1、一、定积分基本概念、方法与主要知识点*概念：定积分作为和式的极限，保序性与估值定理，积分中值定理。*方法：凑微分法，变量替换，分部积分。*与变限积分有关问题*积分等式与不等式的证明（难点）。二、定积分的性质及常用结论：1. 若f ( x)在 a,a上是可积的偶函数 , 则 。0()2()aafxdfx2. 若f ( x)在 a,a上是可积的奇函数 , 则 。af3. 若f ( x)是可积的周期函数 ,周期为T ，则对任意实数a必有 。0()()aTTfxdfx4. ，2200sin(cos)dfxd2200(21)!2sis,1,!()!nnknkx5. 00(si)si2fdfxd6. 若f
2、 ( x)在a,b 上可积，则 ()()aFft(1)F(x)在a,b 上 连续（此时F (x)不一定是f (x)的原函数）.(2)如果 f (x)在a,b上连续，则 F(x)在a,b上可导，且 （此时F(x )一定是f (x)的()f原函数）.7. 有第一类间断点的函数没有原函数，但可以为可积函数（此类函数的定积分不能直接使用N_L公式，计算时应先使用定积分对区间的可加性）。8. 如果f(x)在 a,b上连续，g(x)在a,b 上可积且不变号，则在a,b上存在 ，（积分第一中值定理）()baadfdx三、典型例题1. 求（1） （2）222lim( ),1nnn 1lim()21)nn（3）
3、 112sisilnnnI解 （1）原式= =221li( )n)()(nn 20dx4（2）原式=110limln()ln()12lim()()niixdn ee l21e(3) 11sin1sinsikk n,1102limsidlimn nk x ，由 夹 逼 准 则 ， 原 式2. 求积分：（1） ， （2 ） ，342si1xde10arcsinosxd（3） (4) .680cos 240(1)解：（1） 3334402 202ininsin1xxxdddeee 3344422000sisisixx16（2）原式arcsin1 20 0arcsin(arcsi)()cos2txxd
4、ttd2 200()i()i|()sitdttt 2 200()sin()sin|i22tttd (3)原式 330 0|co|i|co|sinxxdx33202sinsi442021i|i|xx（4）原式tan26228001531secos42xtdt3. 求 120limcosnndx解： ， ，11200nn1lim0n0.由 夹 逼 准 则 ， 原 式4. 求（1） ()0xtde(2) 设 f (x)为已知可导奇函数，g(x )为 f (x)的反函数，求。)ftd题中的积分为含有参数 的积分，这类问题往往需要对参数求导数，处理方法有两个：1当参数以因子形式出现在积分号内时，则将含参
5、数的因子移到积分号外面，2如无法将含参数的部分移到积分号外面，则引入变量替换。解：（1）令 ， ，则2uxtdu22()0xxt uede原式= 224xux（2） () () ()0)utxf xf fxxgtdgtdgud 原式= ()()00(f fuff () )20()fx fxfxux 5. 确定常数 a,b,c 的值，使 30sinlim0(1)xbactd解：首先 ，于是30ln(1)ixbtd.33320000sicos(cos)coslimlilimli0()()xxxxaaaat必有 1,从 而 1.2c6. 已知 f (x)连续，且 设 求 ，并讨论 的连续0()lim
6、,xfA10()(),Fxftd()Fx()x性。解：由 f (x)连续性， ，0()lixff令 ,ut有 01()fudF当 时， 为连续函数。0x20()()xfxf当 时， ；020 01()()()limlilim2xx xudfudfAF200lim()li().xxxf Af F 从而 在 上连续。,)7. 求 的最大值与最小值。20()1xtfed解： 为偶函数，只需求在 上的最值。0,)，令 ， 在 上有唯一驻点 ，且2()xfxe (f(fx0,)1x当 时， ；当 时， 。故 为极大点，也是最大点，01(f1x最大值为 。因为 ， 00)|ttede ()f，所以 为最小
7、点，最小值为 0。lim(|ttxf 0x8. 设 （1）当 时，证明0()|cos|xStd,(1)nNxn；（2）2()n()limnS证明：（1）注意到 的周期为 ， 。 |cs|t00|cos|cos|2ktdktdkZ于是，当 时 ,(1)Nx (1)002|cs| |cs|(1)nntSxtn（2）对 ， 使 ，于是有x,N， 。2()21)(1)nSxn2(1)2limli()nn由夹逼准则， linSx9. 证明 2200sicos1xdx证明： 2222000incosin11xIddx422204cosincosi1dx2201 41(sin)(cosin)dxd （积分第
8、一中值定理）其中 证毕。120,.4221()(1)0I10. 设 f (x) 在a,b 上可微， 非减，证明 。)fx ()2baafxdfb证明：作辅助函数 ，()()2Ft,11()()2 xFxfxfxfff ，()()aaaf ,a因为 非减，所以 ，于是 ，证毕。()fx0Fx()0Fx11. 设 二阶可导，且 ， 在 上连续，证明(),ft,b11()bbaaftdftd证明：由泰勒公式 ， 介于200 0()()fxfxx0x与 之 间 .因为 ，所以 。()0,fx0()()ff取 ，有01(t)batdx000(t)fff11()()bbaaftdftd12. 设 在 上连续且 ，证明 .t0,0t101ln()0()tdte证法一: ,1l()121()()niin tniittt ,.i1110ln()limln()1 ln()01()lm()lii ini int ttdinitdtee 证法二: 由前一题，取 ，(),l(),xftfx10111ln(000()lnntdtdftde
