1、近世代数,主讲教师：张广祥,辅导课程二,2.运算律,结合律 A上的代数运算（通常表为乘法）若对每a,b,c A有a(bc)=(ab)c,称A满足结合律.,定理 若代数系统A满足结合律,则对任意的n3,A的任意n个元不论如何结合,它们的乘积不变,因此可简单记为a1a2an.,交换律 若 A上代数运算，对每a,b A,ab=ba, 则称A满足交换律.,分配律 若A上有两个代数运算,加法与乘法,且对a,b,c A有a(b+c)=ab+ac,则称A满足配律.同样有右分配律(a+b)c=ac+bc.,4.同态与同构,定义 两个代数系统A与B,若有映射:AB使每a1, a2A, (a1 a2)= (a1)
2、 (a2),则称为A到B的同态.若满,则称为满同态;若单,则称为单同态.若既单又满,则称为同构.,例1.设A=所有实数x.A的代数运算是实数的乘法.(1)若:x|x|,则是同态.(2)若:x2x,则不是同态.(3)问:xx2, : x-x是同态吗?,例2.设A=所有有理数x,则: x-x对于有理数加法是同构.,5.等价关系与等价类,定义1. 集合A上二元关系称为等价关系,若对每a,b,cA,有(1) a a(反身性) (2) a b b a(对称性) (3) a b, a c a c(传递性),定义2. 设是集合A上的等价关系, aA, 将A的子集x a|x A称为a所在的等价类, 记为a.,
3、定理 A是所有等价类的并集合,且不同的等价类 不相交.注.这种等价类为元素的集合称为A的商集,记为.可见,每个等价关系定义一个等价分类法,每个等价分类法定义一个商集.证 A的每个元含于一个等价类,aa.另一方面, 若 x ab,则ax,x b,a b,故a=b.,例 设n是正整数,Z是整数集,每a,bZ,若n|a-b则定义a b,易知是Z上的等价关系,这种等价关系称为a与b模n同余,记为ab(n)或a=b,通常将这种商集记为Zn.,近世代数,第2章 群论,内容简立,群的定义与性质 子群与商群子群、陪集、子群的指数、不变子群、商群 同态与不变子群同态与商群、同态基本定理 特殊的群循环群、变换群、
4、置换群、置换的运算,群的定义,定义1.非空集上有一个代数运算(乘法)且满足(1)每a、bG, ab G (封闭律)(2) (ab)c=a(bc) (结合律)(3)存在单位元e使ea=ae=a,且对每a有a-1使a-1a= a-1a=e,则G称为群. 群的阶|G|,无限群,有限群,交换群,非交换群 例 (1) 整数加群(Z,+) (2)方程 x n -1=0 的根组成一个n阶乘群.,消去律、有限群另一定义,定理2.2.1每个群仅有一个单位元.证 若e,e都是单位元,则e=ee=e. 定理2.2.2群中每个元仅有一个逆元. 定理2.2.3每个群满足左、右消去律:(3)若ax=ay,则x=y；若xa
5、=ya则x=y. 有限群另一定义(定理2.3.1) 非空有限集若满足条件(1)(2)(3)则G上一个群. 证 记G=a1,a2,an,由(3) G=a1a,a2a,a n a,故a=aia,同样 a=aai, ai=e.也有aja=e, aj=a-1.,群同态,定义 两个群之间影射:G H使(ab)= (a) (b)则称为群同态. 定理2.4.1 若:G H是两个乘法代数系统的同态,如G是群则H也是群,因此是群同态.证 由群的定义立得. 定理2.4.2 若:G H是群同态,则e是G的单位元时(e)是H的单位元,且 (a) -1=(a -1). 例 Z是整数加群,Zn是整数模n剩余类加群,则:a a是加群同态ZZn.,
