1、1,近世代数,主讲教师：张广祥,辅导课程九,2,第三章 环与域,3,理想,重点 注意理想是一个子环，但子环不一定是理想，熟悉主理想的结构。 定义1 环R的子集A 满足下列二条件：(1)每a,bA有a-bA(2)每rR,a A有raA,则A称为R的理想. 定义2 设R是一个环,a1,a2,anR，将R的包含元素a1,a2,an的最小理想 ,称为由a1,a2,an生成的理想,记为(a1,a2,an)由一个元a生成的理想称为主理想,记为(a).,4,理想(续1),主理想的元素形式: (1)当环R不交换时 (a)=(x1ay1+xmaym) +sa+at+na|xi,yi,s,tZ 。(2)当环R交换
2、时(a)=ra+na|rR,nZ.(3)进一步R既交换又有单位元,(a)=ra|rR例1 整数环Z中主理想 (2)=2Z.2 环Fx中主理想(x)=全体常数项为零的f(x).,5,理想(续2),例3 整系数多项试环Z(x)中(2,x)不是主理想环.证 首先(2,x)=2f(x)+xg(x)|f(x),g(x)Z(x). 若(2,x)=(p(x),则2(p(x),2=p(x)q(x). 因此p(x)=aZ.又因x(p(x),故a=1.但(1)=Z(x), 矛盾,因此(2,x)不是主理想.,6,环同态,重点 与群的同态基本定理(2.11.2)一样也有环的同态基本定理(3.8.2). 定义1. 设:
3、R 是环同态，则A=Ker=xR|(X)=0 称为的核。 定义2. 设A是环R的理想,则R/A=x+A|xR在加乘(x+A)+(y+A)=(x+y)+A,(x+A)(y+A)=xy+A 之下成为一个环,这个环称为剩余类环,其元素通常记为x+A=x. 例 Zm=Z/(m).,7,环同态(续),定理3.8.3 设:RR*是环同态，则 (1)R的子环S在下的象S*也是R*的子环. (2)R的理想A在下的象A*也是R*的理想. (3)反之,R*的子环S*在之下的逆象S=xR|(x)S*是R的子环. (4)R*的理想A*在下的逆象A=xR|(x)A*是R的理想.证 简单地验证.,8,最大理想,要点 利用
4、最大理想作剩余类环是由交换环获得域的重要方法. 定义1 设R是一个环,R也是它自身的理想,这种理想称为单位理想.如果R的一个非单位理想A不含在任何一个更大的非单位理想中,则称A为R的最大理想. 例 整数环Z的主理想(n)=nZ=nx|xZ.(6)(2),(3). (ab)(a),(b).于是(n)是Z的最大理想当且仅当n=p是素数.,9,最大理想(续),定理3.9.1 设R是一个有单位元的交换环，A是R的理想，则剩余类环R/A是域当且仅当A是R的最大理想. 证 必要性:若R/A是域,因为域只有平凡理想,故由定理3.8.3A是R的最大理想.充分性:若A是R的最大理想,则K=R/A只有零理想与单位
5、理想,要证K是域.设0aK,则(a)=K.说明1=a*a,a*K,K是域. 例 Zn是域当且仅当n是素数.,10,商域(分式域),要点 从一个无零因子的交换环获得域的另一种方法是求商域. 定理3.10.1 每一个无零因子的交换环都是一个域的子环. 定义1 由于一个无零因子的交换R都是一个域的子环,把含R的最小域F称为R的商域,则F= | a,bR,b0,因此商域也称分式域. 定理3.10.4 同构的环R的商域也同构. 例 整数环Z的商域是有理数域Q.,11,商域(续),定理3.10.1证明主要步骤:(1) A=(a,b)|a,bR,b0,定义上等价关系(a,b)(c,d)ad=bc.商集记为F,F的元表为 .(2)F上定义加法与乘法:+ = , =(3)证明F在上面运算之下成为一个域.(4)证明F包含一个与R同构的子环R*=a/1|aR.,
