1、近世代数,主讲教师：张广祥,辅导课程五,置换群（续）,注.表法2要点:=(i1i2is)(j1j2 jt) ,不同括号内可由文字不相交,每个括号称为一个循环,长为1的循环略去不写,恒等置换记为1. 例 n次对称群Sn,阶为n!. S4=1,(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432) 定理2.6.2 每个n元置换都能表为文字不相交的循环之积.,置换群
2、（例题）,例1 = = =(12)(456), = (154)(26), =(16)(25), =(16)(24)-1 =(12)(465)(154)(26)=(16425) 例2 证明Sn的每个元都可以表为若干个形如(12),(13),(14),(1n)的2-循环之积. 证 看任一个循环(i1i2it),若1i1,i2, ,it,则(i1i2it)=(1i1)(1i2)(1it) (1i1),若1i1,i2, ,it,则(1 i2it)=(1i2)(1it). 例3 (1234)(56)=(12)(13)(14)(15)(16)(15)(123)(456)=(12)(13)(14)(15)(
3、16)(14)=(12)(13)(45)(46),循环群 要点 循环群是由一个元素生成的最简单的群.,定义 群G如果仅含某一个元a的方幂,则G称为由a生成的循环群,记为G=(a),G的阶也称为a的阶. 例1. 整数加群Z是一个无限循环群,生成元为1.2 .整数模n剩余类加群Zn也是循环群,生成元是1,阶为n. 定理2.7.1 循环群或同构于整数加群或同构于整数模n剩余类加群. 证 设G=(a).作影射:ZG使i ai .若 |a|无限,则是群同构ZG.若|a|=n,则(kn)=1, 是群同构Zn G.,子群 重点 子集是子群三个充分必要条件.,定义 群G的子集H如果在G的乘法之下也成为一个群,
4、则H称为G的子群,记为HG. 例 偶数加群是整数加群的子群.对称群S3 S4. 定理2.7.1 设H是群G的非空子集,则H是子群当且仅当(1)a,bHab H (2)aHa-1 定理2.7.2 设H是群G的非空子集,则H是子群当且仅当a,bHa-1b H. 定理2.7.3 设H是群G的有限非空子集,则H是子群当且仅当a,bHab H. 证 必要性显然,下证充分性.因为这时H满足条件(1)(2)(3),由定理2.3.1是子群.,子群(续) 生成元集,定义 设G是一个群,SG.记G的全体包含S的子群的交为(S),称为S生成的子群.特别地,若(S)=G,则称S是G的生成元集.循环群是由一个元素生成的
5、群. 例 S4=(123),(1234)证 (123)-1=(132),(132)(1234)=(14),(1234)-1(14)(1234)=(12),(123)(1234)=(1324),(1324)-1(14)(1324)=(13),故(123),(1234)=(12),(13),(14)= S4.,子群的陪集 重点 陪集分解,定义 设H是G的子群，aG，把子集aH= ahhH 称为H在G中的左陪集，注意aaH，同样把Ha= ahhH 称为右陪集. 引理 设HG，a，bG若aHbH则aH=bH. 证 若xaHbH则x=ah1=bh2，h1，h2H，于是a=bh2h11bH，aH bH.同
6、样bH aH，因此aH=bH. 定理2.9.1 设HG，则H在G中左陪集个数等于右陪集个数。记这种共同的个数为G：H，称为子群H在G中的指数.,子群与陪集(续),证 由引理G分解为互不相交的左陪集的并集G=a1H+asH(加号代表并集符号),这一等式称为左陪集分解.容易证明每aiH=Hai1,因此G=Ha11+Has1.于是G共含s个左陪集，同时G也共含s个右陪集，因此G：H=s. 定理2.9.2(Lagrange)如果G是有限群，HG则G=G:HH，特别地HG. 证 由H在G中的左陪集分解G=a1H+asH得G=sH=G:HH,证明阶为pm(p为素数)的群一定包含一个p阶群. 证 取1aG.
7、因|G|=pm,由Lagrange定理|a|= ps,sm.只要a1,则有| |=p.,子群与陪集(例),同态与不变子群,重点 不变子群是一类特重要的子群,由不变子群可以构造商群。 定义 若HG且对每aG有aH=Ha,则H称为G的不变子群，记为HG表示。 定理2.10.1-2 设N是G的子群,则下面三个条件等价 (1)NG (2)每aG，aNa1=N (3)每aG，nN有ana1N 定理2.10.3 若NG，则G/N= aNaG 在陪集的乘法之下成为一个群,这个群称为商群. 例 整数模n剩余类加群实际上是商群Zn=Z/(n).,同态与不变子群（续）,重点 本节四个定理指出了群同态、不变子群、商
8、群三者的密不可分的关系。 定理2.11.1 每个群G必与它的任何商群G/N同态。证 命(a)=aN,则:GG/N是群同态。 定理2.11.2 反过来若有群同态:G ，则同态核K=xG(x)= （G的单位元）G且 G/K。 证 (xy-1)= -1= , 故核K是子群,进一步K是正规子群。(x)=xK,则是群同构。,同态与不变子群（再续）,定理2.11.3 设：G 是群同态，则 （1）对G每个子群H，H的同态象 =(H)也是G的子群。 （2）G的每个不变子群N的象 =(N)也是G的不变子群。 定理2.11.4 设:G 是群同态，则 （1） 的子群 的逆象H=xG|(x) 也是G的子群。 （2） 的子群 的逆象N=xG|(x) 也是G的不变子群 。,同态与不变子群（例）,例 设两个有限循环群GH,|G|=m,|H|=n.证明n | m.证 记同态核为K,由定理2.11.2 G/KH,故n=|H|=|G/K| | |G|=m. 注 上面例中,对一般的两个群(不必循环群),只要有群同态GH,则总有|H| | |G|.,
