可知，m 的值为 或 或 0.32【变式题】已知集合 A1,3 ， x2，Bx2,1，是否存在实数 x，使得 BA？若存在求出集合 A，B ；若不存在，说明理由解：设存在实数 x，使 BA，则 x23 或 x2x 2.当 x23 时，即 x1，此时 A1,3,1，不满足集合中元
16、素的互异性，故 x1.当 x2x 2 时，即 x2x 20，解得 x1，或 x2.若 x1，则 A1,3,1 不满足元素的互异性，故 x1；若 x2，则 A 1,3,4，B 4,1，显然有 BA.综上知：存在 x2，使 A1,3,4，B4,1，满足 BA.9集合间的基本关系与不等式的交汇问题集合间的基本关系与不等式的交汇问题，通常是已知两个不等式解集的关系，求不等式中参数的值( 或取值范围)，解决此类问题应注意：(1)要明确表示不等式解集的集合中哪个字母是不等式的未知数集合x |f(x)0， x|f(x)0 ， x|f(x)0 ， x|f(x)0均表示关于 x 的不等式的解集，x 是未知数，其
17、他字母是常数例如，集合 x|nx 30 表示关于 x 的不等式nx30 的解集，x 是未知数，n 是常数这个方程易错认为是一元一次不等式，其原因是忽视了其中参数 n 的取值当 n0 时，该不等式为 30，不是一元一次不等式；当 n0 时，该不等式才是关于 x 的一元一次不等式(2)用不等号连接的式子称为不等式，例如 23 和 32 都是不等式，有了这种对不等式概念的正确理解就不会认为 m1x2m1 中 m12m1 一定成立【例 9】已知集合 A x|2 x5，Bx|m1x 2m 1，且 BA，求实数 m 的取值范围分析：集合 A 中是一个用具体数字表示的不等式，集合 B 中是用字母 m 表示的不等式，集合 A 给出的不等式在数轴上表示为2 到 5 的线段(去掉两个端点) ，集合 B 给出的不等式，由于 m1 与 2m1 的大小关系有两种情形：当 m12m1 时，B ，所以 BA 一定成立；当 m12m1 时，可借助于数轴来分析解决规范解答 顾问点评解：BA ，A ，B 或 B .(得分点)本题由条件 BA 可以判断B 或 B 两种情况，这当 B 时，m12m1，解得 m2.(得分点)当 B 时，如数轴所示则有 解得12,5,m2,3.所以 2m3.(得分点)综上所述，m 的取值范围为 m2 或 2m3，即 m3.(得分点)里容易忽视 B 的情况，故此处应引起注意.
