1、1.3.2 奇偶性1函数奇偶性的概念谈重点 对函数奇偶性的理解 (1)定义是判断或讨论函数的奇偶性的依据，由定义知，若x 是函数定义域中的一个数值，则x 也必然在该定义域中因此，函数 yf(x) 是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性，即这个函数是非奇非偶函数(2)函数的奇偶性与单调性的差异奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是
2、函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个 x，都有 f(x )f (x)(f(x )f(x)，才能说 f(x)是奇(偶)函数(3)若奇函数在原点处有定义，则有 f(0)0(4)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数若 f(x )f(x )，且 f(x)f( x)，则函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，此时 f(x)f (x)，即 f(x)0因此既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即 f(x)0，x D，D 是关于原点对称的实数集【例 11】函数 f(x) ，x (0,1)的奇偶性是( )1A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函
3、数解析：因为函数 f(x) ，x (0,1)的定义域是(0,1)，不关于原点对称，所以函数 f(x)是非奇非偶函数答案：C【例 12】已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(2)3，则 f(2)等于( )A3 B2C2 D3解析：由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(2)f(2)3答案：D【例 13】下列说法正确的是( )A若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D若函数 f(x)的定义域为 R，且 f(0)0，则 f(x)是奇函数解析：奇偶函数的定
4、义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如 yx1由此可判断 A、C 项错误，B 项正确奇函数若在原点处有定义，则 f(0)0，反之不一定成立，如 yx 2，因此 D 项错误故选 B答案：B2奇偶函数图象的特点(1)偶函数图象的特点如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于 y 轴对称；反之，若一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数(2)奇函数图象的特点如果一个函数是奇函数，那么它的图象关于原点对称；反之，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数析规律 奇偶函数图象的作用 由于偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的
5、性质时，只需通过研究函数在( ，0(或0 ，)上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形【例 21】判断下列函数的奇偶性解：对于(1)，函数图象不关于原点成中心对称，也不关于 y 轴对称，故此函数不具有奇偶性对于(2)，函数图象关于 y 轴对称，此函数为偶函数对于(3)，函数图象关于原点成中心对称，此函数为奇函数对于(4)，函数图象关于 y 轴对称，此函数为偶函数【例 22】如图，给出了偶函数 yf(x )的局部图象，试比较 f(1)与 f(3)的大小分析：(方法一)(方法二)解：(方法一) 函数 f(x)是偶函数，其图象关于 y 轴对称，如图由图象可知 f(1)f(3) (方法二) 由图象
6、可知 f(1)f(3)函数 yf( x)是偶函数，f(1)f(1)，f(3)f(3)f(1)f(3)【例 23】设奇函数 f(x)的定义域是 2,2且图象的一部分如图所示，则不等式 f(x)0 的解集是_解析：由于 f(x)是奇函数，所以 f(x)的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示从图上可以看出 f(x)0 的解集是(1,0) (1,2)答案：(1,0) (1,2)3函数奇偶性的判断方法(1)定义法利用定义判断函数 f(x)的奇偶性主要分三步进行：求函数 f(x)的定义域，判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则
7、进行下一步；结合函数 f(x)的定义域，化简函数 f(x)的解析式；求 f(x)，可根据 f(x )与 f(x)之间的关系，判断函数 f(x)的奇偶性：若 f(x)f(x )，则 f(x)是奇函数；若 f(x)f(x)，则 f(x)是偶函数；若 f(x)f(x)，则 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；若 f(x)f(x)且 f(x )f(x)，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)图象法其步骤是：画出函数 f(x)的图象；判断函数图象关于原点或 y 轴是否对称；如果图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数；如果图象关于原点和 y 轴均对称，那么
8、这个函数既是奇函数又是偶函数；如果图象关于原点和y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数(3)性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为 0)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；两个奇函数的积、商(分母不为 0)为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数注：常见函数的奇偶性函数 奇偶性一次函数 y kxb(k0) b0 时是奇函数；b0 时既不是奇函数又不是偶函数反比例函数 y (k0)kx奇函数二次函数yax 2bxc (a0)b0 时是偶函数；b0 时既不是奇函数又不是偶函数【例 31】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) ；(2)f( x)x 32x；(3)f(x)x 21；
9、(4)f( x) 21解：(1)函数的定义域为( ， 1) (1，)不关于原点对称，故函数 f(x)既不是奇函数，又不是偶函数(2)函数的定义域为 Rf(x)(x) 32(x )(x 32x)f(x) ，函数 f(x)x 32x 是奇函数(3)函数的定义域为 R(方法一) f( x)( x) 21x 21f( x)，函数 f(x)x 21 是偶函数(方法二) 画出 yx 21 的图象如图，由图可知其图象关于 y 轴对称故函数 f(x)x 21 是偶函数(4)函数的定义域为 1,1 且 f(x)0，f(1)0，f(1)0，f(1)f(1)且 f(1)f(1)函数 f(x) 既是奇函数，又是偶函数
10、22谈重点 判断函数奇偶性时易忽略定义域优先的原则 本题(1)易错解为：f (x) 2x， f(x)2x f(x)，则函数 f(x) 是奇函数，其原因是没有讨论函数2x2 2xx 1 2x2 2xx 1的定义域避免出现此类错误的方法是讨论函数的奇偶性要遵守定义域优先的原则【例 32】函数 f(x)，g(x )在区间a，a上都是奇函数，有下列结论：f (x)g(x )在区间a，a 上是奇函数；f( x) g(x)在区间a，a上是奇函数；f (x)g(x)在区间 a，a上是偶函数其中正确结论的个数是( )A1 B2 C3 D0答案：C【例 33】求证：yx 2 的图象关于 y 轴对称41x分析：转
11、化为证明函数 f(x)是偶函数证明：函数 f(x)的定义域是(，0) (0，)，定义域关于原点对称f(x)(x) 2 x 2 f(x)，41()4函数 f(x)是偶函数函数 f(x)的图象关于 y 轴对称【例 34】判断 f(x)|xa| xa|(a R)的奇偶性分析：对 a 进行分类讨论解：若 a0，则 f(x)|x|x| 0x R，定义域 R 关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数当 a0 时，f(x )|xa | x a|xa|xa| (|xa| |xa|)f(x )，f(x)是奇函数综上，当 a0 时，函数 f(x)既是奇函数，又是偶函数；当 a0 时，函数 f(x)是奇函数4分
12、段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断在函数定义域内，对自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数分段函数不是几个函数，而是一个函数因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 f(x) 与 f(x)的关系首先要特别注意的是 x 与x 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f (x)与 f(x )对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较例如：判断函数 f(x)Error! 的奇偶性解：函数的定义域是(，0 (0，)R当 x0 时，有 f(x)x (x1) ，x 0，f(x)(x )(x 1)x(1x)x( x
13、1)f(x)当 x0 时，有 f(x)x (x1) ，x 0，f(x)x( x1)x (x1)f(x)当 x0 时，f(0)0，f(0)0f(0)对 x R，均有 f(x)f( x)f(x)为奇函数【例 41】判断函数 f(x) 的奇偶性21,(0),x解法一：函数的定义域为(，0) (0，)，当 x0 时，x 0，f(x ) (x) 21 f (x)21当 x0 时，x 0，f(x) (x) 21 1 f(x)22综上所述，在(，0) (0， )上总有 f(x)f(x)因此函数 f(x)是奇函数解法二：作出函数的图象，如图所示函数的图象关于原点对称，所以是奇函数点技巧 分段函数奇偶性的判断技
14、巧 (1)分段函数的奇偶性应分段说明 f(x) 与 f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数；(2)若能画出分段函数的图象，利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性，是一种非常不错的方法【例 42】已知函数 f(x) 是奇函数，则 m_22,0,xm解析：当 x0 时，x 0，f( x)(x) 22( x)x 22x ，又 f(x)为奇函数，f(x )f(x)x 22xf(x)x 22xx 2mx m 2答案：25抽象函数奇偶性的判断对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量
15、进行赋值，使其变为含有 f(x)，f( x)的式子再利用奇偶性的定义加以判断例如，函数 f(x)，x R，若对任意实数 a，b 都有 f(ab)f(a)f(b) ，求证：f (x)为奇函数分析：为了使等式中出现 f(x)和 f(x)，可以令 ax，bx，则等式变为 f(xx)f(x )f(x)，即有 f(x)f(x )f(0)要弄清 f(x)与 f(x) 的关系，必须求出 f(0)令 ab0，则有 f(0 0)f(0)f(0) ，即 f(0)0于是 f(x)f( x)0这样可以得出 f(x)是奇函数【例 51】函数 f(x)，x R，且 f(x)不恒为 0若对于任意实数 x1，x 2，都有 f
16、(x1x 2)f(x 1 x2)2f(x 1)f(x2)，求证： f(x)为偶函数证明：令 x10，x 2x，则得 f(x)f(x )2f(0)f(x)又令 x1x，x 2 0，得 f(x)f(x )2f(x)f(0)由得 f(x)f(x )故 f(x)是偶函数【例 52】求证：定义域为 R 的任何函数 f(x)都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和分析：本题主要考查抽象函数的奇偶性，解决本题的关键是如何根据已知的 f(x)构造出一个偶函数和一个奇函数，使其和等于 f(x)证明：设 F(x) ，G(x) ，2f)(2f则 F(x) F(x)，G(x) G (x)，ff因此 F(x)和 G(x)
17、分别是偶函数和奇函数又f(x)F( x)G(x )，f(x)可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和6利用函数的奇偶性求函数解析式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称当函数 f(x)具有奇偶性时，已知函数 f(x)在 y 轴一侧的解析式，就可得到在 y 轴另一侧的解析式，具体做法如下：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内；(2)要利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用 f(x) 的奇偶性写出f(x)或 f(x )，从而解出 f(x)；(4)若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f(0)0若做选择题或填空题还可以采用如下办法：(1)直接代
18、换法：若图象关于原点对称，只需把原函数中的 x 和 y 分别换成“x”和“y ”；若图象关于 y 轴对称，只需把原函数中的 x 变为“x ”即可(2)特殊点对称法：在函数 y f(x)的图象上找若干个(个数视 yf (x)的形式而定)特殊点(a，f (a)，( b，f(b) ，若 yf(x )为奇函数，则(a，f(a)，(b，f(b)，一定在另一半图象上；若 y f(x)是偶函数，则 (a，f(a)，(b，f(b) ， 也一定在另一半图象上设出其解析式，利用待定系数法求解【例 61】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x (，0) 时，f (x)x x 4，则当 x(0， ) 时，
19、 f(x)_ 解析：(方法一)由于是填空题，故可采用直接代换法，将 x 用x 代替，即可得答案为x x 4(方法二) 设 x (0，)，则x (，0)，则 f(x )x (x) 4xx 4又yf( x)是偶函数， f( x)f(x )，x (0，)，从而在区间(0，) 上的函数表达式为 f(x)xx 4答案：xx 4【例 62】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x (2x )，求函数 f(x)的解析式分析：解：f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(x)f(x )，f(0)0，当 x0 时，x 0，则 f(x )x(2x )f(x)，f(x)x( x2)故 f(x)2,
20、),(0.【例 63】已知 f(x)，g(x )分别是 R 上的奇函数和偶函数，且 f(x)g( x)3x 2x1，试求f(x)和 g(x)的表达式解：以x 代替条件等式中的 x，则有 f(x)g(x)3x 2x 1，又 f(x)，g(x)分别是 R 上的奇函数和偶函数，故f(x)g(x)3x 2x 1又 f(x)g(x)3x 2x 1，联立可得 f(x)x，g( x)3x 217利用函数的奇偶性求参数的值函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质奇偶函数的定义域关于原点对称，解析式上则有 f(x) f (x)或 f(x )f(x )，利用上述两式的
21、恒成立，可以求得解析式中所含参数的值例如：已知函数 f(x)ax 22x 是奇函数，求实数 a 的值解：由奇函数的定义得 f(x )f( x)，即 a(x) 22( x)( ax22x) ，整理得ax22xax 22x ，即 2ax20故 a0【例 71】若函数 f(x)ax 2bx3ab 是偶函数，且定义域为a1,2a，则a_，b_解析：偶函数的定义域关于原点对称，a12a，解得 13af(x) bxb1 为二次函数23函数 f(x)为偶函数，对称轴 x 0，即 b0123答案： 013【例 72】若函数 f(x) 是奇函数，求实数 a 的值2,0xa解：函数 f(x)是奇函数，f( x)f
22、(x)当 x0 时，x 0，则 f( x)a(x) 2( x)ax 2x，f(x)ax 2 x，即 f(x)ax 2x又x0 时，f( x)x 2x，ax 2x x 2xa1 8函数的奇偶性与单调性的综合应用(1)函数 yf(x)的奇偶性与其单调性的关系：如果函数 yf( x)是奇函数，那么 f(x)在区间(a，b)(0 ab) 和(b，a) 上具有“相同”的单调性证明：当 f(x)在区间(a，b)上是增函数时，设 bx 1x 2a，则 ax 2x 1b由于 f(x)在区间(a，b)上是增函数，则有 f(x 1)f(x 2)又函数 yf( x)是奇函数，所以f(x 1)f(x 2)所以 f(x
23、1)f(x 2)所以 f(x)在区间(b，a)上也是增函数同理可证，当 f(x)在区间(a，b)(0ab)上是减函数时，f(x)在区间( b，a)上也是减函数综上所得，如果函数 yf( x)是奇函数，那么 f(x)在区间(a，b )和(b，a) 上具有相同的单调性如果函数 yf( x)是偶函数，那么 f(x)在区间(a，b)(0 ab) 和(b，a) 上具有“相反”的单调性证明略，与(1)的证明类似(2)利用函数的奇偶性和单调性我们可以解决以下两种问题：比较大小奇函数、偶函数单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不
24、同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断解抽象不等式解抽象不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成 f(x1)f (x2)或 f(x1)f(x 2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响(3)两个重要结论若 f(x)为奇函数且在 x0 处有定义，则必有 f(0)0证明：f(x)为奇函数，f(x)f(x )令 x0，则 f( 0)f(0) ，即 f(0)f(0)f(0)0若 f(x)为偶函数，则必有 f(x)f(x)f(|x |)证明：
25、f(x)为偶函数，f(x)f(x)1当 x0 时，f (|x|)f(x )，则 f(x)f(x)f(| x|)成立；2当 x0 时，f (|x|)f(x )，则 f(x)f(x)f(| x|)成立综上，f(x)f(x )f(|x|)成立【例 81】设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x 0，)时， f(x)是增函数，则 f(2) ，f ()，f(3)由大到小的关系是_解析：利用函数 f(x)为 R 上的偶函数，将 f(2)，f(3)转化到区间0，) 上，利用 f(x)在此区间上是增函数比较大小因为 f(x)为 R 上的偶函数，所以 f(2) f (2)，f(3)f(3)又因为当 x 0， )
26、时，f(x )是增函数，且 32，所以 f()f (3)f(2) ，故 f()f(3)f(2)答案：f()f(3)f( 2)【例 82】已知函数 yf( x)(x0)是奇函数，且当 x (0，) 时是增函数，若 f(1)0，求不等式 0 的解集1fx解：f(1)0，不等式可转化为 f(1)2fx又函数 f(x)在(0，)上递增， 0 1，2x解得 x 或 x012741又 f(x)是奇函数，它在对称区间上的单调性相同，且 f(1)f(1)0，于是又得 f(1)，即 1，解得 x 2x原不等式的解集是71,04得【例 83】设定义在区间2,2上的偶函数 g(x)，当 x0 时， g(x)单调递减
27、，若 g(1m)g(m)成立，求 m 的取值范围解：g(x)是定义在区间2,2上的偶函数，且在区间0,2上单调递减，g(x )在区间2,0上单调递增又g(1m )g( m)， 解得1m 2,1.2|,得 12【例 84】函数 f(x) 是定义在区间(1,1)上的奇函数，且 2ab125f(1)确定函数 f(x)的解析式；(2)用定义证明：f( x)在区间( 1,1)上是增函数；(3)解不等式：f( t1)f(t)0分析：本题考查通过函数的单调性与奇偶性来确定 f(x)的解析式，求 a，b 的值是解决本题的关键解：(1)由题意知 即 解得(0),125f20,154ba1,.ab故 f(x) 21(2)任取1x 1x 21，则 x2x 10，f(x2)f(x 1) 12)(1x 1x 21，1x 1x21,1x 1x20于是 f(x2)f(x 1)0，f(x)为区间(1,1)上的增函数(3)f(t1)f(t)f( t)，f(x)在区间(1,1)上是增函数，1t1t1，解得 0t 12
