1、11 32“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图 151 提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 奎 屯王 新 敞新 疆教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆第一课时一、复习引入：1二项式定理及其特例：（1） 01()
2、()nnrnnabCabCbN ，（2） rnnxx .2二项展开式的通项公式： 1rrT 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 奎 屯王 新 敞新 疆 二、讲解新课：1 奎 屯王 新 敞新 疆 二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当 n依次取 1,23时，二 项 式 系数 表 ， 表 中 每 行 两 端 都 是 1， 除 以 外 的 每 一 个 数 都 等 于 它 肩 上 两 个数 的 和 奎 屯王 新 敞新 疆2二项式系数的性质：()nab展开式的二项式系数是
3、 0nC， 1， 2n， nC r可以看成以 r为自变量的函数 ()fr定义域是 0,12, ，例当 6时，其图象是 7个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mnC） 直线 2r是图象的对称轴2（2）增减性与最大值 1(1)2()!k kn nCCk ， knC相对于 1kn的增减情况由 决定， 2n，当 2时 ， 二 项 式 系 数 逐 渐 增 大 由 对 称 性 知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 减 小 的 ， 且 在 中 间 取得 最 大 值 ；当 n是偶数时，中间一项 2nC取得最大值；当 n是奇数时，中间两项12nC，取得最大值（3）各二项式系
4、数和： 1(1)nrnnnxx ，令 ，则 022rnnCC 奎 屯王 新 敞新 疆三、讲解范例：例 1在 ()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 奎 屯王 新 敞新 疆证明：在展开式 01() ()nnrnnCabCabN 中，令1,ab，则 231(1)nnn ，即 0213()()nC ， n ，即在 ()ab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（3）及例 1 知 021312nnnCC .例 2已知 7 702()xaxax ，求：（1） 27a ； （2） 1357； （3） 017|aa .解：（1）当 1x时，
5、7()()x，展开式右边为027 1aa ，当 x时， 0， 1271a ，（2）令 ， 3令 1x， 701234563aa 得： 71357()1， 1357a7132.（3）由展开式知： 1357,a均为负， 0248,均为正，由（2）中+ 得： 70246()13a， 70246aa， 017| 01234567aa724635()()aa奎 屯王 新 敞新 疆例 3.求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展开式中 x3的系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： )1(1)x(1 100）（= x)(，原式中 3实为这分子中的 4x，则所求系数为 71C 奎 屯王 新 敞新 疆4第二课时
6、例 4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求 x 的系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： 55)2(1)x3( 在(x+1) 5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为 xC15，在(2+x) 5展开式中，常数项为 25=32，含 x 的项为 8024 展开式中含 x 的项为 )3()80( ，此展开式中 x 的系数为 240 奎 屯王 新 敞新 疆例 5.已知 n2)(的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展开式的常数项 奎 屯王 新 敞新 疆解：依题意 2n4n2n4 C13:1C:3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! n=10 奎 屯王 新 敞新
7、 疆设第 r+1 项为常数项，又 2r510rr2r10r1r xC)(x()T令 2r0251， .18)(CT1此所求常数项为 180 奎 屯王 新 敞新 疆例 6 设 231nxxx 201naxa ，当 01254naa 时，求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆解：令 得： 23012 nn 2(1)54， 8,7n，点评：对于 101()()nnnfxaxa ，令 1,xa即 可得各项系数的和 012n 的值；令 ,即 ，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 奎 屯王 新 敞新 疆例 7求证： 12312nnnCC 证（法一）倒序相加：设 S13nn 5又 S1221()()nnnnCC r
8、rn， 01,nn ， 由+得： 22n ， 11nS，即 312nnnCC （法二）：左边各组合数的通项为 rnC1!()!()1rnr ， 1230121n nnn nCC 12n例 8在 10)(yx的展开式中,求:二项式系数的和; 各项系数的和; 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 奇数项系数和与偶数项系数和; x的奇次项系数和与 x的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数 rnC,故在,中只需求组合数的和,而与二项式yx32中的系数无关.解：设 10289101)( yayxaxayx (*),各项系数和即为 00 ,奇数项系数和为 0210a ,偶数项系数和为953
9、1aa,x的奇次项系数和为 9531a ,x的偶次项系数和10420.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数和为 10102C .令 1yx,各项系数和为 )(3(.奇数项的二项式系数和为 9102102 ,偶数项的二项式系数和为 3C .6设 10289101)32( yayxaxayx ,令 ,得到 1020 (1),令 1x, y(或 1x, y)得 10325aa (2)(1)+(2)得 100205aa ,奇数项的系数和为 51;(1)-(2)得 10931)(2aa ,偶数项的系数和为 510. x的奇次项系数和为 25109531aa ;的偶次项系数和为
10、 10420 .点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.7第三课时例 9已知 nx23)(的展开式的系数和比 nx)13(的展开式的系数和大 992,求nx2)1(的展开式中:二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.解：由题意 922n,解得 5n. 10()x的展开式中第 6 项的二项式系数最大,即 804)1(255106 xCT.设第 r项的系数的绝对值最大,则 rrrrr xCx 21010101 )()( 1010122rrrC,得 102rr,即 rr)( 38, ,故系数的绝对值
11、最大的是第 4 项 奎 屯王 新 敞新 疆例 10已知：23()nx的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 92（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 奎 屯王 新 敞新 疆解：令 ，则展开式中各项系数和为 2(13)n，又展开式中二项式系数和为 2n， 29n， 5（1） ，展开式共 6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，23235()0TCxx，2233345()70TCxx，（2）设展开式中第 1r项系数最大，则1045231 5()rrrrr Cx，1557923rr， ，即展开式中第 项系数最大，22644335()05TCxx例 11已知 )(11
12、NnSnnnn ，8求证：当 n为偶数时， 14nS能被 6整除 奎 屯王 新 敞新 疆分析：由二项式定理的逆用化简 ，再把 14nS变形，化为含有因数 64的多项式 奎 屯王 新 敞新 疆 12122()nnnnSCC 3， 4n3， 为偶数，设 k（ *N） ， 1281k()81k01kkkCC128() （ ） ，当 k=1时， 40nS显然能被 64整除，当 2时， （ ）式能被 整除，所以，当 为偶数时， 1n能被 整除 奎 屯王 新 敞新 疆三、课堂练习：1 451x展开式中 4x的系数为 ，各项系数之和为 2多项式 23()(1)()(1)nnnnfCCxx （ 6）的展开式中
13、， 6x的系数为 3若二项式 231()nx（ N）的展开式中含有常数项，则 n的最小值为（ ）A.4 B.5 C.6 D.84某企业欲实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于 5 B.在 56之间 C.在 68之间 D.在 8以上5在 (1)nx的展开式中，奇数项之和为 p，偶数项之和为 q，则 2(1)nx等于（ ）A.0 B. pq C. 2q D. 26求和： 341012311 nnnnnaaaCCC7求证：当 N且 时， 18求 102x的展开式中系数最大的项 奎 屯王 新 敞新 疆9答案：1. 45, 0 2. 0 提示： 1
14、6nfx 奎 屯王 新 敞新 疆3. B 4. C 5. D 6. 1na7. (略) 8. 33156Tx四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆 五、课后作业：P36 习题 1.3A 组 5. 6. 7.8 B 组 1. 21已知 2()na展开式中的各项系数的和等于516x的展开式的常数项，而2n展开式的系数的最大的项
15、等于 54，求 a的值 ()R 奎 屯王 新 敞新 疆答案： 3a2设 5914130 131412xaxxxa求： 014 1313a 答案： 9368； 9562 奎 屯王 新 敞新 疆3求值： 01234578999992 2CCC答案： 856 奎 屯王 新 敞新 疆4设 296()1)(fxx，试求 ()fx的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 奎 屯王 新 敞新 疆答案：（1） 63729； （2）所有偶次项的系数和为63142；所有奇次项的系数和为65 奎 屯王 新 敞新 疆六、板书设计（略） 奎 屯王 新 敞新 疆七、教学反思：二项展开
16、式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同10时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+ b)2=a2+2ab+b2，( a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b) n展开后应有什么规律，这里 n N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.选择实验归纳的研究方式，对(a+ b)n一般形式的研究与求数列 an的通项公式有些类似，大家想想，求 an时我们用了
17、什么方法，学生：先写出前 n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b) 4 的展开，因( a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b) 3 展开的结论计算 (a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.对计算的化算：对(a+b) n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学
18、生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用 nna10,来表示，它这样一来(a+b) n的展开形式就可写成(a+ b)n= nrrnba10 现在的问题就是要找 rna的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算 奎 屯王 新 敞新 疆2007年高考题1 （2007 年江苏卷）若对于任意实数 x，有 3 2301()()()axax，则 2a的值为（B）A 3 B 6 C 9 D 12 （2007 年湖北卷）如果nx32的展开式中含有非零常数项，则
19、正整数 n 的最小值为A.3 B.5 C.6 D.10【答案】：B.【分析】： 2 2()32513() ()rnrrnrnrrnrnrTCxCxCx，250nr， （ ,4 ） 。 min5.【高考考点】：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力.【易错点】：注意二项式定理的通项公式中项数与 r 的关系。【备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。113 （2007 年江西卷）已知 3nx展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，则 n等于（ C ） 5 6 74 （2007 年全国卷 I） 21nx的
20、展开式中，常数项为 15，则 n（ D ）A 3B 4C D5 （2007 年全国卷）821()x的展开式中常数项为 42 （用数字作答）6 （2007 年天津卷）若62a的二项展开式中 2x的系数为 5，则 a 2 （用数字作答） 7 （2007 年重庆卷）若 nx)1(展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ B ）A10 B.20 C.30 D.1208 （2007 年安徽卷）若(2x 3+ x1)a 的展开式中含有常数项 ,则最小的正整数 n 等于 7 .9 （2007 年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所示的 0-1 三角数表从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第3 行，第 n次全行的数都为 1 的是第 2n 行；第 61 行中 1 的个数是 32 第 1 行 1 1第 2 行 1 0 1第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 图 1
