1、1最短路径问题 姓名 类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题：1. 一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。作法：连接两个定点，交直线于一点，交点即为所求。例 1、如图，在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小作法：连接 AB，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求。说明：连接 A、B 两点的线中，线段最短。连接 AB，交直线 l 于点 P，此时 PA+PB 最小=AB2. 一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。方法：利用轴对称变换将直线同侧两个定点转化为直线异侧两个定点，然后根据“两点之间线段最短” ，用例 1 的
2、方法确定动点的位置。例 2、 如图，在直线 上求一点 P，使 PA+PB 值最小l作法：作点 A 关于直线 的对称点 A；连接 AB，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求。说明：连接 AP、AA ，点 A 和点 A关于直线 对称，l直线 是 AA的垂直平分线， PA=PA ，两点之间，线段最短。l此时 PA+PB 最小=PA +PB=AB。类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题：1.一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。例 3、在直线 上求一点 P，使 的值最大l BA作法：连接 AB，并延长交直线 于点 P，点 P 即为所求。l证明：在直线 上
3、另取一点 P，连接 PA 和 PB， 三角形的两边之差大于第三边，l ； 而连接 AB，并延长交直线 于点 P，此时 ，BAPl ABA最 大此 时2.一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。方法：利用轴对称变换将直线异侧两个定点转化为直线同侧两个定点，然后根据“三角形的两边之差大于第三边” ，用例 3 的方法确定动点的位置。例 4、如图，在直线 上求一点 P，使 的值最大l B作法：作点 B 关于直线 的对称点 B，连接 AB，并延长交直线 于点 P，点 P 即为所求。l说明：连接 AP、AA ，点 A 和点 A关于直线 对称，直线 是 AA的垂直平分线PA=PA ，
4、l若在直线 上另取一点 P，连接 PA 和 PB， 三角形的两边之差大于第三边，l 此时P AB最 大总结：“同侧差最大，异侧和最小；位置不满足，对称后再看；三点共线找交点” 。类型三、两条直线之间的区域内有一定点，两直线上各有一动点，要使连接这三点所得的三角形周长最小，确定两动点的位置。lABlBAlBAlBA lAB2例 5、如图，在直线 上分别求点 M、N，使PMN 的周长最小21l、方法分析：利用轴对称，将定点 P 分别转化到两直线所夹区域的外部去（即直线 的另一侧） ，再根据“两点之间，线段最短” ，21l、连接点 P 的两个对称点，与直线 的交点即为所求。21l、作法：分别作点 P
5、 关于直线 的对称点 ;、 21P、即 为 所 求 。、， 点于， 交于， 交 连 接 NMll2121说明：连接 MP、NP ，点 P 和点 P1 关于直线 对称，直线 是 PP1 的垂直平分线，MP=MP 1，1ll点 P 和点 P2 关于直线 对称，直线 是 PP2 的垂直平分线，NP=NP 2 ，2l两点之间，线段最短 ，此时 PM+MN+PN 最小=MP 1+MN+NP2=P1P2类型四、两条直线的之间有两个定点，两直线上各有一动点，要使连接这四点所得的四边形周长最小，确定两动点的位置。例 1、在直线 、 上分别求点 M、N，使四边形 PQMN 周长最小.1l2方法分析：利用轴对称，
6、将两个定点 P、Q 分别转化到两直线所夹区域的外部去（即直线 的另一侧） ，一侧一个点，再根据“两点之间，线段最短” ，21l、连接点 P、Q 的对称点，与直线 的交点即为所求。21l、作法：作点 Q 关于直线 的对称点 ; 作点 P 关于直线 的对称点 ；l 2l1P即 为 所 求 。、， 点于， 交于， 交 连 接 NMN211说明：连接 MP、NQ，点 P 和点 P1 关于直线 对称，直线 是 PP1 的垂直平分线，2l2lMP=MP 1，点 Q 和点 Q1 关于直线 对称， 直线 是 QQ1 的垂直平分线， NQ=NQ 1，1ll两点之间，线段最短 ，此时 PM+MN+PN 最小=MP
7、 1+MN+NQ1=P1Q1例 2、如图，牧童星期天从 A 处赶了几只羊到草地 放羊，然后赶到小河 饮水，之后再回到 B 处mn的家，假设牧童赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线标明放羊与饮水的位置。l1l2Pl1l2PQ3类型五、架桥修路距离最短的问题1、 两条平行线 之间的距离为 d，直线 外有异侧两定点 A、B ，在 上分别有两个动nm、 nm、 nm、点 M、 N，且 ，要使 AM+MN+BN 的值最小，试确定动点 M、N 的位置。作法：从点 A 向下作 AAm 且 AA=d（即：将点 A 向下平移 d 个单位长度至点 A）连接 AB，交直线 n 于点 N，作 NMm 于 M，
8、M、N 即为所求。说明：连接 AM、BN，此时，AA平行且等于 MN，四边形 AANM 是平行四边形，AM=AN， ， 且 AM+MN+BN 最小=AB+MN。例 1、如图，从 A 地到 B 地经过一条小河（两岸平行） ，今要在河上建一座桥（桥与河岸垂直） ，应如何选择桥的位置才能使 A 到 B 的路程最短?例 2、荆州护城河在 CC处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD、EE ，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？2、一条直线 a 上有两个动点 M、N（点 M 在 N 的左边） ，M、N 的距离为定值 d，
9、直线 a 外有异侧两定点 A、B，要使 AM+MN+BN 的值最小，试确定动点 M、N 的位置。作法：从点 A 向右作 AAa 且 AA=MN=d（即：将点 A 向右平移 d 个单位长度至点 A）连接 AB，交直线 a 于点 N，在直线 a 上点 N 的左边截取 NM=d，M、N 即为所求。说明：连接 AM、BN，此时，AA平行且等于 MN，四边形 AANM 是平行四边形， AM=AN， 且 AM+MN+BN 最小 =AB+MN。3、一条直线 a 上有两个动点 M、N（点 M 在 N 的左边） ，M、N 的距离为定值 d，直线 a 外有同侧两定点 A、B，要使 AM+MN+BN 的值最小，试确定动点 M、N 的位置。作法：作点 A 关于直线 a 的对称点 ， （问题即转化为 2 中的问题）1A从点 A 向右作 且 （即：将点 向右平移 d 个单位长度至点 ）21 d2 1A2A连接 ，交直线 a 于点 N，B2在直线 a 上点 N 的左边截取 NM=d，M、N 即为所求。说明：连接 AM、BN，此时， 平行且等于 MN，四边形 是平行四边形，21ANM21， 且 AM+MN+BN 最小=AB+MN。MA21注：解决有关距离最大最小的问题，应先将问题转化成以上基本模型，再按其基本方法确定题目中所需点的位置。mnABMN
