1、与三角形有关的角教案李天明从容说课三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用又因为三角形是多边形的一种，而且是最简单的多边形在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究他们因此对三角形性质的研究就显得十分重要在小学已学习过三角形的内角的有关知识，知道三角形的内角和为 180，但是为什么是180而不去研究在这里要求学生掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明在证明过程中通过一题多解、一题多变，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展；由内角
2、中的等量关系和外角中的不等关系，让学生体会相等与不等关系的简单证明引导学生从内和外，相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考在教学中，首先让学生动手操作，把三角形的三个内角拼合在一起，探索它们的和及其原因，然后互相交流各自的想法，并归纳总结出结论再寻求多渠道、不同途径的解决问题的方法，使学生经历实验思考交流总 结运用的过程让他们不仅掌握知识点，还要知道为什么、做什么用，使学到的数学知识与实际生活联系起来避免了数学的枯燥无味和脱离实际的现象，使数学真正运用到实际中去教学课时三维目标一、知识与技能1掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单运用2掌握三角形的外角的定义，三角形内角和定理的两个推论及其
3、证明；3体会几何中不等关系的简单证明二、过程与方法1通过探索“三角形内角和定理”及其推论，培养学生的探索能力和实践操作能力；2在学习了三角形的内角和外角后，能运用所学知识解决简单的问题，训练学生对所学知识的运用能力三、情感态度与价值观1通过让学生积极参与数学学习活动，培养学生对数学的好奇心与求知欲；2由具体实例的引导，让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与研究教学重点三角形内角和定理及推论教学难点三角形内角和定理及推论的证明和运用教具准备投影片三张：第一张（记作 72A） ；第二张（72B） ；第三张（72C） 教学过程一、创设问题情境，导入新课
4、在小学我们已经知道三角形的内角和为 180，但究竟为什么是 180，我们没有去研究，本节课我们来回答这个问题二、动手试一试，你会有收获活动 1问题：在纸上画一个三角形，并将它的内角剪下，试着拼拼看，三个内角的和是否为 180？设计意图：旨在让学生亲身实验一下，对所研究的问题产生兴趣，激发好奇心和求知欲通过亲身经历，体会从具体情景中发现教学问题师生活动：让学生人人画一个三角形，并把三个角裁下来，拼在一起，让他们自己得出结论生：三个角拼在一起，会得到一个 180的角师：为什么是 180呢？生：因为三个角合起来形成一个平角，而平角等于 180，所以三个角的和为 180师：大家得出的结论相同吗？你们画
5、的三角形都一样吗？如果不一样，你能得出什么结论呢？生：我们互相交流一下，结论都是一样的，但所画的三角形并不完全一样，所以说明三角形三个内角的和与形状没有关系，只要是三角形，其内角和就一定为 180师：大家回答得非常棒但这只是实验，由观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明来验证，那么怎样证明呢？请同学们看投影片（出示投影片 72A）在图 72-1（1）中，B 和C 分别拼在A 的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点 A 的直线 L，移动后的B 和C 各有一条边在 L 上想一想，L与ABC 的边 BC 有什么关系？由这个图你能想出说明三角形内角和等于 180这
6、个结论正确的方法吗？请大家思考后再互相交流生：因为移动后的C 与未移动时的C 相等，而他们又是内错角，由平行线的裁定可知，直线 L 与边 BC 平行，所以可以过ABC 的顶点 A 作直线 L 平行于ABC 的边 BC，由平行线的性质与平角的定义可知A+B+C=180师：大家能写出证明过程吗？这是一个文字命题，证明时应先干什么呢？生：需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证师：下面请一位同学完整地写出过程生：如图 72-2，已知ABC,求证：A+B+C=180证明：过 A 作直线 DEBC，DAB=B，EAC=CDAB+BAC+EAC=180，B+BAC+C=180，即A+B
7、+C=180师：再观察图 72-2（2） 辅助线的作法与图 72-1（1）一样吗？证明方法相同吗？生：辅助线的作法不同移动前的A 和移动后的A 相等，且是内错角的位置关系，可知直线 L 与边 AB 平行，同时移动前和移动后的B 是同位角也应相等，所以三个角拼在一起构成了平角，故A+B+C=180师：能写出证明过程吗？生：已知、求证和上面相同证明：如图 72-3 延长 BC 到 D，过 C 作 CEABA=ACE；B=ECDACE+ACB+ECD=180，A+ACB+B=180，即A+B+C=180师：利用两直线平行，同旁内角互补怎样？课下讨论从上面的两种证明方法中，大家能否找到它们的异同点？它
8、们的思路是否一致呢？生：相同点是：都是把三角形的三个内角拼到一起，根据平角的定义，证明三角形的内角和是 180；不同的是：辅助线的作法不同，前者是过 A 点作边 BC 的平行线，后者是过 C 点作边 AB的平行线但不管是过三角形的哪一个顶点，作另一边的平行线，它们的思路基本一致，就是通过平行线，利用平行线的性质，通过同位角或内错角相等，把三个角都拼到一起，构成一个平角，从而得证师：很好大家的证明过程写的非常好，分析的非常棒，找到了解决问题的思路根据思路，大家还能找到其他的证明方法吗？生：还可以这样作辅助线，如图 72-4 作 CA 的延长线 AD，过点 A 作DAE=C，则AEBC，所以EAB
9、=B因为DAE+EAB+BAC=180，故 C+B+BAC=180，即A+B+C=180师：大家做的非常好，前三种方法都是把三个角转移到三角形的一个顶点处只要把它们拼到一起成为平角即可，那么是否可以转移到其他地方呢？请大家讨论生：如图 72-5，在 BC 上任取一点 D，过点 D 作 DEAB 交 AC 于 E，再过点 D 作 DFAC交AB 于 FDEAB，1=B，2=4DFAC，3=C，4=A2=A1+2+3=180A+B+C=180师：大家讨论的非常棒可见大家已掌握了三角形内角和定理的证明，并能根据思路拓展，由于时间关系，我们不再继续了，在课后大家可以继续讨论有关问题，比如点在ABC 的
10、内部？外部呢？活动 2出示投影片 72B例：如图 72-6，C 岛在 A 岛的北偏东 50方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80方向，C 岛在 B岛的北偏西 40方向，从 C 岛看 A、B 两岛的视角ACB 是多少度？师生活动：师：请大家先观察思考，题中出现的这些方位角，在图上分别指出生：C 岛在 A 岛的北偏东 50方向，指DAC=50；B 岛在 A 岛的北偏东 80方向，指DAB=80；C 岛在 A 岛的北偏西 40方向，指CBE=40；要求的是AOB 的度数师：下面再讨论一下根据已知角，如果求出ACB 的度数生：要求ACB 的度数，根据三角形内角和定理，需求出CAB 和CBA 的度数而CA
11、B=DAB-DAC=80-50=30，CBA=90-CBE=90-40=50所以ACB=180-CAB-CBA=180-30-50=100生：他做的不对，CBA 不等于 50因为EBA 不是 90而是因为ADBE，DAB+ABE=180ABE=180-DAB=100ABC=ABE-CBE=60ACB=180-30-60=90师：哪一位同学能把过程完整地写一下呢？生：解：CAB=BAD-CAD=80-50=30ADBE，BAD+ABE=180ABE=180-BAD=180-80=100ABC=ABE-EBC=100-40=60在ABC 中ACB=180-ABC-CAB=180-60-30=90答
12、：从 C 岛看 A、B 两岛的视角ACB=90师：大家看，过 C 点作 AD 的平行线 CF，则 ADCFBE，往后课下完成尝试反馈巩固练习（出示投影片 72C）1ABC 中，A=40，B-C=30求B，C2ABC 中，A：B：C=1：2：2求A，B，C3在ABC 中，A+B=90，C=2A求A，B，C4如图 72-7，在ABC 中，C=ABC=2A，BD 是 AB 边上的高求DBC 的度数设计意图：利用三角形内角和定理求某些角的度数师生活动：生：1解：A=40，A+B+C=180，B+C=180-A=140B-C=30，B=C+30，C+30+C=140C=55，B=852解：A：B：C=1
13、：2：2，设A=x，B=C=2xA+B+C=180，5x=180，x=36A=36，B=C=723解：A+B=80，C=180-80=100C=2A，A= C=50，12B=180-A-B=304解：C=ABC=2AA=36，C=72BDDC，BDC=90DBC=180-BDC-C=180-90-72=18活动 3问题：探究三角形外角的定义，外角与不相邻内角间的关系设计意图：旨在掌握三角形外角的定义的基础上，利用三角形内角和定理，推导出外角与不相邻内角间的关系师生活动：师：前面我们学习了三角形的内角，也称为三角形的角，还掌握了内角和定理，下面我们来探究一下三角形的外角生：顾名思义，三角形的内角
14、是三角形内部的角， 那么三角形的外角就是三角形外部的角如图 72-8，BAC、B、C 是三角形的内角，BAE、CAD、EAD 是三角形外部的角，称为三角形 的外角师：这位同学的分析似乎有道理，大家认为怎么样？ 小组讨论后交流生：不正确，不能这样想当然外角不是外部的角， 而是三角形的一边与另一边的延长线组成的角，如DAC、EAB、DAE 虽然在三角形的外部，但它的两 边都是三角形的延长线，不符合外角的定义，所以它不是外角师：这位同学说出了外角应具备的条件：角的顶点是三角形的顶点；角的一边是三角形的一边；另一边是三角形中一边的延长线，那么在上面的图 72-8 中，满足条件的角（外角）是否只有DAC
15、 和EAB 呢？请大家思考后作答生：不是在三角形每个顶点处都有两个外角，所以一个三角形有 6 个外角，而且同一顶点处的两个外角是对顶角，应该相等师：大家的分析很详细那么这些外角与内角之间有没有关系，如果有，存在什么关系呢？将是下面我们要解决的问题如图 72-9，ABC 中，A=70，B=60ACD 是ABC 的一个外角能由A，B 求出ACD 吗？如果能，ACD 与A，B 有什么关系？你能进一步说明任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有什么关系吗？生：A+B+ACB=180，ACB+ACD=180ACD=A+B=130所以三角形的一个外角等于两个内角的和师：根据刚才这位同学的逻辑，那么A
16、CD=A+ACB，ACD=B+ACB 成立吗？生：不成立再如图 72-10，A=30，B=40则ACB=110因为ACB+ACD=180，所以ACD=70那么ACD=A+ACB 成立吗？生：不成立师：为什么呢？那刚才的结论成立吗？生：不成立在上图中有结论ACD=A+B，本题 中有ACD=A+B而A，B 与ACD 不相邻，所以上面的结论应改为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和师：那么外角与其中一个不相邻的内角之间的关系呢？生：因为两个角的和等于外角，所以外角应大于其中任何一个内角师：由此可知三角形内角和定理的推论1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和2三角形的一个外角大于与它
17、不相邻的任何一个内角尝试反馈巩固练习1已知：如图 72-11，BAF，CBD，ACE 是ABC 的三个外角求证：BAF+CBD+ACE=360设计意图：巩固三角形内角和及其推论师生活动：生：证明：BAF=2+3，CBD=1+3，ACE=1+2，BAF+CBD+ACE=2（1+2+3） 1+2+3=180BAF+CBD+ACE=3602已知：如图 7 2-12，在ABC 中，1 是它的一个外角，E 为边 AC 上一点，延长 BC 到D，连结 DE求证：12设计意图：体会几何中不等关系的简单证明师生活动：证明：1 是ABC 的外角，133 是DCE 的外角，32，12三、课时小结本节课共同探索了三
18、角形内角和定理及推论的证明，基本思想是：把三个内角拼在一起，拼成一个平角；熟练掌握三角形内角和及外角和定理；理解三角形外角的性质，并能解简单问题板书设计72 与三角形有关的角活动一（探究三角形内角和）活动二（例题讲解）活动三（探究三角形的外角与不相邻的内角间的关系）活动与探究在前面讨论三角形内角和定理的证明时，证明的思路是把三角形的三个角拼到一起，构成一个平角，根据平角的定义得证可以把三个角“凑”到一个顶点处，也可以把三角形“凑”到一边上，那么能否把三个角“凑”到三角形的内部和外部呢？如下图：过 P 点分别作三边的平行线 ST、MN、QR在左上图中，A=QST=SPN，B=SQP=NPR，C=
19、NRP=SPQ，SPN+NPR+SPQ=180，A+B+C=180在右上图中，A+ATS=SPN，B=1=NPR，C=2=SPQSPN+NPR+SPQ=180，A+B+C=180以上几种证法，都是在把三角形的三个内角剪下拼在一起，构成一个平角的实验基础上产生的特别是添加了辅助线，构造出了新图形，形成了新的关系，把未知数化成已知下面这一种证法十分有趣，不直接从内角的角度考虑问题，而是从外角入手，应用了运动的观点来解决问题一个人沿着一个三角形广场绕圈跑步，设他站在 AB 边上任意一点 P 处，面向 B 点前进，到达B 点向左移动一个角度1，面向 C 点前面，到达 C点后向左再转动一个角度2，再面向 A 点前进，到达 A 点后再向左转动一个角度3，最后又回到 P 点，仍面向 B 点站立，则他在这个过程中共转了一周，即1+2+3=360证明：1=180-ABC，2=180-ACB，3=180-BAC，1+2+3=540-（ABC+ACB+BAC）=360ABC+ACB+BAC=180
