1、1.1.2 集合间的基本关系1Venn 图在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图比如，中国的直辖市组成的集合为 A，用 Venn 图表示如图所示【例 1】试用 Venn 图表示集合 A x|x2160解：集合 A 是方程 x2160 的解集，解方程 x2160，得 x14，x 24，所以A 4,4，用 Venn 图表示如图所示谈重点 对 Venn 图的理解 Venn 图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制2子集定义一般地，对于两个集合 A， B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A为集
2、合 B 的子集记法与读法 记作 A B(或 B A)，读作“A 含于 B”(或“B 包含 A”)图示或 示例具有北京市东城区户口的人组成集合 M，具有北京市户口的人组成集合 P，由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北京市户口，所以有 M P结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A A(2)对于集合 A，B，C，若 A B，且 B C，则 A C释疑点 对子集的理解 (1)“A B”的含义：若 x A 就能推出 x B(2)集合 A 是集合 B 的子集不能理解为集合 A 是由集合 B 中的 “部分元素”组成的，因为集合 A 可能是空集，也可能是集合 B(3)如果集合 A 中存在着不是
3、集合 B 的元素，那么集合 A 不包含于 B，或 B 不包含 A此时记作 A B 或 B A(4)注意符号“ ”与“ ”的区别：“ ”只用于集合与集合之间，如0 N，而不能写成0 N；“ ”只能用于元素与集合之间，如 0 N，而不能写成 0 N【例 21】已知集合 M0,1 ，集合 N0,2,1 m，若 M N，则实数m_解析：由题意知 M N，又集合 M0,1 ，因此 1 N，即 1m 1故 m0答案：0【例 22】已知集合 M x Z|1x 3，Nx|x|y|，y M，试判断集合 M，N 的关系解：x Z，且1x 3，x 的可能取值为1,0,1,2M1,0,1,2又y M，|y| 分别是
4、0,1,2N0,1,2N M3集合相等如果集合 A 是集合 B 的子集( A B)，且集合 B 是集合 A 的子集 (B A)，那么集合 A 与集合 B 相等 ，记作 AB 用 Venn 图表示如图所示谈重点 对集合相等的理解 (1)AB A B，且 B A，这是证明两个集合相等的重要依据；(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等；(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；(4)集合中的关系与实数中的结论类比实数 集合ab 包含两层含义：ab，或 ab A B 包含两层含义：AB，或
5、 A B若 ab，且 ab，则 ab 若 A B，且 A B，则 AB若 ab，bc ，则 ac 若 A B，B C，则 A C【例 31】下列集合中，PQ 的是( )AP1,4,7，Q1,4,6BPx|2 x20 ，Q1C3 P,3 QDP Q解析：对于 A 项，7 P，而 7 Q，故 PQ；对于 B 项，Px |2x201 Q ；对于 C 项，由 3 P,3 Q，不能确定 P Q，Q P 是否同时成立；对于 D 项，仅由 P Q 无法确定 P 与 Q 是否相等答案：B【例 32】设集合 A x，y ，B0，x 2，若 AB，求实数 x，y 的值解：由集合相等的定义，得 或0,y(1)由 得
6、 x0，y 0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；2,(2)由 得 x0，y0 或 x1，y0，由(1)知 x0，y0 应舍去，x1，y 0 符,合集合中元素的互异性综上，可得 x1，y 04真子集定义 如果集合 A B，但存在元素 x B，且 x A，我们称集合A 是集合 B 的真子集记法 记作 A B(或 B A)图示结论 (1)A B 且 B C，则 A C；(2)A B 且 AB，则 A B谈重点 对真子集的理解 (1)若集合 A 是集合 B 的子集，则集合 A 中所有元素都属于集合B，并且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A；(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集
7、为前提的若集合 A 不是集合 B的子集，则集合 A 一定不是集合 B 的真子集；(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集【例 4】已知集合 P2 012,2 013，Q2 011,2 012，2 013 ，2 014，则有( )APQ BQ PCP Q DQ P解析：很明显，集合 P 中的元素都属于集合 Q，则 P Q，但是 2 014 Q,2 014 P，所以P Q答案：C5空集定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集记法 规定 空集是任何集合的子集，即 A特性 (1)空集只有一个子集，即它本身， (2) 是任何非空集合的真子集，即若 A ，则 A释疑点 0与 的区别
8、0是含有一个元素的集合0与的区别 是不含任何元素的集合，因此 0，注意不能写成 0， 0【例 51】下列集合为空集的是( )A0 B1C x|x0 D x|1x 20解析：很明显0和1都不是空集；因为x|x0 是全体负数组成的集合，所以 x|x0 也不是空集；集合 x|1x 20 是一元二次方程 1x 20 的解集，但是方程 1x 20 无实数解，所以 x|1x 20 答案：D【例 52】有下列命题：空集没有子集；任一集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若 A，则 A 其中正确的有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个解析：对于，空集是任何集合的子集，故 ，错；对于 ， 只有一个
9、子集，是其自身，错；对于，空集不是空集的真子集，错；空集是任何非空集合的真子集，正确答案：B6集合间的关系判断(1)集合 A，B 间的关系Error!(2)判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法 )、图形语言(Venn 图) 来表示集合(3)判断集合间的关系，其方法主要有三种：一一列举观察；集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系一般地，设集合 A x|p(x)，Bx |q(x)，若 p(x)推出 q(x)，则 A B；若 q(x)推出 p(x)，则
10、B A；若 p(x)，q( x)互相推出，则 AB；若 p(x)推不出 q(x)，q(x )也推不出 p(x)，则集合A，B 无包含关系数形结合法：利用数轴或 Venn 图(4)当 M N 和 M N 均成立时，M N 比 M N 更准确地反映了集合 M 和 N 的关系当M N 和 MN 均成立时，MN 比 M N 更准确地反映了集合 M 和 N 的关系例如，集合 M1，集合 N1,2 ，这时 M N 和 M N 均成立，M N 比 M N 更准确地反映了集合 M1和集合 N1,2 的关系又例如，集合 M3，集合 N3，这时M N，N M，MN 均成立，MN 比 M N 更准确地反映了集合 M
11、3和集合 N3的关系【例 61】指出下列各对集合之间的关系：(1)A1,1，B( 1，1)，(1,1) ，(1，1)，(1,1)；(2)Ax|x 是等边三角形，B x |x 是等腰三角形；(3)Ax|1 x4，B x|x50；(4)Mx|x2n1，n N*，Nx|x 2n1，n N*分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系解：(1)集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实数对，故 A 与 B 之间无包含关系(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故 A B(3)集合 Bx|x5，用数轴表示集合 A，B 如图所示，由图可知 A B(4)由列
12、举法知 M1,3,5,7 ， ，N3,5,7,9，故 N M点技巧 怎样用数轴表示集合 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示【例 62】已知集合 ， ，则集1|,6xmZ1|,23nxZ合 M，N 的关系是( )AM N BM NCN M DN M解析：设 n2m 或 2m1，m Z，则有 21|,33xxZ或|,6或又 ，1|,xZM N答案：B7求已知集合的子集(或真子集)(1)在写出某个集合的子集时，可以按照集合中元素的个数从无到有、从少到多的顺序依次写出，要做到不重不
13、漏一定要考虑 这一特殊的集合，因为 是任何集合的子集；若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合自身计算在内，因为任何一个集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集例如：写出集合1,2,3的所有子集和真子集我们可以按照元素个数从少到多依次写出，其中元素个数分别为 0,1,2,3可以得到集合1,2,3的所有子集为 ，1，2，3，1,2 ，1,3， 2,3， 1,2,3；所有真子集为 ，1，2，3 ，1,2，1,3，2,3(2)当集合 A 中含有 n 个元素时，其子集的个数为 2n，真子集的个数为 2n1，非空子集的个数为 2n1，非空真子集的个数为 2n2_【例 71】已知集合 M 满足1,2
14、M 1,2,3,4,5，请写出集合 M分析：根据题目给出的条件可知，集合 M 中至少含有元素 1,2，至多含有元素 1,2,3,4,5，且 M 中必须含有元素 1,2，故可按 M 中所含元素的个数分类写出集合 M解：(1)当 M 中含有两个元素时，M 为1,2 ；(2)当 M 中含有三个元素时， M 为1,2,3 ，1,2,4，1，2,5；(3)当 M 中含有四个元素时， M 为1,2,3,4 ，1,2,3,5 ，1,2,4,5；(4)当 M 中含有五个元素时， M 为1,2,3,4,5 因此满足条件的集合 M 为：1,2 ，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4 ，1,2,3,5
15、，1,2,4,5，1,2,3,4,5点技巧 有限集合子集的确定技巧 (1)确定所求的集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到【例 72】设集合 A a，b， c，BT|T A，求集合 B解：Aa， b，c，又 T A，T 可能为 ， a， b，c ，a，b，a，c ，b，c，a，b，c B ，a， b，c ，a，b ，a，c，b，c ，a，b，c【例 73】已知集合 A1,3,5 ，求集合 A 的所有子集的元素之和解：集合 A 的子集分别是： ，1，3，5 ，1,3，1,5，3,5，1,3,5注意到 A中的每个元素分别出
16、现在 A 的 4 个子集中，即在其和中出现 4 次故所求之和为(135)436析规律 集合所有子集的元素之和的计算公式 若集合 A a1，a 2，a 3，a n，则 A 的所有子集的元素之和为(a 1a 2a n)2n1 8集合间的基本关系与方程的综合问题集合间的基本关系与方程的综合问题，通常是已知两个表示方程解集的集合间的关系，求方程中未知参数的取值范围解决此类问题应注意：(1)要明确表示方程解集的集合中哪个字母是方程中的未知数集合x |f(x)0表示关于 x的方程的解集，x 是未知数，其他字母是常数例如集合x |mx2x230表示关于 x 的方程mx2x230 的解集，其中 x 是未知数，
17、m 是常数此方程易错认为是一元二次方程，其原因是忽视了其中的参数 m 的取值当 m0 时，该方程为x 230，是一元一次方程；当m0 时，该方程为 mx2x 23 0，此时才是关于 x 的一元二次方程(2)正确理解集合包含关系的含义，特别是 A B 的含义当 B 时，对于 A B，通常要分 A 和 A 两种情况进行讨论，此时，容易忽视 A 的情况(3)对于二次项系数中含有参数的方程的解集问题，注意要对二次项系数是否为零进行讨论【例 81】若集合 A x|x2 x60，Bx |mx10且 B A，求 m 的值分析：由于 B A，因此集合 B 的所有元素都是集合 A 的元素，但由于集合 B 的元素
18、 x 满足 mx10，又字母 m 的范围不明确，m 是否为 0 题目没有明示，因此要进行分类讨论本题应弄清楚两个问题：一是集合 B 有没有元素；二是集合 B 有元素时，元素是什么解：Ax|x 2 x60 3,2 因为 B A，所以方程 mx10 的解可以是3 或 2 或无解当 mx10 的解为3 时，由3m10 得 ；13当 mx10 的解为 2 时，由 2m10 得 ；当 mx10 无解时，m0综上可知，m 的值为 或 或 03【例 82】设集合 A x|x2 4x0，Bx |x22(a1)x a210 ，若 B A，求实数a 的值或取值范围解：由题意得 A0 ，4， B A(1)当 A B
19、 时，即 B0 ，4由此知，0，4 是方程 x22(a1)x a 210 的两根，由韦达定理知 解得 a1(1)4,0(2)当 B 时， 4( a1) 24(a 21)0，解得 a1(3)当 B 为单元素集时， 4(a 1) 24(a 21)0，解得 a 1当 a1 时，B x|x20 0 A，满足条件综上所述，所求实数 a 的取值范围为 a1 或 a19集合间的基本关系与不等式的综合问题用图形来表示数，形象而直观，因此数形结合的思想在数学中广泛应用数轴是表示实数的，任何一个实数在数轴上均可用一个点来表示，反之，数轴上任何一点都代表一个实数，在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而直观在数轴上
20、表示集合时，要注意端点用实心点还是空心点，若包含端点，则用实心点表示，若不包含端点，则用空心点表示集合间的基本关系与不等式的综合问题，通常是已知两个不等式解集的关系，求不等式中参数的值( 或取值范围)，解决此类问题应注意：(1)要明确表示不等式解集的集合中哪个字母是不等式的未知数集合x |f(x)0， x|f(x)0 ， x|f(x)0 ， x|f(x)0均表示关于 x 的不等式的解集，x 是未知数，其他字母是常数例如，集合 x|nx 30 表示关于 x 的不等式nx30 的解集，x 是未知数，n 是常数这个方程易错认为是一元一次不等式，其原因是忽视了其中的参数 n 的取值当 n0 时，该不等
21、式为 30，不是一元一次不等式；当 n0 时，该不等式才是关于 x 的一元一次不等式(2)用不等号连接的式子称为不等式，例如 23 和 32 都是不等式，有了这种对不等式概念的正确理解就不会认为 m1x2m1 中 m12m1 一定成立【例 91】已知集合 A x| 2x 5，Bx|m1x 2m 1，且 B A，求实数 m的取值范围分析：集合 A 中是一个用具体数字表示的不等式，集合 B 中是一个用字母 m 表示的不等式，集合 A 给出的不等式在数轴上表示为2 到 5 的线段(去掉两个端点) ，集合 B 给出的不等式，m1 与 2m1 的大小关系有两种情形：当 m12m1 时 x ，所以 B A
22、 一定成立；当m12m1 时，可借助于数轴来分析解决解：B A，A ，B 或 B 当 B 时，m12m1，解得 m2当 B 时，如数轴所示则有 解得12,5.m2,3.因此 2m3综上所述，m 的取值范围为 m2 或 2m3，即 m3【例 92】已知集合 A x|x 1，或 x4，Bx |2axa3，若 B A，求实数 a的取值范围分析：对集合 B 是否为空集进行分类讨论求解解：当 B 时，只需 2aa3，即 a3；当 B 时，根据题意作出如图所示的数轴，可得 或 解得 a4 或 2a332,1a32,a综上可得，实数 a 的取值范围为 a4 或 a2辨误区 利用子集关系求参数时易疏忽端点的验证 利用子集关系求参数的问题，在借助数轴分析时，要注意验证参数能否取到端点值例如本题中在 B 时，解得 a4 或2a3，若 a4，则集合 Bx |8x 1，但集合 A 中不含1，不满足 B A，故不能取到端点4；若 a2，则集合 Bx |4x 5，但集合 A 中不含 4，不满足 B A，故不能取到端点 2；若 a3，则集合 B6 ，满足 B A，故能取到端点 3
