1、1第五章 定积分(A 层次)1 ； 2 ； 3 ；203cosinxdadxx022 12xd4 ； 5 ； 6 ；15x41 437 ； 8 ； 9 ；21lned02xddx02cos110 ； 11 ； 12xsi4 dx24cos；52431indx13 ； 14 ； 15 ；342si41lndx10xarctgd16 ； 17 ； 18 ；20coxde02si e1lnsi19 ； 20 ； 21 ；243s 40sin1dxdx02cosi22 ； 23 ； 24 ；210lndxx4220inl25 。0210(B 层次)1求由 所决定的隐函数 对 的导数 。0cos00xy
2、ttde yxdy2当 为何值时，函数 有极值？xxtdeI23 。xtdcosin224设 ，求 。1,2xxf 20dxf5 。lim20xdtarcgx6设 ，求 。其 它,0sin1xf xdtf07设 ，求 201dxf。时当 时当,1,xexf8 。22limnnn9求 。knkne12li10设 是连续函数，且 ，求 。xf 102dtfxf xf11若 ，求 。2ln61xted12证明： 。21dx13已知 ，求常数 。axxx e24lima14设 ，求 。0,12xef 31dxf15设 有一个原函数为 ，求 。xf x2sin20f16设 ，在 上 ，求出常数 ， 使x
3、bafl3,1fab最小。31dxf317已知 ，求 。2xef10dxf18设 ，求 。f f19 。0 2sincoscoxxf20设 时， 的导数与 是等价无穷小，试求xdtftFx0 2x。f(C 层次)1设 是任意的二次多项式， 是某个二次多项式，已知xf xg，求 。124060 fffdf dba2设函数 在闭区间 上具有连续的二阶导数，则在 内存在 ，xf, ba,使得 。fabafbdfba 32413 在 上二次可微，且 ， 。试证xf, 0xfxf。2fabdabb4设函数 在 上连续， 在 上存在且可积，xf,xfba,，试证 ( )。0fdfba15设 在 上连续，
4、， ，求证存在一点 ，x, 00xf11dxf x，使 。104f6设 可微， ， ， ，求 。xf1f txtfF0240limxF7设 在 上连续可微，若 ，则fba, bfa。xfdxfabbabm4248设 在 上连续， ，求证 xfBA, Bbadxkfxfbak0lim。abf9设 为奇函数，在 内连续且单调增加，xf,，证明：(1) 为奇函数；(2) 在 上单调减少。dtF03xFxF,010设 可微且积分 的结果与 无关，试求 。xfdtff10 xf11若 在 连续， ， ，证明：,21。0 3sinxfx12求曲线 在点(0,0)处的切线方程。dtty113设 为连续函数，
5、对任意实数 有 ，求证xf aadxf0sin。f214设方程 ，求 。yxtdtgx02sec22xy15设 在 上连续，求证：fba,( )afxdtfhtfxh 1lim0 bx16当 时， 连续，且满足 ，求 。dt102 2f17设 在 连续且递减，证明xf1,，其中 。00dxf1,18设 连续， ， ， ，试证：xf dtaftF20f1af。12aF19设 是 上的连续函数， ，试证在 内方程xgb, tgxfab,至少有一个根。0abfx520设 在 连续，且 ，又 ，证明：xfba,0xfdtftfxFxba1(1) (2) 在 内有且仅有一个根。2xFxba,21设 在
6、上连续，则 。fa,0adxfxdxf020 222设 是以 为周期的连续函数，证明：x。020sinxfxf23设 在 上正值，连续，则在 内至少存在一点 ，使xfba, ba, 。baa dxfd2124证明 。10010 lnlnln dufuftxf25设 在 上连续且严格单调增加，则 。fba, babadxfxf226设 在 上可导，且 ， ，则xf,Mxf0f。2abMdfba27设 处处二阶可导，且 ，又 为任一连续函数，则xf xftu， 。aadtufdtuf0011028设 在 上二阶可导，且 ，则xfb, 0xf。2afdfba29设 在 上连续，且 ， ，证明在 上必
7、xfb,0xf0badxfba,有 。0f30 在 上连续，且对任何区间 有不等式xfa, b,6( ， 为正常数)，试证在 上 。1Mdxf ba,0xf第五章 定积分(A)1 203cosinxd解：原式 41cos20203x2 adxx0解：令 ，则tsintdacos当 时 ，当 时02原式 20cossintdatta20420418i tt42046sin18ata3 12xd解：令 ，则tgd2sec当 ， 时 分别为 ，1x343原式 dtg42sec34ini24 15xd7解：令 ，则 ，ux452415uudx1当 ，1 时， ,3原式 6832d5 41xd解：令 ，
8、ttd2当 时， ；当 时，x14x2t原式 2121 ttt3lnln21216 143xd解：令 ，则 ，u21uxdux当 时1,4x0,原式 2ln1210021 dudu7 21lnex解：原式 22 11 ln1llee xdxd3ln21e8 02xd解：原式 02 02211xarctg4tarctg9 dx02os18解：原式 002coscosdxdx220sini220x10 dxsin4解： 为奇函数 0si4x11 d24co解：原式 202204coscos dxxd2022021120204coscos dxxdx20201in34si1320x12 5243in
9、dx解： 为奇函数1si243 0in5243dxx13 342si9解：原式 34xdctg34txt34sinl912ll34ln1914 41lndx解：原式 41l241lnlnxdx412l412ln8dx15 10xarctg解：原式 102txd1022dxarctg102108dx002arctg141016 20cosxde解：原式 20inx2022sisidxeex20codx202ssdxee20c4x故 51cos20exde17 in解：原式 0202cos1sdxxdx1023sin46xdx023 2ii1dx03cos46xd4621303 dx18 dxe1
10、lnsi解：原式 edx1lncosxesiedx1lnsilncosi11edxe1lnsico1sin故 i2l1dxe19 243cos解：原式 2421dxx2004 sincosinco xd2030423ssx3420 40sin1dx解：原式 402isx402cosndtg4024021secxxdcos14040tg21 dx02in解：令 ，则t原式 22cos1indtt12222sin1cosidtt4isic20202 tarcgt22 210lndx解：原式 2102l21022 1ln dxxxx210l3l8dx210ln210l3l81xln223 dx41解
11、：原式 020421dxxxx2022120arctg1324 20sinlxd解：原式 40220 coslnsilncosil dttdxt令4040colinllntt 24402 sinlsill udtdut20inllnt故 lsil20xd25 0210解：令 ，则txdtx2原式 0202 11tdtt 020202 1xdxxd1002arctg故 402xd(B)1求由 所决定的隐函数 对 的导数 。0cos00xyttde yxdy解：将两边对 求导得sxdy14 yexdcos2当 为何值时，函数 有极值？xtdeI02解： ，令 得2xI当 时，0I当 时，xx当 时
12、，函数 有极小值。I3 。xdtdcosin2解：原式 taax dtcos2sin2cxatsxcossicos22xinconxx22 ssinsic2c4设 ，求 。1,2xxf 20dxf解： 21020ddf386102xx5 。1lim20xdtarcgx解： xarctgtxx 21limli20 型15xarctgxarctgxx 2222 1lim1lim4li 22rtx6设 ，求 。其 它,0sin1xf xdtf0解：当 时，x00xxtdtf当 时，2cos1sin2当 时，x10sin1000 xxx dttdtftftf 故 。时当 时当 时当 x,1,cos2,
13、7设 ，求 201dxf。时当 时当,1,xexf解： 时当 时当 1,1,xexfx 21020 dxdfx21101xexlnln0e18 。22limn16解：原式 nnn 121lim32li101dxin9求 。knkne12lim解：原式 knkne12li41002 arctgerctdxx10设 是连续函数，且 ，求 。xf 102dtff xf解：令 ，则 ，Adt10 Ax从而 dxf 2110即 ，2 1xf11若 ，求 。2ln6xtedx解：令 ，则 ，ut121lnutdut21当 时，2lnt3当 时，x1xeu 313122ln xx eext arctgudd
14、63xarctg从而 2lnx1712证明： 。21dxe证：考虑 上的函数 ，则, 2xy，令 得2xey 0当 时，,1y当 时，2,0x0 在 处取最大值 ，且 在 处取最小值2xey1y2xe121e故 212121 dxedxex即 。21x13已知 ，求常数 。axxx de24lima解：左端xx 21li右端 axax dede22axe2ae2axxde22aea21 2解之 或 。01814设 ，求 。0,12xexf 312dxf解：令 ，则tettdtfxf 137210012131 15设 有一个原函数为 ，求 。f x2sin20dxf解：令 ，且tx2xfii12
15、 000 4dtfdtftdf0014tftftfsin2si216设 ，在 上 ，求出常数 ， 使xbaxfl3,1xfab最小。31df解：当 最小，即 最小，由31xf31lndxbax知， 在 的上方，其间所夹面积最小，则0lnbaxf yy是 的切线，而 ，设切点为 ，则切线yyx0ln,x，故 ， 。00ln1xx01a1ln0b于是 31231 ll xdxdbI31lnl24a令 得0Ia从而 ，0xlb又 ，此时 最小。2aI31dxf17已知 ，求 。2xef0f19解： 2xef1021010 xffdf 2102exe18设 ，求 。102dxfff f解：设 ， ，则
16、Adx10 Bx0 ABx22 xAf 13212 dxB48020解得： ， ，于是3A42xf19 。0 2sincoscodxf解：原式 0cosxfxf 00 sics dxf20设 时， 的导数与 是等价无穷小，试求xdtftxF022x。0f解：20302limlimxtfxdtftxx xfxtfxx li2li00 ,01f故 2020(C)1设 是任意的二次多项式， 是某个二次多项式，已知xf xg，求 。124060 fffdf dba解：设 ，则atbx10dtbtgdIa令 tftbg于是 ， ，af021abgfbgf1由已知得 bI462设函数 在闭区间 上具有连续
17、的二阶导数，则在 内存在 ，xfa, ba,使得 。fbfbdfba 3241证：由泰勒公式2000 !xfxfxf 其中 ， 位于 与 之间。ba,两边积分得：dxfdxfdxfxf babababa 2000 ! 3032206a令 ，则20x 2221babbaffabdfba3326f21， 。fabafb3241ba,3 在 上二次可微，且 ， 。试证xf, 0xfxf。2fabdabb证明：当 时，由 ， 知 是严格增及严格凹的，x,xfxff从而 及fabf 故 fadxxbaba baba dxff21abff 2ba4设函数 在 上连续， 在 上存在且可积，xf,xf,，试证
18、 ( )。0bfadfba1ba证明：因为在 上 可积，故有a,x bxb tftfdxf而 ，adx于是 bxtfdtff21baax tfx215设 在 上连续， ， ，求证存在一点 ，f1,0010f dxx，使 。10x4x证：假设 ，f,由已知 ， ，得10dx110dxf01010 22xfff221010 242dxdxfx41210 故 dxdxfx101042从而 10f 4xf因为 在 连续，则 或 。从而 或 ，1,4xff410dxf这与 矛盾。故 。10dxf 6设 可微， ， ， ，求 。0f1f txtfF0240limxF解：令 ，则 ，显然utx220xduf
19、F2f于是 。 4104limli4limli 20203040 fxfxxx7设 在 上连续可微，若 ，则fba, bfa。xfdxfabbab42证：因 在 上连续可微，则 在 和 上均满足f, xf2,ba,拉格朗日定理条件，设 ，则有fMbxambaba dfdfdxf 22 baba dxbfxf2221 23 baba dxbfdxf221222 4aMMbaba 故 。dxfabb248设 在 上连续， ，求证 fBA, Bbadxkfxfbak0lim。f证： bababa dxfkdxfkdxkfxf 11令 ，则uba uff于是 bakbaba xfxxkfb dfdf1
20、1故 kakkbkak dxfxxkxf 1limlilim000f9设 为奇函数，在 内连续且单调增加，xf,，证明：(1) 为奇函数；(2) 在 上单调减少。dtF03xFxF,0证：(1) xutx dufdft00 33xf为 奇 函 数 xF 为奇函数。F(2) xxdtftf003ffdtfxx2024xfdtftx0由于 是奇函数且单调增加，当 时， ，f 00xf，故 ， ，即 在 上0xdttfxtF,F,单调减少。10设 可微且积分 的结果与 无关，试求 。xfdtff10 xxf解：记 ，则Cdtf10Cufxfxf 0由 可微，于是0xff解之 （ 为任意常数）ke11
21、若 在 连续， ， ，证明：xf,2f1f。0 3sinxdxf解：因 00sinfdfcosxx0csf0sincsoxdfxfxd0indf0si3s21xfx所以 。0if12求曲线 在点(0,0)处的切线方程。xdtty解： ，则 ，故切线方程为： ，21 20y 02xy即 。xy2513设 为连续函数，对任意实数 有 ，求证xf aadxf0sin。f2证：两边对 求导a0sin1sin aff 即 令 ，即得 。xaxff214设方程 ，求 。yxtdtg02sec22y解：方程两边对 求导，得xyxy1sec1sec22从而 y2inoyxycssin3215设 在 上连续，求
22、证：xfba,( )afxdtfhtfh 1lim0 bx证：设 为 的原函数，则xF左边 FxhFhli0ax0lim右边。afx16当 时， 连续，且满足 ，求 。xdtfx102 2f解：等式两边对 求导，得x13212f令 得x26将 代入得：1x152f故 。52f17设 在 连续且递减，证明x,0，其中 。1dxff 1,0证： 100 xfdx则 1xff01df， ，21f1,021f由于 递减，xf2故 0010dxf即 。xf18设 连续， ， ， ，试证： dtaftFx200f1af。12aF证： aa dtfttft020 2aa fdft020aa tfttt02a
23、a dtffft 02在第一个积分中，令 ，则utaa dfdtft02 2而 12afa故 1F2719设 是 上的连续函数， ，试证在 内方程xgba, dtgxfaba,至少有一个根。0bfx证：由积分中值定理，存在 使b,baagdtf即 0g故 是方程 的一个根。abfx20设 在 连续，且 ，又 ，证明：f,0xfdtftfxFxba1(1) (2) 在 内有且仅有一个根。2xFxba,证：(1) 21f(2) ，0abdtfF0badtfF又 在 连续，由介值定理知 在 内至少有一根。x, xba,又 ，则 单增，从而 在 内至多有一根。0Fx0F,故 在 内有且仅有一个根。xb
24、a,21设 在 上连续，则 。f2, aa dxfxdxf020 2证： aaadxfx020令 ， ，则u aaa dxfuff 002 22故 xfxdx022设 是以 为周期的连续函数，证明：f28。020 2sindxfdxf证： dxf20sin2sixf令 ，则ux 02 sinsin dufudxf( 以 为周期)0ifxf故 02 2sx23设 在 上正值，连续，则在 内至少存在一点 ，使xfba, ba, 。bdxfdxf21证：令 bxxattF由于 时， ，故,0fbadtfF故由零点定理知，存在一点 ，使得ba,0F即 0badtftfxx又 ababa dxfdfff
25、 2故 。abxxdx124证明 。10010 lnlnln dufduftf证：设 ，则utxxfdf110ll01nnxx du29令 ，则vu1 110 lnlnlnxxx dufdvfduf00ux故 10010 lnlnln dufdfdtfx25设 在 上连续且严格单调增加，则 。xfba, babadxfdxf2证：令 xaxadtftfF2则 dtxxffaxtt ， 在 严格单增tfb, 0xf则 ，从而F0aF即 2babadtftf故 xx26设 在 上可导，且 ， ，则xfb, Mf0af。2aMdfba证：由假设对 ，可知 在 上满足微分中值定理，则有x,xf,，aff x又因 ，xb,故 aMf于是 。2aMdxdxbba 3027设 处处二阶可导，且 ，又 为任一连续函数，则xf 0xftu， 。aadtufdtuf0011证：由泰勒公式，有2000!21xfxfxf 其中 在 与 之间又因 ，故xf0!21200 xfxff 即 00fxf令 ，tuadtu01则 aaaa dtuftfdtf 0000 1tuat01即 。aa dtfdtf0028设 在 上二阶可导，且 ，则xfb, 0xf。2afdfba证：对 ，将 在 处展开，得bx,xf20ba 2!12 baxffaf 其中 在 与 之间。xb
