1、1,近世代数,主讲教师：张广祥,辅导课程十,2,整环里的因子分解,要点 了解一般的整环中因子、整除、素元、单位、唯一分解性等概念. 定义1. 设R是一个整环,若a=bc,则 b、c是a的因子,或者b|a.R中的可逆元 称为单位.若a=b, 是单位,则称a与b相伴,单位与相伴元a称为a的平凡因子,a的其它因子称为真因子.R的一个元a若a0,a也不是单位,假定a只有平凡因子，则a称为R的素元. 例1 环Z( )中元素的分解情形.,3,唯一分解环,定义1 整环R中的元a若满足下面的条件： (1)a=p1p2pr每pi是R的素元 (2)若a还有分解a=q1q2qs,每qi是R的素元，能推出r=s且每q
2、i=ipi其中i是R的单位.则称a有唯一分解性.若R中每个非零非单位的元都有唯一解性，则称R是唯一分解环.,4,唯一分解环(续),定理4.2.1 若R是唯一分解环,则R满足下面的条件 (3)每素元p若pab则pa或pb.证 ab=pc.若a=0,则p|a.若a是单位,则p|b.下设a,b既非零也非单位,则c也非零非单位.由(1)a=q1qr,b=qr+1qs,c=p1pt.每pi,qi是素元.q1qrqr+1qs=pp1pt,由(2)p某qi(例q1),故p|a. 定理4.2.2 条件(1)+(2)与条件(1)+(3)等价. 定理4.2.3 设R是唯一分解环,a,bR.则a、b的最大公因子存在
3、且唯一到相伴.,5,主理想环,重点 主理想环是一类重要的唯一分解环. 定义 每个理想都是主理想的整环称为主理想环. 例 整数环Z与域上的多项式环Fx是主理想环,但Zx不是主理想环. 证 由Z及Fx中的带余除法. 定理4.3.1 主理想环R是唯一分解环. 注 证在下页.,6,主理想环(续1),定理4.3.1证 只要证明R满足4.2节中条件(1)(3). 先证R满足条件(1).若a是R的非零非单位的元，若a是素元则条件(1)已得证,否则a=bc,b与c都不是单位.若b,c都能分解成有限个素元之积,则条件(1)已得,否则例如b有真因子b1,b1有真b2,得到R中的主理想(a)(b)(b1)(b2),它们的并集I仍是R的主理想,于是I=(d).且d某(bi),于是(d)(bi) (d),(d)=(bi),因此(bi)=(bi+1)=(d)这与每bi+1是bi的真因子矛盾,条件(1)得证.再证条件(3).,7,主理想环(续2),再证R满足条件(3).设素元pab,则ab(p).先证(p)是的最大理想.若有理想A(p)则A=(a)(p),说明p=ra,rR.但p是素元,没有真因子,因此a是单位或a与p相伴.若a是单位,则A=R,若a与p相伴则A=(p),故(p)是R的最大理想.因此剩余类环R/(p)是域.且ab在同态之下象ab=ab=o, a=o或b=o，即pa或pb,条件(3)获证.,
