1、大连海事大学图论论文姓名：学号：专业：计算机科学与技术院系：信息科学技术 2009 级摘要：主要介绍最短路的两种算法，迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德 (Floyd)算法。以及这两种算法在实际问题中的应用和比较。关键字：图论，最短路径，树，生成树，迪杰斯特拉(Dijkstra) ，弗罗伊德(Floyd)算法最短路问题及其应用1 引言图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题，如迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等 这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意在这些问题研究的
2、基础上又继续提出了著名的四色猜想和汉米尔顿（环游世界）数学难题 1847 年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出越来越大的作用在实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、军事等领域中许多问题的有力工具之一。 最短路问题是图论理论的一个经典问题。寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地
3、理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。2 最短路2.1 最短路的定义对最短路问题的研究早在上个世纪 60 年代以前就卓有成效了,其中对赋权图的有效算法是由荷兰著名计算机专家 E.W.Dijkstra 在 1959 年首次提出的,该算法0ijw能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图 G 中一特定点到其它各顶点的最短路。后来海斯在 Dijkstra 算法的基础之上提出了海斯算法。但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。因此由 Ford 提出了 Ford 算法,它能有
4、效地解决含有负权的最短路问题。但在现实生活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在 的情况下选择 Dijkstra 算0ijw法。定义 1 若图 G=G(V,E)中各边 e 都赋有一个实数 W(e),称为边 e 的权,则称这种图为赋权图,记为 G=G(V,E,W)。定义 2 若图 G=G(V,E)是赋权图且 , ,若 u 是 到 的路 的0WeEGivjWu权,则称 为 的长,长最小的 到 的路 称为最短路。Wuivju若要找出从 到 的通路 ,使全长最短,即 。ivnuminijeu2.2 最短路问题算法的基本思想及基本步骤在求解网络图上节点间最短路径的方法中,目前国内外一致公认的较好算
5、法有迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法。这两种算法中 ,网络被抽象为一个图论中定义的有向或无向图,并利用图的节点邻接矩阵记录点间的关联信息。在进行图的遍历以搜索最短路径时,以该矩阵为基础不断进行目标值的最小性判别,直到获得最后的优化路径。Dijkstra 算法是图论中确定最短路的基本方法,也是其它算法的基础。为了求出赋权图中任意两结点之间的最短路径,通常采用两种方法。一种方法是每次以一个结点为源点,重复执行 Dijkstra 算法 n 次。另一种方法是由 Floyd 于 1962 年提出的 Floyd 算法,其时间复杂度为 ,虽然与重复执行 Dijkstra 算法 n
6、次的时间复杂度相同,但其形式上略为简单,且实3O际运算效果要好于前者。Dijkstra 算法基本步骤 ：令： _23,1,i nsvsv并令：0,jjWT1、 对 ，求 。jvsmin,jiijjTvWwTv2、 求 得 ，使 =j jvskknjjvs令 kkWT3、若 则已找到 到 的最短路距离 ，否则令 从 中删去 转 1knv1vnkWviksiv这样经过有限次迭代则可以求出 到 的最短路线，可以用一个流程图来表示：1n第一步 先取 意即 到 的距离为 0,而 是对 所赋的初值。10Wv1vjTvj第二步 利用 已知,根据 对 进行修正。min,jiijWwj第三步 对所有修正后的 求
7、出其最小者 。其对应的点 是 所能一步到jTvkvkv1达的点 中最近的一个,由于所有 。因此任何从其它点 中转而到达 的通路jv0uj k上的距离都大于 直接到 的距离 ,因此 就是 到 的最短距离,所以在算法1kvkvkT1vk中令 并从 s 中删去 ,若 k=n 则 就是 到 的最短路线,kkWvT nW1nv计算结束。否则令 回到第二步,继续运算,直到 k=n 为止。iv这样每一次迭代,得到 到一点 的最短距离,重复上述过程直到 。1vk knvFloyd 算法的基本原理和实现方法为: 如果一个矩阵 其中 表示 与 间的距ijDd0ijij离,若 与 间无路可通,则 为无穷大。 与 间
8、的最短距离存在经过 与 间的 和不经ijijdij k过 两种情况,所以可以令 ,n(n 为节点数) 。检查 与 的值,在此,k1,23,kn ijikjd与 分别为目前所知的 到 与 到 的最短距离,因此, 就是 到 经过 的最ikdj ijikj k短距离。所以,若有 ,就表示从 出发经 再到 的距离要比原来的 到 距离ijikjdijij短,自然把 到 的 重写成 。每当一个 搜索完, 就是目前 到 的最短距离。iijikjdkijdij重复这一过程,最后当查完所有 时, 就为 到 的最短距离。ijj3 最短路的应用3.1 在运输网络中的应用 设 6 个城市 之间的一个公路网(图 1)每
9、条公路为图中的边 ,边上的权数表示126,v该段公路的长度(单位:百公里), 设你处在城市 ,那么从 到 应选择哪一路径使你的费用1v16v最省。解:首先设每百公里所用费用相同 ,求 到 的费用最少,既求 到 的最短路线。为了方便1v61v6计算,先作出该网络的距离矩阵,如下:12345623456059810259vvLv(0)设 ,1 234560,jWvTvsv(1)第一次迭代计算 如下,23,456j212minmin,05Tvvw333, 24414i i,vvW56,T取 ,令32injjvsTv332Tv由于 ,令 转(1)3k2456,si第二次迭代:算 如下,24,56jTv
10、232minmin5,13Wvw444, 8v5535i i0,2Tv666n,nvw取 令2mijjvsTv 223WTv由于 ,令 转(1)26kn456,si第三次迭代:算 如下,45,jTv4424min,min8,35TvvWw5551096v取 44in8,8jjvsTvTv由于 ,令 转(1)46k56,si第四次迭代:算 如下,5jTv545min,min10,28Wvw66653v 取 55in10,10jjvsTvTv由于 ,令 转(1)56k6s第五次迭代:算 如下,jTv6656min,min13,02Wvw由于 。因此已找到 到 的最短距离为 12。计算结束。k1找最
11、短路线:逆向追踪得 32456vv最短距离为 12,即从城市 到城市 的距离最短,即费用最省。163.2 在舰船通道路线设计中的应用 利用图论的经典理论和人群流量理论研究舰船人员通道路线的优化设计及最优线路选择。首先介绍图论相关理论,对船舶通道进行路网抽象,建立网络图,然后根据人群流动的相关理论,选取不同拥挤情况下的人员移动速度,从而确定各条路段(包括楼梯) 的行程时间。以行程时间作为通道网络的路权，得出路阻矩阵以选择一对起点/终点的最短时间路线为目标,建立最短路径问题的数学模型,利用经典的 Floyd 算法确定最短路径。将此方法应用于某舰艇多层甲板的通道网络中,计算结果并进行讨论,最后在此研
12、究的基础上对通道设计相关问题的深化和拓展进行了探讨和总结,并提出设想。路线优化技术通常采用图论中的“图”来表示路网,船舶通道路网与图论的路网对应关系为: 结点通道的交叉口或断头路的终点 ;边 两结点之间的路段称为边,若规定了路段的方向,则称为弧;边(弧) 的权路段某个或某些特征属性的量化表示。路权的标定决定了最短的路径搜索依据,也就是搜索指标。根据不同的最优目标,可以选择不同的路段属性。由于舰船上除了平面上的通道之外还有垂直方向的楼梯(或直梯), 如果以最短路程距离作为优化目标,路线的效率未必最高(距离最短未必耗时最少) 。所以,以最短行程时间作为优化的目标,道路权重即为各路段的平均行程时间。
13、对于要研究的对象,取各条通道的起点(或终点) 和交叉点为图的顶点 ,各路段为边,路权为路段行走的平均时间。寻找从起点到终点的最短时间路径即为最优路径。在规定了结点、边和权值以后,便将路网抽象为一个赋权无向图或赋权有向图,从而确定路网中某两地间的最优路线便转化为图论中的最短路径问题。首先将空间问题抽象为图,图 2 为某舰的两层甲板的部分抽象图,上下两个平面上纵横交错的直线为各层甲板的主要通道,连接两层甲板的直线表示楼梯,包括 2 个直梯和 3 个斜梯。每条路段上的标注 中, 表示路段实际长度或者楼梯的类型,m;b 表示此路段的行ab程时间( 即路权),s 如(40,32)。图 2 两层甲板的部分
14、抽象图图 3 赋权图再利用上述求最短的方法即可求得需要的通道路线。3.3 其他应用 最短路径问题在交通网络结构的分析，交通运输线路(公路、铁路、河流航运线、航空线、管道运输线路等)的选择，通讯线路的建造与维护，运输货流的最小成本分析，城公共交通网络的规划等，都有直接应用的价值。 最短路径问题在实际中还常用于汽车导航系统以及各种应急系统等(如 110 报警、119火警以及 120 医疗救护系统)这些系统一般要求计算出到出事地点的最佳路线的时间应该在 15 一 35 内，在行车过程中还需要实时计算出车辆前方的行驶路线，这就决定了最短路径问题的实现应该是高效率的。 在很多目标信息引导系统的设计中需要
15、获得最优化路径引导信息。例如，在日益增多的高层建筑、大型公共建筑(超级市场、博物馆、医院、游乐场等) 场台的火灾事故现场救生疏导系统，需要根据现场情况动态地为逃生者实时提供最短的安全通道指引信息；而当这些场合发生盗窃、抢劫等突发犯罪事件时，安全监控系统如能为警方实时提供通向罪犯所处位置最短搜索路径信息则可以达到迅速制止犯罪的目的。在设计一个大型高层建筑火灾事故现场救生疏导系统时，将图论中 Dijkstra 算法应用于目标信息引导系统的设计中，通过 Dijkstra 算法，首先计算出任一指定位置点距各疏导出口的最短路径树，进而通过编制辅助方向指示箭头程序动态地将火灾事故现场救生疏导路径引导图加以
16、显示，从而达到优化目标引导路径的目的 按照城乡运输一体化的总体思路，为实现农村村村通客车的目标，针对农村客运线路繁杂，节点众多的特点，布局优化农村公路客运网的规划和建设是农村发展的重要内容，为落实贯彻中央 2004 年 l 号文件，解决三农问题，全面建设小康社会，实现人便于行，货畅其流。需要从规划布局的角度，科学地审视农村公路网和客运线路。村村通客车，是农村客运网的基本要求，但农村村屯点多面广，线路繁杂，网络节点众多，道路迂回曲折。如何科学合理的选择路径，即达到农村客运网络畅达便捷，合理布局即是关键问题。 现有的客运线路，系依托路网，村屯自然经济和区域特点，经经营者申报，交通运政管理部门审批而
17、形成；其路径是否合理，线路覆盖和便捷程度，总体资源配置是否优化，尚无完整定量分析，系统和路网是否科学等一系列问题还有待确定。4 结语本文将最短路理论应用到实际生活中，尤其是在舰船通道路线中的应用具有很重要的意义。将实际生活中出现的安全隐患尽量降低。同时也凸显出学习和应用最短路问题原理的重要性。另外，最短路问题在城市道路建设、物资供应站选址等问题上也有很重要的作用。分析和研究最短路问题趋于热门化。参考文献：【1】 卜月华 图论及其应用 南京：东南大学出版社，2000【2】 基于图论的舰船通道路线优化 余为波 王涛 2008【3】 最短路问题在运输网络中的应用 李玲 2006【4】 戴文舟. 交通
18、网络中最短路径算法的研究 D . 重庆大学硕士学位论文 ,2004.【5】 谢灼利,等.地铁车站站台火灾中人员的安全疏散J.中国安全科学学报 ,2004,14(7):21.【6】 荣玮.基于道路网的最短路径算法的研究与实现.武汉理工大学硕士学位论文D,2005.【7】 朱建青 ,张国梁.数学建模方法 M. 郑州大学出版社.【8】 杨民助 ,运筹学 M. 西安交通大学出版社.【9】 殷剑宏 ,吴开亚.图论及其算法 M. 中国科学技术出版社.【10】 王朝瑞.图论 M. 国防工业出版社.【11】 姚思瑜.数学规划与组合优化 M. 浙江大学出版社.【12】 秦裕瑗 ,秦明复.运筹学简明教材 M. 高等教育出版社.
